CI 2 – SLCI : É
TUDE DU COMPORTEMENT DESS
YSTÈMESL
INÉAIRESC
ONTINUSI
NVARIANTSCHAPITRE2 – MODÉLISATION DESSYSTÈMESLINÉAIRESCONTINUSINVARIANTS
TRANSFORMÉE DELAPLACE TRAVAILDIRIGÉ
Robot Ericc
Le robot Ericc est un robot série équipé de 5 axes en série qui lui permettent d’atteindre toutes les positions et toutes les orientations de l’espace. Le dernier axe peut être équipé d’une pince ou d’un outil spécifique. Le robot est par exemple utilisé sur les chaînes de montage dans le domaine de l’automobile afin de souder des éléments de carrosserie de voiture.
Les axes sont appelés ainsi : – axe 1 : axe de lacet ; – axe 2 : axe d’épaule ; – axe 3 : axe de coude ; – axe 4 : axe de poignet ; – axe 5 : axe de pince.
On s’intéresse uniquement au déplacement de l’axe de lacet. On donne le cahier des charges partiel du robot Ericc.
Objectif
L’objectif est de vérifier les exigences de performance 14.
Pour déplacer uniquement l’axe de rotation du lacet l’utilisateur peut, par le biais d’un logiciel, piloter l’angle à atteindre par l’axe. Un hacheur permet de distribuer l’énergie électrique dans un motoréducteur. Ce dernier est relié à un système poulie-courroie. La position de l’axe de lacet est mesurée par un codeur incrémental. Le signal du codeur est alors comparé à la consigne de l’utilisateur.
Question1
Réaliser le schéma-bloc fonctionnel de l’axe de lacet du robot Ericc.
Correction
Remarque : le réducteur pourrait être sorti du bloc moteur.
Étude de la vitesse du moteur en boucle ouverte
Un moteur électrique est alimenté par une tension continue. Pour une tension donnée, le moteur tourne à une vitesse donnée.
Le comportement du moteur est régit par l’équation différentielle suivante : ωm(t) +τdωm(t)
d t =K u(t) en notant :
– ωm(t)la fréquence de rotation du moteur (enr a d/s) ; – u(t)la tension d’alimentation du moteur (enV) ; – K =23, 26r a d·s−1V−1le gain du moteur ;
– τ=0, 51s : constante de temps mécanique du moteur.
Le moteur est suivi de deux réducteurs. Le rapport de réduction total est notér = 12
4000. La fréquence de rotation en sortie des réducteursω(t)peut se calculer ainsi :
ω(t) =rωm(t)
Question2
On se place dans les conditions de Heaviside. Donner les deux équations dans le domaine de Laplace. Exprimer alorsΩ(p)en fonction de U(p).
Correction
On a :
Ωm(p) +τpΩm(p) =K U(p) Ω(p) =rΩm(p) En conséquence,
Ω(p) = r K
1+τpU(p)
Question3
On sollicite le système par une entrée échelon d’amplitude 1V. Déterminer l’expression deΩ(p)sous forme littérale.
Correction
Dans ces conditions,U(p) = 1
p. On a donc :
Ω(p) = r K 1+τp ·1
p
Question4
Après avoir déterminé les valeurs initiales et finales deω(t)ainsi que la pente à l’origine, tracer l’allure de u(t)et ω(t)en indiquant les valeurs numériques.
Correction
D’après le théorème de la valeur initiale :
limt→0ω(t) = lim
p→∞pΩ(p) =0 D’après le théorème de la valeur finale :
tlim→∞ω(t) =lim
p→0pΩ(p) =K r La valeur de la pente à l’origine peut être déterminé ainsi :
limt→0
dω(t) d t = lim
p→∞p2Ω(p) =K r τ
Question5
Commenter l’allure de la courbe.
Correction
Étude de la position du moteur en boucle ouverte
On souhaite maintenant avoir accès à la position du moteur en fonction du temps. La position angulaire de l’axe de lacet est notéeθ.
On se replace dans les conditions où U(p)n’est pas un échelon.
Question6
Exprimer la relation entreθ(t)etω(t). En déduire la relation entreΘ(p)etΩ(p).
Correction
Le taux de rotation angulaire étant la dérivée de la position angulaire, on a donc : dθ(t)
d t =ω(t) Dans les conditions de Heavside, on a donc :
Ω(p) =pΘ(p)
Question7
Exprimer alorsΘ(p)en fonction de U(p).
Correction
On a :
Θ(p) =Ω(p)
p = K r
1+τp pU(p)
Question8
On sollicite à nouveau le système par une entrée échelon d’amplitude 1V. Déterminer l’expression deΘ(p)sous forme littérale.
Correction
On a :
Θ(p) =Ω(p)
p = K r
1+τp p2
Question9
Après avoir déterminé les valeurs initiales et finales deθ(t)ainsi que la pente à l’origine, tracer l’allure de la courbe en indiquant les valeurs numériques.
Correction
D’après le théorème de la valeur initiale : limt→0θ(t) = lim
p→∞pΘ(p) = lim
p→∞p K r
1+τp p2 =0 D’après le théorème de la valeur finale :
tlim→∞θ(t) =lim
p→0pΘ(p) =lim
p→0p K r
1+τp
p2 = +∞
Correction
La valeur de la pente à l’origine peut être déterminé ainsi : limt→0
dθ(t) d t =lim
p→0p2Θ(p) = lim
p→∞p2 K r
1+τp
p2=K r
Question10
Commenter l’allure de la courbe. Ce comportement et-il envisageable sur l’axe de lacet du robot ? Commenter.
Justifier la nécessité de mettre en œuvre un asservissement en position.
Correction
Lorsqu’on alimente un moteur, il tourne. Sa position angulaire augmente donc jusqu’à l’infini. Pour un moteur isolé cela ne pose pas de problèmes. Sur un robot avec des axes en série, la plupart du temps, les axes le peuvent pas tourner indéfiniment (problèmes de câblages ...)
Si on veut avoir un positionnement angulaire du moteur, il est nécessaire d’avoir une boucle de retour afin d’asservir le système.
Question11
Déterminer l’expression deΘ(p)dans le domaine temporel. On utilisera la transformée de Laplace inverse.
Correction
Θ(p)peut se décomposer en élément simple sous la forme suivante : Θ(p) = K r
1+τp
p2 =α p + β
p2+ γ 1+τp En multipliant parp2et en posantp=0 on a :
β=K r En multipliant par 1+τp et en posantp=−1
τon a : γ= K r
−1 τ
2=K rτ2
On posep=1 : K r
1+τ=α+K r+K rτ2
1+τ ⇐⇒α= 1
1+τ K r−K rτ2−K r−K rτ
⇐⇒α=−τK r
1+τ (1+τ) =−τK r Au final,
Θ(p) =−τK r p +K r
p2 + K rτ2
1+τp =−τK r p +K r
p2 +1
τ·K rτ2 1 τ+p
=−τK r p +K r
p2 + K rτ 1 τ+p Dans le domaine temporel, on a donc :
∀t >0 θ(t) =−τK r+K r t +K rτe− t τ=K r
−τ+t+τe− t τ
0 2 4 6 8 10 Temps en s
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
theta(t) enrad
Étude de l'asservissement en position de l'axe de lacet
On se replace dans les conditions où U(p)n’est pas un échelon.
Afin d’asservir la position angulaire de l’axe de lacet, on utiliser un codeur incrémental. La loi de comportement du codeur est la suivante :
us(t) =Kc a p t·θ(t)
La consigne angulaire donnée par l’utilisateur est adaptée suivant la loi de comportement suivante : ue(t) =KAd a p t·θe(t) avec KAd a p t =KC a p t =1V/r a d
Un comparateur permet de comparer la tension d’entrée et la tension de sortie :
"(t) =ue(t)−us(t)
Enfin, le hacheur permet d’amplifier la faible tension"(t)en tension de commande pour le moteur à courant continu :
u(t) =KAm p l i·"(t) KAm p l i=10 Question12
Justifier que KAd a p t=KC a p t.
Correction
En reprenant le schéma bloc de la question 1, on se rend compte d’une part que le PC et le capteur réalisent la même opération à savoir convertir une position angulaire en tension.
De plus, si on se place en régime permanent, dans le cas où l’erreur statique du système serait nulle, on a donc une consigneθe qui est égale àθ.ue etus étant leur image respective, il est donc logique qu’ils soient égaux. En conséquence, l’opération à réaliser par le codeur et par le PC doit être la même ce qui justifie que KAd a p t=KC a p t.
On se place dans les conditions de Heaviside.
Question13
Transformer chacune des 4 équations dans le domaine de Laplace.
Correction
Dans les conditions de Heaviside,
Us(p) =Kc a p tΘ(p) Ue(p) =KAd a p tΘe(p)
"(p) =Ue(p)−Us(p) U(p) =KAm p l i·"(p)
Question14
ExprimerΘ(p)en fonction deΘe(p).
Correction
D’après la partie précédente :
Θ(p) = K r U(p) 1+τp
p En conséquence,
Θ(p) = K r 1+τp
pKAm p l i·"(p)
= K r
1+τp
pKAm p l i· Ue(p)−Us(p)
= K r
1+τp
pKAm p l i· KAd a p tΘe(p)−Kc a p tΘ(p) On a alors :
Θ(p)
1+K r KAm p l iKc a p t 1+τp
p
=K r KAm p l i·KAd a p t 1+τp
p Θe(p)
⇐⇒Θ(p)
K r KAm p l iKc a p t+ 1+τp p 1+τp
p
=K r KAm p l i·KAd a p t 1+τp
p Θe(p) Au final :
Θ(p) = K r KAm p l i·KAd a p t K r KAm p l iKc a p t+ 1+τp
pΘe(p)
Question15
On désire connaître la réponse indicielle du système (entrée échelon d’amplitude 1 r a d ). Exprimer Θ(p) en fonction deΘe(p).
Correction
Pour une réponse indicielle, on a :Θe(p) = 1
p. En conséquence, Θ(p) = K r KAm p l i·KAd a p t
K r KAm p l iKc a p t+ 1+τp p · 1
p
Question16
Après avoir déterminé les valeurs initiales et finales deθ(t)ainsi que la pente à l’origine, tracer l’allure de la courbe en indiquant les valeurs numériques.
Correction
D’après le théorème de la valeur initiale :
limt→0θ(t) = lim
p→∞pΘ(p) =0 D’après le théorème de la valeur finale :
tlim→∞θ(t) =lim
p→0pΘ(p) =1 La valeur de la pente à l’origine peut être déterminé ainsi :
limt→0
dθ(t) d t =lim
p→0p2Θ(p) =0
Question17
Déterminer l’expression deΘ(p)dans le domaine temporel. On utilisera la transformée de Laplace inverse.
Correction
On a :
Θ(p) = K r KAm p l i·KAd a p t
p· K r KAm p l iKc a p t+p+τp2=α
p + β+γp
K r KAm p l iKc a p t+p+τp2 En multipliant parpet en posantp=0 :
α=KAd a p t Kc a p t
On multiplie le deux expressions parp et on calcule la limite en+∞: D’une part,
p→+∞lim p K r KAm p l i·KAd a p t
p· K r KAm p l iKc a p t+p+τp2=0 D’autre part,
p→+∞lim p α
p + β+γp
K r KAm p l iKc a p t+p+τp2
=α+γ τ On a donc :
γ=−ατ=−KAd a p t Kc a p t τ
Correction
Enfin, pourp=1 on a :
K r KAm p l i·KAd a p t
K r KAm p l iKc a p t+1+τ=KAd a p t Kc a p t +
β−KAd a p t Kc a p t τ K r KAm p l iKc a p t+1+τ
⇐⇒K r KAm p l iKAd a p t = K r KAm p l iKc a p t+1+τKAd a p t
Kc a p t +β−KAd a p t Kc a p t τ
⇐⇒K r KAm p l iKAd a p tKc a p t= K r KAm p l iKc a p t+1+τ
KAd a p t+βKc a p t−KAd a p tτ
⇐⇒β=−(1+τ)KAd a p t+KAd a p tτ
Kc a p t =−KAd a p t
Kc a p t Au final : On a :
Θ(p) =
KAd a p t Kc a p t
p +
−KAd a p t
Kc a p t −KAd a p t Kc a p t τp K r KAm p l iKc a p t+p+τp2=
KAd a p t Kc a p t
p −KAd a p t
Kc a p t
1+τp
K r KAm p l iKc a p t+p+τp2 Application numérique partielle :
Θ(p) = 1
p − 1+τp
K r KAm p l i+p+τp2 =1 p −τ
τ·
1 τ+p K r KAm p l i
τ +1
τp+p2
| {z }
F(p)
F(p) = 1+τp
p+ 1
2τ
− 1
4τ2+K r KAm p l i τ On poseA2=− 1
4τ2+K r KAm p l i On a alors : τ
F(p) = 1
τ+p+ 1 2τ− 1
2τ
p+ 1
2τ
+A2
= p+ 1
2τ
p+ 1
2τ
+A2
+
1 2τ
p+ 1
2τ
+A2
= p+ 1
2τ
p+ 1
2τ
+A2
+ 1
2τA· A
p+ 1
2τ
+A2
On a donc :
∀t >0 θ(t) =1−e− t
2τcos(At)− 1 2τAe−
t
2τsin(At)
0 2 4 6 8 10 Temps en
s0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
An gle en
radAngle de sortie θ(t)
Angle d'entrée θe(t)
Question18
Conclure sur la validité du cahier des charges.
Correction
On observe que le système a un écart statique nul : la consigne était de 1r a d et l’angle atteint par l’axe de lacet est de 1r a d. Le critère d’écart statique est donc vérifié.
En revanche, on observe un léger dépassement de la consigne. En conséquence, le critère de dépassement nul n’est pas vérifié.
