Une autre solution Pour tout entieri, on note Xi la variable aléatoire donnant le numéro de la face sortie au i−ème lancer

G154. L’énigme du polyèdre

J’ai fabriqué la maquette d’un polyèdre régulier qui comportenfaces que je numérote de 1 àn.

Je lance ce polyèdre à la manière d’un dé et je note le numéro de la face sur laquelle il repose sur la table. La probabilité d’obtenir un numéro quelconque est la même pour tous les numéros. Je constate qu’après de très nombreux lancers, il faut un nombre moyen de lancers voisin de 72 pour obtenir au moins une fois tous les entiers de 1 àn. Comment s’appelle ce polyèdre ?

Solution de Claude Felloneau Ce polyèdre est un icosaèdre

Une solution par simulation

Il n’existe que 5 polyèdres réguliers, le nombrenest l’un des 5 entiers 4, 6, 8, 12, 20.

Par simulation avec un programme donnant le nombre moyen de lancers nécessaires pour voir sortir chacune des faces, on obtient les résultats suivants pour 20 simulations de 1000 expériences.

n résultat

4 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8

6 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 15, 14 8 21, 21, 21, 21, 22, 22, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 22, 21, 21, 21, 21, 21 12 37, 36, 37, 37, 37, 37, 37, 37, 37, 37, 36, 37, 36, 38, 36, 37, 37, 37, 36, 36 20 71, 71, 71, 72, 72, 71, 72, 70, 72, 72, 71, 71, 71, 72, 70, 71, 71, 71, 71, 71 On en conclut quen=20.

Une autre solution

Pour tout entieri, on note Xi la variable aléatoire donnant le numéro de la face sortie au i−ème lancer.

Pourk>1 eta=(a1,a2, ...,an)∈Nⁿtel que

n

X

i=1

ai=k, on a :

P(X1=a1, X2=a2, ..., Xn=an)= k! a1!...an!

µ1 n

¶k

.

SoitN la variable aléatoire donnant le numéro du premier lancer pour lequel tous les numéros sont sortis. On a :

P(N6_k)^{= X}

a∈Ek

k! a1!...an!

µ1 n

¶k

oùEkest l’ensemble desn−listes d’entiers strictement positifs dont la somme est égale àk.

AinsiP(N6k)= k!

n^kα_koùα_kest le coefficient dex^kdans le développement def(x)= Ã_+∞

X

p=1

x^p p!

!n

. On a alors f(x)=(e^x−1)ⁿ=

n

X

i=0

Ãn i

!

(−1)ⁿ⁻ⁱe^{i x}etα_k= f^(k)(0) k! =

n

X

i=0

Ãn i

!

(−1)ⁿ⁻ⁱk!i^ke^{i x}. Ainsi

P(N6k)=

n

X

i=0

Ãn i

! (−1)ⁿ⁻ⁱ

µi n

¶k

.

On en déduit que

P(N=k)=P(N6_k)⁻_P(N6_k⁻₁₎⁼ Xn i=0

Ãn i

! (−1)ⁿ⁻ⁱ

µi n

¶k−1µi n−1

¶ . L’espérance mathématique deN est donc

E(N)=

+∞

X

k=1

kP(N=k)=

n

X

i=0

Ãn i

!

(−1)ⁿ⁻¹⁻ⁱn−i n βi

avecβ_i=

+∞

X

k=0

k µi

n

¶k−1

= 1 µ

1− i n

¶2 = n² (n−i)²

car pour toutxde l’intervalle [0, 1[,g(x)=

+∞

X

k=0

k x^k−1= d dx

Ã_+∞

X

k=0

x^k

!

= d dx

µ 1 1−x

¶

= 1 (1−x)². Ainsi

E(N)=n

n−1

X

i=0

Ãn i

!(−1)ⁿ⁻ⁱ⁺¹ n−i =n

Xn j=1

Ãn j

!(−1)^j+1 j =n

Xn j=1

Ãn j

!Z1 0

(x−1)^j−1dx=n Z1

0

1 x−1

Xn j=1

Ãn j

!

(x−1)^jdx E(N)=n

Z1 0

(1+x−1)ⁿ−1 x−1 dx=n

Z1 0

xⁿ−1 x−1 dx=n

Z1 0

n−1

X

i=0

xⁱdx=n

n−1

X

i=0

Z1 0

xⁱdx=n

n−1

X

i=0

1 i+1=n

n

X

i=1

1 i. Soit¡

xp¢

la suite définie pourn>1 parxp=p

p

X

i=1

1 i. On axp+1−xp=(p+1)

p+1

X

i=1

1 i −p

p

X

i=1

1 i =

p+1

X

i=1

1 i − p

p+1=

p+1

X

i=2

1 i + 1

p+1. La suite¡

x_p¢

est strictement croissante.

On au12≈39,u20≈72. Doncn=20. Le polyèdre a 20 faces.

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