G264. Le parcours d'Ouroboros
Ouroboros, le serpent géant qui se mord la queue, s’installe dans une cour constituée de 2011 * 2011 dalles carrées de dimension unité. A chaque déplacement d’une dalle à une dalle adjacente ayant un côté commun, il fait un virage à 90° de telle sorte que les directions de deux déplacements ayant un point commun sont perpendiculaires entre elles. Il ne passe jamais deux fois par la même dalle sauf quand en fin de parcours il se mord la queue. A titre d’exemple, ci-après le parcours d’un serpenteau de taille 16 qui part du point D situé en c5 dans une cour de dimension 5 x 5 et se mord la queue sur cette même dalle. Quelle est la plus grande taille possible d’Ouroboros ?
La longueur L du serpent est égale au nombre de carreaux visités.
Si on considére l'ensemble des mesures possibles des cotés d'une cour carré On remarque des suites qui prennent les formes suivantes :
➔ Pour les cours dont les cotés ont un nombre pair d'unités.
• 4k
4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32,… 2000, etc.
(1×4), (2×4), (3×4), (4×4), (5×4), (6×4), (7×4), (8×4),… (500×4)
•4k-2 (k>0)
2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, etc.
(1×4)-2, (2×4)-2, (3×4)-2, (4×4)-2, (5×4)-2, (6×4)-2, (7×4)-2, (8×4)-2
➔ Puis pour les impairs :
•4k+1
1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, …, 2009, etc.
1+(0×4), 1+(1×4), 1+(2×4), 1+(3×4), 1+(4×4), 1+(5×4), 1+(6×4), 1+(7×4),…, 1+(502×4)
• 4k-1 (k>0)
3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35,… , 2011 etc.
(1×4)-1,, (2×4)-1, (3×4)-1, (4×4)-1, (5×4)-1, (6×4)-1,… (503×4)-1 etc.
Dans les coins on a une alternance entre « escaliers à 2 marches » et « escaliers à 3 marches » Il est plus « rentable » de faire le changement de rangée sur les coins « escalier à 3 marches »
Ici (dans le cas qui nous intéresse, forme
4k-1, puisque 2011 = (4×503) – 1
, le nombre de carreaux visités ou non visités reste le même après le passage de k à k+1➔ Longueur maximum du serpent pour
c = 4k – 1
Pour toutes les valeurs respectives de k (nombres entiers naturels), comme vu plus haut, on a des cotés de :
•3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31,… 2007, 2011… unités.
Et de façon générale si on dénombre les carreaux non visités sur la grille (voir ci-dessus) on a : (1+8) +(8-2) +[(k-2)×8] +2 supplémentaires aux derniers rangs
= 8k+1
que l'on retire au nombre total de carreaux (4k – 1 )².•On peut en déduire la longueur du serpent en fonction de k : L = (4k – 1 )² - (8k+1)
➔ Longueur maximun du serpent pour
