Le parcours d'Ouroboros
Problème G264 de Diophante Ouroboros, le serpent géant qui se mord la queue, s’installe dans une cour constituée de 2011 * 2011 dalles carrées de dimension unité. A chaque
déplacement d’une dalle à une dalle adjacente ayant un côté commun, il fait un virage à 90° de telle sorte que les directions de deux déplacements ayant un point commun sont perpendiculaires entre elles. Il ne passe jamais deux fois par la même dalle sauf quand, en fin de parcours, il se mord la queue. A titre d’exemple, ci- contre le parcours d’un serpenteau de taille 16 qui part du point D situé en c5 dans une cour de dimension 5 x 5 et se mord la queue sur cette même dalle.
Quelle est la plus grande taille possible d’Ouroboros ? Solution
Voici un bon parcours dans une cour 4p * (3+2q), pour p et q entiers non nuls, où seules 4*(p+1) dalles ne sont pas visitées.
En supposant qu’on ne peut pas faire mieux, divisons le carré initial 2011*2011 en trois rectangles : 7*7, 2004*7, et 2011*2004.
Zones de raccord 7
7 2004
2004
Là plaçons trois serpents, que nous raccordons ensuite en un seul.
Avant raccordement
Après raccordement
Les trois serpents, introduits de manière provisoire, ont respectivement pour longueurs : 32, 2004*7 - 2008, 2004*2011 - 2008
D’où la longueur du serpent obtenu après raccordement, dans lequel douze nouvelles dalles sont occupées et quatre ne le sont plus :
32 + 12 020 + 4 028 036 + 8 = 4 040 096
Est-ce bien là Ouroboros, dans une de ses positions préférées ?
