a p p o r t
d e r e c h e r c h e
THÈME 4
Une nouvelle méthode de relaxation pour les équations de Navier-Stokes compressibles. I : cadre
théorique
Emmanuel Bongiovanni — Alexandre Ern — Nathalie Glinsky-Olivier
N° 4604
Novembre 2002
Emmanuel Bongiovanni
, AlexandreErn y
, Nathalie Glinsky-Olivier z
Thème4Simulationetoptimisation
desystèmescomplexes
ProjetCaiman
Rapportderecherche n° 4604Novembre200229pages
Résumé:Onprésenteunenouvelleméthodederelaxationpourrésoudreleséquationsde
Navier-Stokescompressiblesmuniesdeloisdepressionetdetempératuregénérales,celles-ci
étantcompatibles avec l'existenced'une entropie et lesrelationsde Gibbs. Notreméthode
derelaxations'inspiredeladécompositiondel'énergieinterneintroduitedans[CP98]pour
leséquationsd'Euleretconserve,enparticulier,lesmêmesconditionssous-caractéristiques
pour la loide pressiondu gazctif intervenantdans larelaxation. Nousintroduisons une
décompositionduuxdechaleurbaséesurunetempératureglobaledépendantdel'entropie
dugaz réel et decelle du gazctif. Grâceàcette décomposition, nousmontrons la stabi-
lité du processus de relaxation via la positivité de la production d'entropie. Une analyse
asymptotique aupremier ordre autour desétats d'équilibreconduit également aurésultat
de stabilité. Nous présentons enn une implémentation numérique de la méthode de re-
laxationquipermetd'utiliserdemanièrerelativementimmédiatelessolveursNavier-Stokes
compressibles dédiés aux gaz thermiquement et caloriquement parfaits (ou gaz parfaits
polytropiques).
Mots-clés : Navier-Stokes,méthodede relaxation,estimationd'entropie, développement
deEnskog-Chapman
CERMICS-INRIA,SophiaAntipolis
y
CERMICS,Marne-la-Vallée
z
CERMICS-INRIA,SophiaAntipolis
Abstract:WepresentanewrelaxationmethodforthesolutionofthecompressibleNavier-
Stokesequations endowed withgeneralpressureand temperature lawsaslongastheyare
compatible with the existence of an entropy and Gibbs relations. Our method relies on
the internal energy decomposition introduced in [CP98] for the Euler equations and in
particular, conserves the same sub-characteristic conditions for the pressure law of the
ctiousgasconsideredintherelaxation.Weintroduceasplittingoftheheatuxbasedona
globaltemperaturedenedintermsoftheentropiesofboththerealandthectiousgases.
Usingthissplitting,weprovethestabilityoftherelaxationprocessviathepositivityofthe
entropyproduction.Arstorderasymptoticanalysis aroundequilibriumstatesalsoyields
thestabilityresult.Finally,wepresentanumericalimplementationoftherelaxationmethod
that allowsarelativelystraightforwarduseof compressibleNavier-Stokessolversdesigned
forthermicallyandcaloricallyidealgases(oridealpolytropicgases).
Key-words: Navier-Stokes,relaxationmethod,entropyestimate,Enskog-Chapmandevel-
opment
Table des matières
1 Introduction 3
2 Modélisation physique 6
2.1 Hypothèsefondamentale:existenced'uneentropie . . . 6
2.2 Modélisationdesloisdepressionet detempérature . . . 6
2.2.1 Loisdepressionetdetempératuredéduitesdel'entropie. . . 7
2.2.2 Loisdepressionetdetempératuredonnéesapriori . . . 7
2.2.3 Loisdepressionetd'énergiedonnéesapriori . . . 7
2.2.4 Hypothèsedemonotoniesurlapression . . . 8
2.2.5 Capacitéscaloriques . . . 8
2.3 Biland'entropie. . . 9
2.4 Conditiond'hyperbolicitéet entropie . . . 10
2.5 Gazthermiquementparfaits(TP). . . 11
2.5.1 LoideMariotte,loideJouleet gazparfaits . . . 11
2.5.2 ModélisationducoecientpourungazTP . . . 12
2.5.3 Explicitation del'entropiepourungazTP . . . 13
3 Principe de laméthode de relaxation :équations d'Euler 14 3.1 Lesystèmerelaxé. . . 14
3.2 Consistancedusystèmerelaxé. . . 14
3.3 Stabilitédusystèmerelaxé . . . 15
3.4 Analysedestabilitéasymptotiqueàl'ordreun. . . 17
4 Extension aux équations de Navier-Stokes 19 4.1 Lesystèmerelaxé. . . 19
4.2 Consistancedusystèmerelaxé. . . 20
4.3 Stabilitédusystèmerelaxé . . . 21
4.4 Analysedestabilitéasymptotiqueàl'ordreun. . . 23
5 Mise en ÷uvre numérique 26 5.1 Algorithme . . . 26
5.2 Perspectivesd'applications. . . 27
6 Conclusions 28
1 Introduction
De nombreusesapplications des sciences de l'ingénieur fontintervenir des écoulements
de gazrégis parles équationsde Navier-Stokescompressibles.Ces équations exprimentla
conservationdelamasse,del'impulsionet del'énergiedansl'écoulementsouslaforme
8
>
<
>
:
@
t
+r(U)=0;
@
t
(U)+r(UU)+rp= r;
@
t
E+r((E+p)U)= r(U) rq;
(1)
oùestladensité,U =(u
1
;:::;u
d )
T
levecteurvitesse, T
latransposition,dladimension
d'espace, p la pression, le tenseur ux d'impulsion ( est le tenseur des contraintes
visqueuses), E l'énergie totale par unité de volume et q le vecteur ux de chaleur. Par
la suite, nous noterons W = (;U;E) T
2 IR d+2
le vecteur des variables conservatives.
L'énergietotaleparunitédevolumesedécomposesouslaforme
E= 1
2 U
2
+"; (2)
où"estl'énergieinternespécique.Parailleurs,letenseurux d'impulsion et levecteur
uxdechaleurs'écriventsouslaforme
=
rU+rU T
2
3
(rU)I
et q= rT; (3)
où estlaviscositédecisaillement,laconductivitéthermiqueet T latempérature.
AndefermerlesystèmedeséquationsdeNavier-Stokescompressibles(1),ilestnéces-
saire d'exprimer la pressionpet latempérature T en fonction des variables conservatives
W.Unemodélisationthermodynamiqueparticulièrementsimpleestcelledugazthermique-
mentparfaitetcaloriquementparfait(TPCP,encoreappelégazparfaitpolytropique)pour
lequel
(i) lapressionestunefonctionbilinéairedeet "souslaforme
p=( 1)"; (4)
où>1estuneconstante(quiestégalementdonnéeparlerapportentrelescapacités
caloriquesàpressionetvolumeconstant) ;
(ii) latempératurenedépendpasdeet estlinéaireen":
T =
1
R
"; (5)
oùR estuneconstante(la constante desgazparfaitsdiviséeparlamassemolaire du
gaz).
Deparsasimplicité,lemodèledegazTPCPaétésouventconsidérédanslesapplications.Il
existedoncdenombreuxcodesdédiésàl'approximationnumériquedeséquationsdeNavier-
Stokescompressibles dans ce cadre, par exemplepar des méthodesde type volumesnis.
En raison deseorts de rechercheimportantsqui leur ontété consacrés,la plupartde ces
Cependant,pourdenombreuxgaz,ilestnécessairedeconsidérerunemodélisationther-
modynamiquepluscomplexeque(4)(5).C'estlecasparexemplepourlesgazpolyatomiques
oùles molécules possèdentdes degrésde liberté internes (rotation et vibration). Dans ces
conditions,ladépendancedelapressionetdelatempératureen"estnonlinéaire,lapression
étantparailleursproportionnelleàladensitéetàlatempérature.Unautreexemplefaisant
intervenir deslois de pression et de température pluscomplexes que (4)(5) est celui des
écoulementsàhautepression(typiquementau-dessusde1000atm).Danscesconditions,les
forcesintermoléculairesontunimpactsignicatifsurladynamiquedescollisionsmicrosco-
piques ce qui conduit àune loi de pressionnon linéaire,tanten ladensité qu'en l'énergie
internespécique.
Une approcheintéressante pour traiterlesloisde pressionet detempératuregénérales
consisteàutiliseruneméthodederelaxation.Lesméthodesderelaxationpourlessystèmes
de lois de conservation hyperboliques ontété étudiées dans [Li87, C+95, JX95]. Pour les
équations d'Euler, une méthode de relaxation a été développée récemment dans [CP98].
Leprincipede laméthode consisteàrelaxer laloide pressionnon linéaireen considérant
unedécomposition del'énergieinternespéciquede laforme"="
1 +"
2
. L'énergieinterne
"
1
est typiquement associée à une loi de gazTPCP et "
2
représente la perturbation non
linéaire.Durantleprocessusderelaxation,laperturbationnonlinéaire"
2
estconvectéepar
l'écoulementtandis quele gradientde pressionprésentdans l'équation deconservation de
l'impulsionnedépendquede"
1
.Danslalimited'untauxderelaxationinni,onretrouvele
systèmedeséquationsd'Euleraveclaloidepressioninitiale.D'unpointdevuethéorique,
lerésultatprincipalest quesouscertainesconditionssous-caractéristiques,lastabilité du
processusderelaxationestgarantieparlapositivitédelaproductiond'entropie.D'unpoint
de vue pratique, un avantage important de la méthode de relaxation est qu'elle permet
d'étendre,avectrèspeudemodications,lessolveursdédiésauxgazTPCPàlasimulation
deséquationsd'Euleravecdesloisdepressiongénérales.Desrésultatsnumériquesobtenus
aveccetteméthode ontété présentés pourdesschémas volumesnis [In99] ainsique pour
desschémasWENO[MS99].
Le but de notre travail est de développer un schéma de relaxation pour résoudre les
équationsdeNavier-Stokescompressiblesavec desloisde pressionet detempératuregéné-
rales.Ladiérenceessentielleavecleséquationsd'Eulerestquelaprésencedesuxdiusifs,
et notammentduux de chaleur, demande deprendre encompte nonseulementla loide
pression du gaz réel mais également sa loi de température. Tout en conservant la même
décompositiondel'énergieinternequecelleintroduitedans[CP98]and'assurerlastabilité
desuxconvectifs,nousintroduisonsunedécompositionpondéréeduvecteuruxdechaleur
et dutenseurux d'impulsion.Ainsi, souscertaineshypothèsessur lescoecients pondé-
rateursetsouslesmêmesconditionssous-caractéristiques quepourleséquationsd'Euler,
nousprouvonslapositivitédelaproductiond'entropie etdonclastabilitéduprocessusde
relaxation.
Danslasectionsuivante,nousprésentonsbrièvementleshypothèsesthermodynamiques
sous-tendantnotremodélisation physique.Puis,danslasection3,nous rappelonslesprin-
cipauxrésultats théoriques obtenus dans [CP98] pour larelaxationdes équationsd'Euler.
La nouvelleméthode de relaxationpour les équations de Navier-Stokescompressibles est
présentée dansla section4.Enn, quelques aspectsrelatifsàla miseen ÷uvre numérique
sontdiscutésdanslasection5.Pourunevalidationdétailléedelaméthodesurplusieurscas
tests,nousrenvoyonsà[B+02].
2 Modélisation physique
L'objet de cettesectionest de préciserles hypothèses thermodynamiquessous-tendant
notre modélisation physique. Pour des compléments sur les notions présentées dans cette
section,lelecteurpourraparexempleconsulter[Wo75,An89,EG94,Li96, GR96,Gi99].
Pour une fonction de deux variables ' : (x;y) 7! '(x;y), nous utiliseronsla notation
@
x;y
'(resp.@
y;x
') pourdésigner ladérivéepartielle de'parrapport àlapremière(resp.
deuxième) variable, la deuxième (resp. première) étant xée. Les dérivées secondes de '
serontnotées@
xx;y ',@
xy 'et@
yy;x
'.Onutiliseraégalementlanotationabrégée':='(x;y)
pourdésignerlafonction'.
2.1 Hypothèse fondamentale : existence d'une entropie
Noussupposonsqu'entoutpointdel'écoulementetàtoutinstant,lesuctuationsautour
del'étatd'équilibrethermodynamiquesontsusammentfaiblespourutiliserlocalementles
résultats classiques de la thermodynamique. En notant = 1
la dilatation, nous faisons
l'hypothèsefondamentalesuivante :ilexisteunefonction
s:(;")2O
;"
=(0;1)(0;1)7!s(;");
appeléeentropiespéciqueet satisfaisantlesdeuxpropriétéssuivantes:
(p1) 8(;")2O
;"
,@
";
s>0et @
;"
s>0 ;
(p2) sest strictementconcaveen(;"),i.e.8(;")2O
;"
,lamatrice
@
;"
s @
"
s
@
"
s @
"";
s
est dénienégative: (6)
Ilestclairquelastricteconcavitédeséquivautà
8(;")2O
;"
; (
@
"";
s<0;
@
"";
s@
;"
s (@
"
s) 2
>0:
(7)
2.2 Modélisation des lois de pression et de température
Nousprésentonsicitroisapprochespourmodéliserlesloisdepressionetdetempérature
danslecadredeshypothèsesfondamentalesdelasection2.1.
2.2.1 Lois de pressionet de température déduitesde l'entropie
Danscette approche,onsedonneapriori unefonctionssatisfaisant(p1)et (p2).Les
loisde pressionp:(;")2O
;"
7!p(;") et detempératureT :(;")2O
;"
7!T(;") se
déduisentalorsdirectementdesrelationsdeGibbs
8(;")2O
;"
; @
";
s= 1
T
et @
;"
s= p
T
; (8)
sibienque
8(;")2O
;"
; p(;")=
@
;"
s
@
";
s
et T(;")= 1
@
";
s
: (9)
Ledénominateurnes'annulejamaisenvertudel'hypothèse(p1).
Proposition 1. Lapression etla températuredonnées par(9)sont liées parla relation de
compatibilité:
8(;")2O
;"
; @
";
p= 1
T
p@
";
T @
;"
T
: (10)
Elles vérientde pluslespropriétés suivantes:
8(;")2O
;"
; 8
<
:
@
";
T >0;
@
;"
p<@
";
p
@
;"
T
@
";
T
:
(11)
Preuve. (10) exprimesimplementl'égalité des dérivées croiséesde s parrapport à et ".
(11)équivautauxpropriétésdestricteconcavité(7)pourl'entropie.
2.2.2 Lois de pressionet de température donnéesa priori
Danscetteapproche,onsedonneapriori deuxloisconstitutives,l'unepourlapression
p:(;")2O
;"
7!p(;")etl'autre pourlatempératureT :(;")2O
;"
7!T(;").
Lapropositionsuivantepréciseleshypothèsesquidoiventrestreindrecesloisanqu'elles
restentcompatibles aveclespropriétésfondamentales(p1)et (p2).
Proposition 2. Soient deux fonctions p: (;") 2 O
;"
7! p(;") et T : (;") 2 O
;"
7!
T(;"),toutesdeuxàvaleursdans(0;1).Onsupposequecesfonctionssatisfontla relation
de compatibilité (10) etles inégalités (11). Alors, il existe une fonction s:(;")2O
;"
7!
s(;")qui vérielesrelationsde Gibbs(8)et lespropriétésfondamentales(p1) et(p2).
Preuve. Analogueàcelledelaproposition1.
2.2.3 Lois de pressionet d'énergiedonnées a priori
Comme@
";
T >0pourtout(;")2O
;"
,onpeutinverserlafonction
T
:"2(0;1)7!T(;"): (12)
Ilestdoncpossibledeconsidérerlecouple(;T)commevariablesthermodynamiquesindé-
pendantesetdesedonnerdeuxloisd'étatdonnantlapressionpetl'énergieinternespécique
"enfonctionde(;T).Parlasuite,nousferonsl'hypothèsethermodynamiqueraisonnable
que
8 2(0;1); T(;0)=0 et T(;1)=1: (13)
Dans ces conditions,la fonctioninversede (12) est dénie pour (;T)2O
;T
=(0;1)
(0;1).
Lapropositionsuivantepréciselesconditionsquidoiventrestreindrelesloisdepression
etd'énergieanquecelles-cirestentcompatiblesaveclespropriétésfondamentales(p1) et
(p2).
Proposition 3. Soient deuxfonctions p:(;T)2O
;T
7!p(;T) et" :(;T)2O
;T 7!
"(;T),toutesdeuxàvaleursdans(0;1).Onsupposequecesfonctionssatisfontla relation
de compatibilité
8(;T)2O
;T
; @
;T
"=T@
T;
p p; (14)
etlesinégalités
8(;T)2O
;T
; (
@
T;
">0;
@
;T p<0:
(15)
Alors, il existe une fonction s:(;")2O
;"
7!s(;") qui vérie lesrelationsde Gibbs(8)
etlespropriétés fondamentales(p1)et(p2).
2.2.4 Hypothèsede monotoniesur la pression
Parlasuite,nousferonsl'hypothèsesuivante:
8 2(0;1); p(;0)=0; p(;1)=1 et 8"2(0;1); @
";
p(;")>0: (16)
Cette hypothèse permet d'une partd'inverser, pour tout 2 (0;1),la fonction p
: " 2
(0;1) 7! p(;") 2 (0;1)et ainsi de considérer la pression comme variable thermodyna-
mique indépendante.L'hypothèse(16) est d'autrepart nécessairepourdénir laméthode
derelaxationaussibienpourleséquationsd'EulerquepourleséquationsdeNavier-Stokes.
2.2.5 Capacités caloriques
Ondénitlacapacitécaloriqueàvolumeconstantc
v
,lacapacitécaloriqueàpression
constantec
p
etl'exposantadiabatique
adia
selonlesrelations
c
v
=@
T;
"; c
p
=@
T;p
h;
adia
= c
p
c
v
; (17)
oùh="+p estl'enthalpiespécique.
Si lesloisd'état p:(;T)7!p(;T)et ":(;T)7!"(;T)vérientleshypothèsesdela
proposition3,alorsuncalcul directconduità
8(;T)2O
;T
; c
p c
v
= T(@
T;
p) 2
@
;T p
>0:
Ce résultat montre que la diérence c
p c
v
ne dépend que des dérivées partielles de la
pressionmaispasdelaformedelaloi":(;T)7!"(;T).Onremarqueaussiquec
p
>c
v ,
puisque @
;T
pesttoujourspositif.Cettepropriétéestfondamentalementliéeàlaconcavité
del'entropie.
2.3 Bilan d'entropie
SoitS(W)=sl'entropievolumiqueassociée auvecteurW desvariablesconservatives
solutionde(1).Ona
@
t
(S(W))+r(US(W)) = @
t
(s)+r(sU)
= D
t s
= @
;"
sD
t +@
";
sD
t
"
;
où nous avons introduit l'opérateur diérentiel D
t
= @
t
+U r. Or, nous déduisons de
l'équationdeconservationdelamassedans(1)que
D
t
=rU:
Parailleurs,lebiland'énérgiecinétique 1
2 U
2
résultedubilandemasseetd'impulsionsous
laforme
@
t
1
2 U
2
+r
1
2 U
2
U
+Urp= (r)U:
Ensoustrayantcetteéquationàl'équationdeconservationdel'énergietotaledans(1),nous
obtenonsl'équationdeconservationdel'énergieinternespéciquesouslaforme
@
t
(")+r("U)+prU = rq :rU;
sibienque
D
t
"= prU+rq+:rU
:
En regroupantet en utilisantla relation de Gibbs (8) pour éliminer le terme en rU, il
vient
@
t
(S(W))+r(US(W))= 1
T
rq+:rU
:
Puisquer( q
T )=
rq
T
qrT
T 2
,onobtientnalementlebilan d'entropiesouslaforme
@
t
(S(W))+r(S(W)U)= r
q
T
+!; (18)
où!est letauxdeproductiond'entropiedonnépar
!=
qrT
T 2
:rU
T :
Enutilisant(3),ilvient
!=
rT rT
T 2
+
rU+rU T
2
3
(rU)I
:
rU+rU T
2
3
(rU)I
2T
:
D'aprèsledeuxièmeprincipedelathermodynamique,l'entropiespéciquesesttelle que
@
t
(s)+r(sU) r
q
T
:
Lescoecients et sontdoncnécessairementpositifs.
Le bilan d'entropie (18) n'est valable que pour des solutions régulières, ce qui est en
générallecaspourlesécoulementsrégis parleséquationsde Navier-Stokescompressibles.
Parcontre,pourleséquationsd'Euler(obtenuesdanslalimiteoù=0etq=0),ilestbien
connuquelessolutionspeuventdévelopperdeschocsentempsni.Danscesconditions,la
productiond'entropieestnullelàoùlasolutionestrégulièremaisestpositiveauniveaudes
chocs.
Remarque4. Lesexpressions(3)pour etqpeuvents'obtenirdanslecadredelathéorie
cinétique des gaz en eectuant undéveloppementde Enskog-Chapman à l'ordreun et en
négligeant la viscosité volumique (ce qui est exactpour les gaz monoatomiques). Un des
intérêts de la dérivation des ux diusifs à partir de la théorie cinétique est de montrer
quelapositivité descoecients et est une conséquencede lastructuredissipativedes
collisionsmicroscopiques[CC70,FK72,EG94].
2.4 Condition d'hyperbolicité et entropie
Laconditiond'hyperbolicitésefondesurlespropriétésdesuxconvectifsdusystèmede
Navier-Stokes(et donc d'Euler). En variables physiques V = (;U;p) T
et sousforme non
conservative,lesystèmedeséquationsd'Eulers'écrit souslaformecompacte
@
t V +A
x @
x V +A
y @
y V =0;
avec
A= 0
B
B
@
!
x u+!
y
v !
x
!
y
0
0 !
x u+!
y
v 0 !
x
0 0 !
x u+!
y
v !
y
0 (p@
";
p @
;"
p)!
x (p@
";
p @
;"
p)!
y
!
x u+!
y v
1
C
C
A
;
oùnousavonsposéA=!
x A
x +!
y A
y
avec(!
x
;!
y
)6=(0;0).Uncalculclassiquemontreque
laconditiond'hyperbolicité
estnécessaireet susantepourqueles4valeurspropresdelamatriceA soientréelles.
Proposition 5. Sous les hypothèses thermodynamiques fondamentales (p1) et (p2), la
conditiond'hyperbolicité (19) estvériée.
Preuve. Ona
@
"";
s@
;"
s (@
"
s) 2
= @
";
s@
"";
s p@
";
p @
;"
p
(@
";
p) 2
(@
";
s) 2
:
Laconditiond'hyperbolicitérésultedoncdelastricteconcavitédel'entropieetdespropriétés
@
";
s>0et@
"";
s<0.
Remarque 6. On notera que la condition d'hyperbolicité (19) seule n'est pas susante
pourgarantirlapropriétédeconcavité@
"";
s@
;"
s (@
"
s) 2
>0.
Laconditiond'hyperbolicitépeutsereformulerdemanièrepluscompacteenutilisantle
couple(;s)commevariablesthermodynamiquesindépendantes, puisquel'ona
p@
";
p @
;"
p= @
;s p:
Enconformitéaveclathéoriedel'acoustique,lavitessedusoncdansl'écoulementestdénie
par:
c= p
@
;s p=
p
@
;s p=
p
p@
";
p @
;"
p; (20)
et dans le cadre de cette théorie, on dénit un coecient , que nous noterons ici
acou ,
selonlarelation
acou
= c
2
p
: (21)
Uncalcul directmontreque
acou
=
@
;T p
p
adia :
2.5 Gaz thermiquement parfaits (TP)
Les modèles de gaz thermiquement parfaits interviennent dans de nombreuses appli-
cations. L'objet de cette section est de passer en revue quelques-unes de leurs propriétés
thermodynamiques.
2.5.1 Loi de Mariotte, loi de Jouleetgaz parfaits
Dénition 7(Loi de Mariotte). Ungaz satisfaitla loide Mariotte sisa pressions'ex-
prime sousla forme :
p=f(T); (22)
oùf :T 2(0;1)7!f(T)estune fonctionàvaleursdans(0;1).
Dénition8(GazTP). Onditqu'ungazestthermiquementparfait(TP)s'ilvérielaloi
deMariotteavecunefonctionf :T 7!f(T)linéaireenlatempérature.Danscesconditions,
onécrit
p=R T; (23)
oùRestune constantequi nedépendquede lanaturedugazconsidéré. OnaR=R
GP
=m
oùR
GP
estla constanteuniverselledesgazparfaitsetmla masse molairedugaz.
Dénition 9 (Loi de Joule). On dit qu'un gaz satisfait la loi de Joule si son énergie
interne nedépend quede la température.
Une conséquenceimmédiate de larelation decompatibilité (14)est la proposition sui-
vante :
Proposition 10.
(i)ungazTPvériela loide Joule;
(ii) ungazvériant la loide Jouleetla loi deMariotte estnécessairement TP.
PourungazTP, lescapacitéscaloriquessontdonnéespar
c
v
(T)="
0
(T) et c
p (T)=c
v
(T)+R ;
sibienque
adia
(T)=1+ R
c
v (T)
:
Deplus, pourtout gazvériantlaloide Mariotte,et doncen particulierpourungazTP,
ona
acou
=
adia
;
puisquelapressionestproportionnelleàladensité.Danscecas,onnoterasimplementla
valeurcommunedecesdeuxcoecients.
Dénition 11. Lorsquela quantité c
v
dépendeectivementde T,on parle de gazthermi-
quement parfait et caloriquementimparfait (TPCI). Lorsquecelle-ci ne dépend pasde T,
onparle de gazthermiquementetcaloriquementparfait (TPCP).
PourungazTPCP, ona( 1)"=( 1)c
v
T =R T =p=sibien quep=( 1)".
On notera que cette relation ne se généralisepas aux gaz TPCI. En fait, on peut même
montrerquesi ungazTPest telquep=( 1)",alors nedépend pasdeT.En eet,
larelationp=( 1)"etlarelationdecompatibilité(10)impliquentque"(T)="
0
(T)T,
i.eque"est homogènededegréunenT etdoncquelegazestTPCP.
2.5.2 Modélisation du coecient pour un gaz TP
Danslesapplications,unmodèlesouventconsidérépourlesgazTPconsisteàsedonner
lacapacité caloriqueàvolumeconstantsouslaforme
Laquantitéc
t
= 3
2
R estlacontribution macroscopiquedes échangesd'énergie translation-
nelledanslescollisionsmicroscopiques,c
t r
prendencomptelesdegrésdelibertérotation-
nels (échanges rotation-rotation et rotation-translation)et c
t r v
(T)prend encompte les
degrésdelibertévibrationnels(échangesvibration-vibration,vibration-rotationetvibration-
translation). Lacontribution c
t r
se modélise en général de façonrelativementsimple en
prenantc
t r
=R pour lesmolécules linéaires et c
t r
= 3
2
R pour lesmolécules de confor-
mationpluscomplexe. Parcontre,laforme fonctionnelledec
t r v
(T)n'étant pasconnue
apriori,celle-ciest souventmodélisée parunpolynômeobtenuparrégressionquadratique
àpartirdevaleursexpérimentales.Danstouslescas,onconstateque
(T)= R
c
v (T)
+1 R
c
t +1=
5
3 :
La borne supérieure est atteinte pour un gaz monoatomique, qui vérie donc = 5
3 in-
dépendammentde T. Pourungaz diatomiquesans échanges d'énergie vibrationnelle (par
exemple pour l'air àdes températures pastrop élevées), ona = 7
5
indépendamment de
T.Àdestempératuresplusélevées,lestransfertsd'énergievibrationnelledanslescollisions
microscopiquesnesontplusnégligeableset ona=(T)2(1;
7
5
]pourlesgazcomposésde
moléculeslinéaireset =(T)2(1;
4
3
]pourlesautres.
2.5.3 Explicitation de l'entropie pour un gaz TP
PourungazTP, l'entropie spéciques'exprimesouslaforme
s(;T)= Z
T
T
0 c
v (u)
u
du+Rlog
0 +s
0
;
où s
0
est l'entropie spécique dans l'état de référence (
0
;T
0
). Pour un gazTPCP, c
v ne
dépend pasdelatempératuresibienquel'ona
s(;T)=c
v log
1
T
1
0 T
0
!
+s
0
=Rlog T
1=( 1)
0 T
1=( 1)
0
!
+s
0 :
Comme la capacité calorique à volume constant c
v
est minorée uniformément en la
températureparlaconstante c
t
>0,onconstatequepourungazTP, l'entropiespécique
s explose enlogT lorsque T !0. L'entropie spéciques est égalementsingulière lorsque
la densité tend vers zéro mais l'entropie volumique s peut être prolongée parcontinuité
en =0 en posant 0log0=0.La singularité de s en latempératureest intimement liée
àladérivationàpartirdelathéoriecinétique delaloide pression,celle-cireposantsurla
statistique de Boltzmann. Or, le troisième principede lathermodynamique ne s'applique
pasàdes gazrégis parlastatistiquede Boltzmann,mais àceuxrégisparlastatistiquede
Fermi-Diracoucelle deBose-Einstein.On pourra consulter[Wo75] pourdes compléments.
LasingularitédesenT =0serautiliséeparlasuiteandecontrôlerlaborneinférieurede
l'énergieinterne pour leséquationsdeNavier-Stokesrelaxées danslecas d'écoulementsde
gazTP.
3 Principe de la méthode de relaxation : équations d'Eu-
ler
L'objet de cettesectionest de présenter leprincipe dela méthodede relaxationsurle
casdeséquationsd'Euler,obtenuespour =0etq=0dans(1):
8
>
<
>
:
@
t
+r(U)=0;
@
t
(U)+r(UU)+rp=0;
@
t
E+r((E+p)U)=0:
(24)
Lessolutionsde(24)développanten généraldes chocsentempsni,leséquations d'Euler
sontcomplétéesparlaconditiond'entropie
@
t
()+r(U)0: (25)
Ici,= sestl'entropiemathématique (parunitédemasse).
Pourlapreuvede l'ensembledesrésultatsprésentésdans cettesection, nousrenvoyons
à[CP98].
3.1 Le système relaxé
Leprincipedelaméthodederelaxationpourleséquationsd'Eulerconsisteàsedonner
une loi de pression p
1 := p
1 (;"
1
) de façon à retrouver les équations d'Euler (24) et la
conditiond'entropie(25)dans lalimite d'untauxderelaxationinni(!1)àpartirdu
système
8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
@
t
+r(
U
)=0;
@
t (
U
)+r(
U
U
)+rp
1
=0;
@
t E
1
+r((E
1 +p
1 )U
)=
"
2 F(
;"
1 )
;
@
t (
"
2
)+r(
"
2 U
)=
"
2 F(
;"
1 )
;
(26)
avec lesnotations p
1
=p
1 (
;"
1 ),
= 1
et E
1
= 1
2
(U
) 2
+
"
1
. Onnotera W
=
(
;
U
;E
1
;
"
2 )
T
2IR d+3
levecteurdesvariablesconservativespourlesystèmerelaxé
(26).Enn,F :=F(;"
1
)est unefonctiondéniesurIR 2
+ .
Legazrégiparleséquationsd'Euler(24)aveclaloidepressionp:=p(;")seraappelé
gazréel etceluiassocié àlaloidepressionp
1 :=p
1 (;"
1
)seraappelégazctif.
3.2 Consistance du système relaxé
LafonctionF dans(26)estdéterminée parlarelationdeconsistance
8(;"
1 )2O
;"
; p ;"
1
+F(;"
1 )
=p
1 (;"
1
): (27)
Cetterelationdénit bienF de manièreunivoquegrâceàl'hypothèse(16)et authéorème
desfonctionsimplicites. Nousintroduisonslavariétéd'équilibre
V =f(;"
1
;"
2 )2IR
3
+
;"
2
=F(;"
1 )g:
De(26),nousdéduisonsquepouruntauxderelaxationinni,nousavons"
1
2
=F( 1
;"
1
1 ),
i.e.( 1
;"
1
1
;"
1
2
)2V.Enutilisantlarelationdeconsistance(27),ilvient
p(
1
;"
1
1 +"
1
2 )=p
1 (
1
;"
1
1 ):
Ainsi, en posant E 1
= E 1
1 +
1
"
1
2
, le vecteur W 1
= ( 1
;(U) 1
;E 1
) T
satisfait les
équationsd'Euler(24)aveclaloidepressiondugazréel.
Remarque12. Danslapratique,laméthodederelaxationestsouventmiseen÷uvreavec
ungazctifTPCPsibien que
p
1 (;"
1 )=(
1 1)
1
"
1
;
où
1
est une constante xée. Lorsquele gaz réel est TP, la relation de consistance (27)
impliqueque
F :=F("
1 )="
1 1
R
"
1
"
1
;
i.e.F nedépendpasde.Si,deplus,legazréelestTPCP,ona
F("
1 )=
1
1
"
1
;
i.e.F estlinéaireen"
1
.Notonsquedanslesdeuxcas,ona
F 0
("
1 )=
1 (T
1 )
(T
1 ) 1
; (28)
oùT
1
=(
1 1)"
1
=Ret est l'exposantadiabatiquedugazréel.
3.3 Stabilité du système relaxé
L'étudedestabilitédusystèmerelaxéreposesurlanotiond'entropie.Plusprécisément,
ennotant
1
l'entropiemathématiquedugazctifintroduitdanslaméthodederelaxation,
onsouhaiteconstruireune fonction:=(
1
;"
2
)telle que
soitcompatible avecl'entropiemathématique àl'équilibre
8(;"
1 )2O
;"
; ;"
1
+F(;"
1 )
=
1 (;"
1
);F(;"
1 )
; (29)
enposantW =(;U;E
1
;"
2 )
T
2IR d+3
,lafonction
S :=S(W)=
1 (
1
; E1
1
2 U
2
);"
2
; (30)
soit strictementconvexeenW;
lasolutionW
de(26)satisfasseuneinégalitéd'entropiedelaforme
@
t S(W
)+r
U
S(W
)
0:
Lethéorèmesuivantpréciseleshypothèsessurlaloidepressionp
1
pourassurerl'existence
d'unefonctionjouissantdespropriétésci-dessus[CP98].
Théorème 13. On suppose que les lois de pression p := p(;") et p
1 := p
1 (;"
1 ) sont
respectivement associées à une entropie mathématique et
1
et que ces lois de pression
vérienttoutesdeux(16).OnsupposedeplusquelafonctionF(;"
1
)dénieimplicitement
parla relation (27)satisfait lesconditionssous-caractéristiques suivantes:
8
>
<
>
: 8(;"
1 )2O
;"
; @
"1;
F(;"
1 )>0;
8(;"
1 )2O
;"
; c
1 (;"
1
)>c(;"
1
+F(;"
1 ));
lim
"1!1 F(;"
1
)=1 à
1 xée;
(31)
oùcetc
1
désignentrespectivementlavitesse dusonévaluéeselon(20)pourlegazréeletle
gazctif.Dans cesconditions:
(i)il existeune fonction:=(
1
;"
2
)satisfaisantla relationde compatibilité(29);
(ii) la fonction S:=S(W)dénie par (30) est strictementconvexe en W à l'équilibre, i.e.
pour(;"
1
;"
2 )2V;
(iii)Soit!
e :=!
e (;"
1
;"
2
) lafonction déniepar
!
e (;"
1
;"
2 )=
1
@
1
;"
2 (
1 (;"
1 );"
2 )@
"
1
;
1 (;"
1 ) @
"
2
;
1 (
1 (;"
1 );"
2 )
"
2
F(;"
1 )
:
(32)
Alors,en posant!
e
=!
e (
;"
1
;"
2 ), ona
@
t S(W
)+r
U
S(W
)
!
e
;
avec égalité si la solution W
de (26) est régulière. De plus, on a !
e
0 pour tout et
!
e
=0sietseulement si(
;"
1
;"
2
)2V,i.e. àl'équilibre.
La fonction !
e
donnée par (32) s'interprète comme la production d'entropie due àla
relaxationpourleséquationsd'Euler.Onnoteraquelethéorème13nedonnepaslaconvexité
del'entropieSsur IR d+3
maisuniquementàl'équilibre.Cetterestrictionn'empêchepasde
dénirles chocs admissibles pour(26) puisque les non linéarités n'interviennentque dans
lestrois premièreséquationsquiadmettentl'entropie
1 .
Lorsquela loide pressionp
1 :=p
1 (;"
1
)est celle d'un gazTPCP, lesconditions sous-
caractéristiques(31)sesimplientetonobtientégalementlaconvexitéglobaledel'entropie
S.
Théorème 14. On supposeque la loi de pression p:=p(;") est associée àune entropie
Dans cesconditions,
(i)lesconditionssous-caractéristiques(31) sontéquivalentes à
(
1
>sup
;"
acou
(;") où
acou
(;")= @
";
p 1
p
@
;"
p
;
1
>sup
;"
b
(;") oùb(;")=@
";
p+1:
(33)
(ii) lafonction S:=S(W)eststrictement convexeenW.
LorsquelegazréelestTP,lesconditionssous-caractéristiques(33)seréduisentà
1
>sup
T
(T); (34)
puisque dans ce cas, b =
acou
=
adia
= et que cette quantité ne dépend que de la
températureT.
Ilsera utilepourlasuite derappeler quelquespropriétésde lafonction:=(
1
;"
2 )
[CP98].Toutd'abord,ennotantO
1
l'ensembledesréelsatteignables par
1 (;"
1
)lorsque
(;"
1
) décrit O
;"
, la fonction est dénie sur O
1 IR
+
. De plus, dans le cadre des
hypothèses duthéorème13, onmontre qu'ilexistedeux fonctionsT :=T(
1
;"
2 ) et E
1 :=
E
1 (
1
;"
2
),toutesdeuxdéniessurO
1 IR
+
ettellesque
8(;"
1
;"
2 )2V;
T
1 (;"
1 );"
2
= ;
E
1
1 (;"
1 );"
2
= "
1 :
Lafonctionestdonnéepar
8(
1
;"
2 )2O
1 IR
+
; (
1
;"
2 )=
T(
1
;"
2 );E
1 (
1
;"
2 )+"
2
: (35)
En utilisantlarèglede ladérivation composéeet quelques manipulationsélémentaires,on
vérieaisémentque
@
1
;"
2 (
1
;"
2 )=
@
";
T(
1
;"
2 );E
1 (
1
;"
2 )+"
2
@
"1;
1
T(
1
;"
2 );E
1 (
1
;"
2 )
>0; (36)
etque
@
"2;1 (
1
;"
2 )=@
";
T(
1
;"
2 );E
1 (
1
;"
2 )+"
2
<0: (37)
Cesrelationsserontutilesdanslasectionsuivantepourdénirunetempératureglobalelors
delarelaxationdusystèmedeNavier-Stokes.
3.4 Analyse de stabilité asymptotique à l'ordre un
Ons'intéresseàdespetitesperturbationsdelasolutionW
=(
;
U
;E
1
;
"
2 )
T
2
IR d+3
de (26)autourdes étatsd'équilibre. Plusprécisément,enposant"
="
1 +"
2 et en
notant"
;0
1
lasolutionuniquede
"
="
;0
1
+F(
;"
;0
1
); (38)
onconsidèrepourl'énergie interne spécique"
1
undéveloppementasymptotique àl'ordre
undelaforme
"
1
="
;0
1 +
1
"
;1
1 +O
1
2
: (39)
Enutilisant(38),l'énergieinternespécique"
2
sedéveloppesouslaforme
"
2
=F(
;"
;0
1 )
1
"
;1
1 +O
1
2
: (40)
Notre objectifest de préciserau premierordre en 1
lesystème delois deconservation
dontlevecteur
W
=(
;
U
;E
1 +
"
2 )
T
2IR d+2
; (41)
estsolution.Onposera
= 1
, E
= 1
2
(U
) 2
+
"
et p
=p(
;"
).
Proposition15. LevecteurW
donnépar(41) estsolution,àl'ordreunen 1
,dusystème
de loisde conservation
8
>
<
>
:
@
t
+r(
U
)=0;
@
t (
U
)+r(
U
U
)+rp
= 1
r(
e rU
);
@
t E
+r((E
+p
)U
)= 1
r(
e U
rU
);
(42)
où
e
=
e (
;"
)et la fonction
e :=
e
(;")estdonnéepar
e
(;")=
@
";
p
@
"1;
p
1 (c
2
1 c
2
); (43)
lesquantités@
";
petc étantévaluéesen (;")et lesquantités@
"1;
p
1 etc
1
en (;"
1 )où"
1
estla solutionunique de"="
1
+F(;"
1 ).
Uneconséquenceimmédiatedesconditionssous-caractéristiques(31)estquelafonction
e
dénie par (43) est à valeurs positives. Cette propriété est particulièrement agréable
puisqu'ennotantS
=
(
;"
)l'entropiemathématique (parunité devolume)associée
àlasolutionW
de(42),etensupposantW
régulière,ona
@
t S
+r(U
S
)=
e
T
(rU
) 2
0;
où T
= (@
";
(
;"
)) 1
est latempérature naturellement associée au gaz réel.Cette
propriétéconrmelastabilitédusystèmeasymptotique(42).
4 Extension aux équations de Navier-Stokes
L'objetdecettesectionestd'étendreauxéquationsdeNavier-Stokescompressibles(1)les
considérationsthéoriquesdéveloppéesdanslasectionprécédentepourleséquationsd'Euler.
Ladiérence essentielleavecleséquations d'Eulerest que laprésencedes ux diusifs, et
notamment du ux de chaleur, demande de prendre en compte non seulement la loi de
pressiondugazréelmaiségalementsaloidetempératureenfonctiondeladilatationetde
l'énergieinternespécique.Commepourleséquationsd'Euler,onconviendrad'appelergaz
réel le gaz eectivement considéré dans le modèle physique et gaz ctif celui introduit
danslaméthodederelaxation.
4.1 Le système relaxé
NousprésentonslaméthodederelaxationappliquéeauxéquationsdeNavier-Stokesdans
uncadrerelativementgénéral.OutrelafonctionF:=F(;"
1
)introduitepourleséquations
d'Euler,nousnousdonnonstrois fonctions
8
<
:
:= (;"
1
); (;"
1 )2IR
2
+
;
:= (;"
1
;"
2
); (;"
1
;"
2 )2IR
3
+
;
:= (;"
1
;"
2
); (;"
1
;"
2 )2IR
3
+
;
les deux premières correspondant à des coecients de pondération sans dimension et la
troisièmeayantlesdimensionsd'unetempérature.Lafonctionest àvaleursdansIR
+ et
représenteunetempératureglobale pourlesystèmedeNavier-Stokesrelaxé.
Notre objectif est de retrouver les équations de Navier-Stokes(1) dans la limite d'un
tauxderelaxationinni (!1)àpartirdusystème
8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
@
t
+r(
U
)=0;
@
t (
U
)+r(
U
U
)+rp
1
= r
;
@
t E
1
+r((E
1 +p
1 )U
)= r(
U
) rq
1 +P
1
;
@
t (
"
2
)+r(
"
2 U
)= P
1 P
2 :
(44)
Commeprécédemment,nousutilisonsl'indicesupérieurpourindiquerqu'unefonctionest
évaluéeensesargumentsavecl'indice supérieur,i.e. p
1
=p
1 (
;"
1 )où
= 1
et "
1
=
E
1 1
2 (U
) 2
,
=(
;"
1
),etc. OnnoteraànouveauW
=(
;
U
;E
1
;
"
2 )
T
2
IR d+3
levecteurdesvariablesconservativespourlesystème relaxé(44).
Lestermesdeperturbation(quisontdesfonctionsdesvariablesconservatives)s'écrivent
souslaforme
(
P
1
=(:rU+rq
1
)+("
2
F(;"
1 ))
P
2
=rq
2
;
(45)
aveclesux dechaleurq
1 etq
2
dénispar
q
1
= rT
1
; q
2
=Q q
1
; Q= r;
oùT
1 :=T
1 (;"
1
)estlatempératuredugazctif(T
1 (;"
1 )=(
1 1)"
1
=Rsilegazctifest
TPCP).Pour simplierla présentation, noussupposerons parla suiteque laconductivité
thermiqueestconstante.
Onnoteraquelemembrededroitedel'équation deE
1
dans(44)s'écrit
(r
)U
(1
)(
:rU
+rq
1 )+
("
2 F(
;"
1 ));
alorsquelemembrededroitedel'équationde
"
2 s'écrit
(
:rU
+rq
1
)
rq
2
("
2 F(
;"
1 )):
Lecoecientpermet doncdepondérerlescontributionsdeladissipationvisqueuseetde
ladiusionde chaleurentrelesdeux bilans d'énergieconsidérés. Onnoteraégalementque
seulleuxdechaleurliéaugazctifintervientdansl'équationdeE
1
etque"
2
n'intervient
queparlebiaisdutermederelaxationdéjàintroduitpourleséquationsd'Euler.
4.2 Consistance du système relaxé
Proposition 16. Onsupposeque
(i) la fonction F estdéterminéeparla relationde consistance(27);
(ii) 8(;"
1
;"
2
)2V,(;"
1
;"
2 )=1;
(iii) 8(;"
1
;"
2
)2V,(;"
1
;"
2
)= 1=@
";
(;"
1 +"
2 ).
Alors, le vecteur W 1
= ( 1
;U 1
;E 1
) T
2 IR d+2
avec E 1
= E 1
1 +
1
"
1
2
satisfait les
équations de Navier-Stokes compressibles (1)avecles loisde pressionetde températuredu
gazréel.
Preuve. Pouruntauxderelaxationinni,nousavonsclairement
( 1
;"
1
1
;"
1
2 )2V;
sibienquegrâceàlarelationdeconsistance(27),nousobtenons
p(
1
;"
1
1 +"
1
2 )=p
1 (
1
;"
1
1 ):
Parailleurs,ensommantlestroisièmeet quatrièmeéquationsdans(44)et enposant"
1
=
"
1
1 +"
1
2 etE
1
=E 1
1 +
1
"
1
2
,nousobtenons,grâceauxhypothèsessuret ,l'équation
deconservationdel'énergiesouslaforme
@
t E
1
+r((E 1
+p 1
)U 1
)= r( 1
U 1
) rq 1
;
avec leux de chaleur q 1
= rT
1
où T 1
= 1=@
";
( 1
;"
1
) est la température du
gazréel.
Remarque17. Danslecasgénéral,onn'apasnécessairementégalitédestempératuresdu
gazréeletdugazctifàl'équilibre,i.e.T 1
6=T 1
1
apriori.Uncasparticulierremarquable
est celuioù le gazréel est TPCI et legaz ctif TPCP. En eet,la température aalorsla
mêmeformefonctionnelleenladensitéetlapressionpourlegazréeletlegazctif, sibien
1 1 1
4.3 Stabilité du système relaxé
CettesectionprésentenotrerésultatprincipalconcernantlastabilitédusystèmeNavier-
Stokesrelaxé(44).Ilmontreenparticulierqu'andegarantirlastabilitéde(44),lesfonctions
et doiventêtrechoisiesdefaçonprécise:lafonction est donnéepar
8
>
>
<
>
>
: 8(;"
1
;"
2 )2IR
3
+
;
(;"
1
;"
2
)=+(1 )
@
"1;
1 (;"
1 )
@
"
1
;
1
T(
1 (;"
1 );"
2 );E
1 (
1 (;"
1 );"
2 )
;
(46)
etlafonctionpar
8
<
: 8(;"
1
;"
2 )2IR
3
+
;
(;"
1
;"
2 )=
(1 )@
1
;"
2 (
1 (;"
1 );"
2 )@
"
1
;
1 (;"
1 )+@
"
2
;
1 (
1 (;"
1 );"
2 )
1
;
(47)
lecoecientétantévaluéen(;"
1 ).
Théorème18. Avecleshypothèsesduthéorème13,onsupposequelesfonctionsetsont
donnéespar(46)et(47)etquelafonctionestàvaleursdans[0;1].Alors,leshypothèsesde
consistanceénoncéesàla proposition16sont satisfaites.Onsupposede plusquela solution
W
de(44) estrégulièreetque"
2 2IR
+
àtouttempseten toutpointdel'écoulement. Soit
S la fonctiondéniepar (30) dontl'existenceestgarantie parlethéorème13. Alors, on a
8; @
t S(W
)+r
U
S(W
)
r
Q
=!
e +
:rU
+ Q
r
(
) 2
0; (48)
oùlacontribution!
e
=!
e (
;"
1
;"
2
)estévaluée,commepourleséquationsd'Eulerrelaxées,
selon(32).
Remarque 19. On note que lestrois contributions àla dissipation d'entropie (dues res-
pectivementàlarelaxation,auux dequantité demouvementetau uxde chaleur)sont
négativesindépendamment.
Preuve. (i)Vérionsd'abordleshypothèsesdeconsistanceénoncéesàlaproposition16.An
d'alléger lesnotations, nousomettons lesargumentsdes fonctions et
1
lorsque ceux-ci
sont(
1 (;"
1 );"
2
)et(;"
1
)respectivement.Nousconstatonsque>0puisque01
et queles deuxtermes @
1
;"
2 @
"
1
;
1 et @
"
2
;
1
sont négatifs d'aprèslesrelations(36) et
(37).De plus, toujoursen utilisant (36)et (37),nous constatons que pour (;"
1
;"
2 )2 V,
nousavons
@
1
;"
2 @
"
1
;
1
=@
"
2
;
1 =@
";
(;"
1 +"
2 );
si bien que (;"
1
;"
2
) = 1=@
";
(;"
1 +"
2
) pour (;"
1
;"
2
) 2 V. De plus, il est clair
que nous avons (;"
1
;"
2
) = 1 pour (;"
1
;"
2
) 2 V. Les hypothèses de consistance de la
proposition16sontdoncbiensatisfaitespourlesfonctions etdonnéespar(46)et(47).
(ii)Passonsmaintenantaubiland'entropie(48).Nousomettronsl'indiceand'allégerles
notations.Enutilisantlarègledeladérivationcomposée,ilvient
@
t
S+r(US) = @
1
;"
2 @
t (
1
)+r(U
1 )
+ @
"2;1 @
t ("
2
)+r(U"
2 )
:
Comme
1 :=
1 (;"
1 ),ona
@
t (
1
)+r(U
1
) = @
"1;
1
@
t ("
1
)+r(U"
1 )
+@
;"1
1 rU
= @
"
1
;
1
:rU rq
1 p
1
rU+P
1
+@
;"
1
1 rU:
Parailleurs,
@
t ("
2
)+r(U"
2 )= P
1 P
2 :
Enregroupant,il vient
@
t
S+r(US) = @
1;"2 @
"1;
1
( :rU rq
1 +P
1 )
+ @
"
2
;
1
( P
1 P
2 )
+ @
1;"2 (@
;"1
1 p
1
@
"1;
1 )rU:
LacontributionderU estnulle grâceàlarelationdeGibbs.En explicitantP
1 et P
2 ,on
obtient
@
t
S+r(US) =
@
"
2
;
1
+(1 )@
1
;"
2 @
"
1
;
1
(:rU+rq
1 )
@
"2;1 rq
2
+ !
e :
Lefacteurentreparenthèsesdevant(:rU+rq
1
)vautpardénition 1=.Parailleurs,
de(46)etdesrelations(36)et (37),nousdéduisonsque@
"2;1
= 1=.Parconséquent,
ilvient
@
t
S+r(US) = 1
(:rU+rq
1 +rq
2 )+!
e
= 1
(:rU+rQ)+!
e
;
cequicomplètelapreuve.
On note que lastabilité dusystème Navier-Stokesrelaxésuppose l'estimation a priori
"
2 2IR
+
. Lesystème d'Eulerrelaxéadmetledomained'invariance("
1
;"
2 )2IR
2
+
puisque
à xé,lafonction "
1
7!F(;"
1
)est parhypothèse strictementcroissanteavec F(;0)=
0 et que "
2
est régi par une équation de convection-diusion dont le terme source vaut
"
2 F(
;"
1 )
.Parcontre,pourlesystèmeNavier-Stokesrelaxé,l'estimationapriori
"
2 2IR
+
n'estpasclairea priori àcause delaprésence determessource supplémentaires
dans l'équation de "
2
. Elle peut toutefois s'obtenir àpartir de l'estimation d'entropie du
théorème 18 lorsque l'entropie du gaz réel et celle du gaz ctif sont singulières lorsque
Proposition 20. On supposeque la solutionW
de(44) est régulière etquel'entropie du
gazréelet celledugazctif sontsingulièreslorsque"!0. Danscesconditions, lesystème
(44) admetledomaine d'invariance "
2
>0.
Preuve. L'hypothèsesurlesentropiesimpliquequel'entropieglobaleexploselorsque"
2
!
0.Or,celle-ciestrégieparl'équationdebilan(48)et nepeutdoncexploserentempsnisi
lasolutionW
estrégulière.
4.4 Analyse de stabilité asymptotique à l'ordre un
On s'intéresseà des petites perturbations de la solution W
de (44) autour des états
d'équilibre.Enconsidérantlamêmeapprochequepourleséquationsd'Eulerrelaxées,notre
objectif est de préciser au premier ordre en 1
le système de lois de conservation dont le
vecteur
W
=(
;
U
;E
1 +
"
2 )
T
2IR d+2
;
estsolution.Nousreprenonslesnotationsutiliséesdanslasection3.4.Lesénergiesinternes
spéciques"
1 et"
2
sontdoncànouveaudonnéesàl'ordreunen 1
parlesdéveloppements
asymptotiques(39)et (40).
Lesrésultatsprésentésdanscettesectionsontrestreintsaucasoùlegazréelest TPet
legazctifTPCP.Danscecas(voirremarque12),lafonctionF nedépendquede"
1 .Nous
supposonsdanscettesectionquelafonctions'exprimesouslaforme
("
1 )=
F 0
("
1 )
1+F 0
("
1 )
: (49)
Notonsqu'envertudelapremièreconditionsous-caractéristique(31),onabien 01.
Deplus,enutilisant(28),nouspouvonsréécrire(49)souslaforme
("
1 )=
1 (T
1 )
1 1
; (50)
oùT
1
=(
1 1)"
1
=Ret (T)estl'exposantadiabatiquedugazréel.
Proposition21. OnconsidèreunécoulementoùlegazréelestTPCIetlegazctifTPCP.
Onsupposequela fonction estdonnéepar (49) etqueles fonctions etsont données
par(46) et(47). Alors, levecteur W
2IR d+2
est solution, àl'ordre unen 1
,du système
de loisde conservation
8
>
<
>
:
@
t
+r(
U
)=0;
@
t (
U
)+r(
U
U
)+rp
= r
+ 1
r(
e rU
);
@
t E
+r((E
+p
)U
)= r(
U
) rq
+ 1
r(
e U
rU
);
(51)
où
e
est donnée par (43), q
= rT
et T
= 1=@
";
(
;"
), étant l'entropie
mathématique dugazréel.
Preuve. Nous omettrons la plupart des indices an d'alléger les notationsmais l'indice
supérieur(;0) seraconservéand'indiquer qu'unefonctionqui dépend de"
1
est évaluée
enlavaleurd'équilibre"
;0
1 .
(i)Enutilisantlesdéveloppementsasymptotiques(39)et(40),onobtient
(F("
1 ) "
2 )="
;1
1
(1+F 0
("
;0
1
))+O
1
:
Enidentiantlestermes d'ordrezérodanslaquatrièmeéquationde(44),ilvient
"
;1
1
(1+F 0
("
;0
1
))
;0
S
;0
P
;0
2
= @
t F
;0
+UrF
;0
= F
0
("
;0
1 )(@
t
"
;0
1
+Ur"
;0
1 );
oùonaposéS
;0
=(:rU+rq
1 )
;0
.CommeparhypothèselegazréelestTPCIetlegaz
ctifTPCP,leurstempératurescoïncidentàl'équilibre sibien queP
;0
2
=0.En identiant
maintenant les termes d'ordre zéro dans la troisième équation de (44) et en utilisant la
deuxièmeéquationde(44)pouréliminerlaconservationdel'énergiecinétique,onobtient
@
t
"
;0
1
+Ur"
;0
1
= "
;1
1
(1+F 0
("
;0
1 )) p
;0
1
rU (1
;0
)S
;0
:
Desdeuxéquationsci-dessuset delarelation(49),ondéduitaisémentque
(1+F 0
("
;0
1 ))
2
"
;1
1
= rUp
;0
1 F
0
("
;0
1 )+
;0
(1
;0
)F 0
("
;0
1 )
S
;0
= rUp
;0
1 F
0
("
;0
1 );
d'oùl'ontire"
;1
1
.OnremarqueraquelacontributiondeS
;0
disparaîtgrâceauchoix(49)
pourlecoecientpondérateur.
(ii)Ensommantlesdeuxéquationsdel'énergiedans(44),onobtient
8
>
<
>
:
@
t
+r(
U
)=0;
@
t (
U
)+r(
U
U
)+rp
1
= r
;
@
t E
+r((E
+p
1 )U
)= r(
U
) rQ
+(1
)rq
2 :
Or,àl'ordreunen 1
, ona
p
1
=p
1 (
;"
1 )=p(
;"
)+ 1
@
"
1
; p
1 (;"
;0
1 )"
;1
1 +O
1
2
;
et
(1
)rq
2
=O
1
2
;
puisque 1
=O(
1
)et q
2
=O(
1
). Onretrouvedonclesystème (51)àl'ordreunen 1
(iii) Dans le cadre d'une relaxationentre ungaz TPCI et ungaz TPCP, uncalcul direct
permetdevérierquelesfonctionsT etE
1
introduitesdanslasection3.3sontexplicitement
donnéessouslaforme
T(
1
;"
2 )=e
1
=R
F 1
("
2 )
1=(1 1)
et E
1 ("
2 )=F
1
("
2 );
E
1
ne dépendant donc pas de
1
. Or, comme l'entropie mathématique d'un gaz TPCI
s'écrità uneconstante additiveprèssouslaforme (;")= Rlog +(") où est une
certainefonctiondel'énergie interne uniquement, nousdéduisons deladénition (35)que
l'entropieglobalesedécomposesouslaforme
(
1
;"
2 )=
1 + ("
2 );
avec
("
2 )=
R
1 1
logF 1
("
2
)+ F 1
("
2 )+"
2
:
Lesrelationsci-dessusimpliquentquelatempératureglobaledonnéepar(47)s'écritsous
laformed'unemoyenneharmonique
1
=
1
T
1 +
T
; (52)
oùT
1
=(
1 1)"
1
=Rest latempératuredugazctif et
T
=
1
@
";
T(
1
;"
2 );E
1 ("
2 )+"
2
;
s'interprète comme la température qu'aurait le gaz réel à l'équilibre. De la relation (50),
nousdéduisonsque
1
= (T
1 ) 1
1 1
1
T
1 +
1 (T
1 )
1 1
1
T
: (53)
Ilresteàdévelopper
àl'ordreunen 1
.Noussavonsdéjàque
;0
=T
;0
1
=T
;0
=T
:
Àl'ordreunen 1
,iln'estdoncpasnécessairedeprendreencomptelesvariationsde(T
1 )
maisuniquementcellesdestempératuresT
1 etT
.D'unepart,ona
T
1
=T
+
1 1
R 1
"
;1
1 :
D'autrepart,puisque
E
1 ("
2 )+"
2
="
1 1
1
;0 1
"
;1
1
;
onobtient
T
=T
1
c
;0
v
1 1
1
;0 1
"
;1
1 :
Enreportantdans(53),il vient
=T
+O
1
2
;
cequicomplètelapreuve.
Lesystèmeapprochéobtenudanslaproposition21estbiencompatibleaveclacondition
d'entropie.Eneet,notonsS
=
(
;"
)l'entropiemathématiqueassociéeàlasolution
W
de (51),T
= 1=@
";
(
;"
)latempératureet q
= rT
leux dechaleur.En
supposantW
régulière,uncalculdirect conduitaubilan d'entropiesouslaforme
@
t S
+r(U
S
) r
q
T
=
e
T
(rU
) 2
+
:rU
T
+ q
rT
(T
) 2
0;
lestroistermesdumembrededroiteétantnégatifsindépendamment.Cettepropriétéconrme
lerésultatfondamentaldestabilitéobtenudanslethéorème18.
5 Mise en ÷uvre numérique
5.1 Algorithme
Une façon pratique de résoudre le système de Navier-Stokes (1) dans le cadre de la
méthode de relaxation est la suivante. On se donne un gaz ctif TPCP satisfaisant les
conditionssous-caractéristiques (33).À partirdelasolutionnumérique autemps discret
t n
, W n
=( n
; n
U n
;E n
),l'algorithmecomprendtrois étapes:
1) décomposition initiale. Onévaluel'énergie interne spécique"
n
= E
n
n
1
2 (U
n
) 2
,la
dilatation n
= 1
n
et lapressionp n
=p(
n
;"
n
),puisoncalculelesénergiesinternes
"
n
1
= p(
n
;"
n
)
(
1 1)
n
et "
n
2
="
n
"
n
1
;
ainsiquelatempératureT n
1
=(
1 1)"
n
1
=R .
2) étape prédicteur : évolution en temps. Le système Navier-Stokesrelaxé (44) est
intégréentre t n
et t n+1
dans lalimite de l'équilibre !1. Les fonctions, et sont
évaluées respectivement selon (49),(46) et (47) si bien que la stabilité du système relaxé
résulteduthéorème18.Numériquement,cesfonctionssonttraitéesexplicitemententemps
