E569. Comment faire table nette
Il y a sur une table deux piles qui contiennent respectivement 2014 et 2015 pièces de monnaie.
Q1 Deux opérations sont permises :
1) enlever le même nombre de pièces de chaque pile,
2) doubler le nombre de pièces dans l’une quelconque des deux piles.
Est-il possible de débarrasser la table de toutes les pièces de monnaie ?
Q2 Même question si la deuxième opération consiste à tripler le nombre de pièces de l’une des piles.
Q3 Avec m et n pièces respectivement dans chaque pile et lors de la deuxième opération on
multiplie par k entier quelconque > 1 le nombre pièces de l’une des deux piles. Quelles conditions doivent remplir les entiers m, n et k pour que l’on puisse débarrasser la table de toutes les pièces de monnaie ?
Solution proposée par Claudio Baiocchi
On va s’intéresser directement à Q3. L’entier étant fixé, on appellera k-compatible tout couple tel que la différence est un multiple (positif, négatif ou nul) de .
On va montrer :
On peut faire table nette si et seulement si le couple de départ est ce qui donne immédiatement la réponse (négative) à Q2 ; pour ce qui concerne Q1 la démonstration de va suggérer la stratégie gagnante en trois coups:
Dans la suite la notation
sera utilisée pour dire que, suivant les règles 1) et 2), à partir du couple c on peut passer au couple c’. Soit ; on a trois possibilités pour c’:
pour un convenable on a ;
;
En particulier la différence entre les éléments du couple reste inchangée dans le premier cas ; tandis que dans les deux autres cas on passe de à ou bien de à ; donc leur différence est modifiée par un multiple de .
On en déduit que est -compatible si et seulement l’est aussi ; en particulier, si l’on arrive à faire table nette, on termine avec le couple qui est k-compatible; donc tout antécédent de c’, en particulier le couple de départ, doit être k-compatible.
Pour ce qui concerne la partie « si » de , soit avec le couple de départ qui, bien entendu, est supposé k-compatible. On applique l’algorithme :
tant que on replace par ]
si on fait table nette ; sinon :
on cherche un entier avec et tel que . Si un tel p existe, on continue avec
d’où table nette car . La formule est tout simplement qui est entier, grâce à la k-compatibilité du couple, et compris entre 1 et , grâce à l’algorithme utilisé.
Remarque
Pour ce qui concerne la recherche du minimum de nombre de coups, l’algorithme semble optimal.
