 Exercice n°1 : repère cylindropolaire (1 point)  Q1)

EXAMEN FINAL PS20 – A2015 

lundi 11 janvier 2015 – 16h30‐18h30 – P243 

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NOM : ________________________

Prénom : ________________________

Consignes 

 Durée : 2 heures 

 Aucun document admis – calculatrice admise 

 Les explications intermédiaires sont nécessaires. 

 Le/la candidat.e prendra le soin de référencer correctement les différents exercices. 

 La notation est sur 20 points. 

 Exercice n°1 : repère cylindropolaire (1 point) 

Q1) Démontrez, en détaillant les calculs et en partant de l'expression de la trajectoire, que l'accélération d'un point  ayant  une  trajectoire  quelconque  s'exprime,  dans  le  repère  cylindropolaire  R  (O,^e ,_r e ,^_ e ), ^_z suivant  : 

2 z 2 2

2 2 r

2 2

e dt

z e d ] dt rd dt d dt 2dr [ e ] dt) (d r dt

r [d

a   

  



 



 _  

 Exercice n°2 : artilleur (4 points) 

Un artilleur posté sur une montagne cherche à  atteindre une cible dans la plaine, 300 m plus bas  et 4 km plus loin (cf. figure ci‐contre). Il dispose  d'un canon pouvant tirer un obus avec une vitesse  initiale  V0  variable.  Il  positionne  son  canon  à  l'horizontale. 

Q1) Etablir les équations paramétriques x(t) et z(t) 

de  la  trajectoire  de  l'obus  en  utilisant  les  conventions de la figure. 

Q2) Déduire de ces équations l'expression de la  trajectoire de l'obus. 

Q3) Déduire de ces équations la vitesse qui doit  être  communiquée  initialement  à  l'obus  pour  atteindre la cible. 

Q4)  Au  bout  de  combien  de  temps  l'obus  touchera‐t‐il sa cible ? Que vaut sa vitesse à ce  moment‐là? 

DONNEES) g = 10 m.s^‐2 

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 Exercice n°3 : spirale logarithmique (6 points) 

Les équations paramétriques du mouvement d’une particule M, s'expriment, en coordonnées cylindropolaires, suivant :  e t

a ^



  

t





  

z = 0   

 où a et ω sont des constantes positives. 

 A t = 0, la particule se trouve en M0. 

Q1) Déterminer l'expression du vecteur vitesse ^V à l'instant t dans la base cylindropolaire (O,^e ,_r e ,^_ e ) ainsi que sa ^_z norme. 

Q2) Déduire de la question Q1) l'expression de e , vecteur unitaire tangent à la trajectoire dans la base cylindropolaire ^_T

(O,e ,^_r e ,^_ e ). Montrer que ^_z e^_ et e^_T font un angle constant qui sera déterminé. 

Q3) Déterminer l'expression du vecteur accélération ^a  à l'instant t dans la base cylindropolaire (O,^e ,_r e ,^_ e ). ^_z

Q4)  Le  vecteur  accélération  ^a peut  être  décomposé  suivant  deux  composantes,  a^_T  et  a , ^_N suivant  : 





a a_Te_Ta_Ne_N, où e^_T est le vecteur unitaire tangent à la trajectoire au point considéré et e^_N le vecteur normal 

à la trajectoire au point considéré orienté suivant la concavité de cette dernière. 

 Calculer aT et expliciter la nature de la trajectoire. 

 Calculer aN. 

Q5) Sur le schéma ci‐dessus, représenter, à t = 0 et à t = 







6 , les vecteurs suivants : ^V , ^a , ^e , _r e , ^_ e^_T et e . ^_N  

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 Exercice n°4 : équilibre (3 points) 

Soient deux ressorts identiques de raideur k et de longueur à vide ℓ. Ainsi, chaque ressort suspendu verticalement et 

soumis à un poids ^Pm^g  s'allonge d'une quantité Δℓ = ℓ₀‐ℓ. 

On suspend une masse m à l'un des ressorts suspendu initialement verticalement et on tire horizontalement cette  masse à l'aide de l'autre ressort en appliquant une force ^F variable. Le premier ressort fait alors, à l'équilibre, un angle  α avec la verticale. Pour chaque valeur de α correspondant à une force 



F , le ressort (1) prend un allongement ℓ1 et le  ressort (2) un allongement ℓ2. 

Q1) Faire un schéma de situation, permettant de répertorier le repère choisi et les forces en présence. 

Q2) Calculer ℓ1 et ℓ2 en fonction de α et de ℓ0. 

SUGGESTION) Orienter l'axe Oz verticalement vers le haut. 

 Exercice n°5 : bille en rotation (3 points) 

Une bille, assimilée à un point matériel B, de masse m, est reliée par deux fils  inélastiques de même longueur ℓ et de masses négligeables à deux points, A  et C, d'un axe Δ (cf. figure ci‐jointe). 

La bille B tourne à une vitesse angulaire ω constante autour de Δ. 

Q1) On considère tout d'abord les fils constamment tendus. Calculer 

analytiquement les tensions dans chaque fil en fonction de la vitesse  angulaire ω et déterminer leurs valeurs pour deux vitesses angulaires (ω1 et  ω2) à partir des données fournies ci‐après. On appliquera le principe  fondamental de la dynamique. 

Q2) Montrer que le fil BC n'est tendu qu'à partir d'une vitesse angulaire 

minimale, notée ω₀. Calculer cette valeur à partir des données fournies ci‐

après. 

DONNEES) m = 0,6 kg ; ℓ = 0,7 m ; distance AC = 1 m ; g = 9,81 m.s^‐2 ; ω₁ = 8 

rad.s^‐1 et ω2 = 4 rad.s^‐1   

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lundi 11 janvier 2015 – 16h30‐18h30 – P243 

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 Exercice n°6 : travail (3 points) 

Un homme pesant 80 kg grimpe un escalier haut de 5 m en 6 s. 

Q1) Calculer la puissance minimum dépensée (on utilisera une méthode énergétique). 

Q2) Calculer l’énergie correspondante. 

Sur une canette de soda d’une marque très célèbre est indiquée la quantité d’énergie qu'elle contient assimilable par  l’organisme : 15010³ J. 

Q3) Quelle hauteur doit monter l’homme pour "dépenser" cette énergie. 

DONNEES) g = 10 m.s^‐2