Séquence 10 : La trigonométrie Attendus de fin de cycle

Séquence 10 : La trigonométrie

Attendus de fin de cycle :

 Utiliser les notions de géométrie plane pour démontrer.

Objectifs de la séquence :

 Connaitre le cosinus, le sinus et la tangente d’un angle aigu.

 Savoir calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle.

 Savoir déterminer la mesure d’un angle aigu d’un triangle rectangle.

Plan de la séquence:

Réactiver les prérequis : Donner à faire à la maison le DM diagnostique

I- Le cosinus d’un angle aigu : 1) Définition

2) Utiliser les fonctions cos est cos^-1 sur la calculatrice

3) Utilisation du cosinus dans un triangle rectangle (à quoi sert cet outil mathématique) a) Calculer une longueur

b) Calculer un angle

II- Le sinus et la tangente d’un angle aigu : 1) Définition

2) Utilisation du sinus et la tangente dans un triangle rectangle (à quoi servent ces outils mathématiques)

a) Calculer une longueur b) Calculer un angle

III- Quelle formule choisir ?

Séquence 10 : La trigonométrie

Donner à faire à la maison le DM diagnostique, puis les élèves corrigent éventuellement en classe.

(Les théorèmes de Pythagore et Thalès (faire les questions flash 1, 2 P 442 indigo ; exercice 6 P442); savoir utiliser la notion de racine carrée (faire

l’activité « des carrés » P438 indigo

Faire les questions flash P438 indigo

Faire l’activité introduction (première partie)

I- Le cosinus d’un angle aigu.

1. Définition:

Le cosinus d’un angle est un outil mathématique que l’on utilise dans un triangle rectangle.

a) ABC est un triangle rectangle en B.

Calculer :

b) Calculer ce rapport dans d’autres triangles rectangles en prolongeant [AB] et [AC].

On remarque que : AB AC= AB₁

AC₁ = AB₂

AC₂ = AB₃ AC₃

Ces rapports s’appellent le cosinus de l’angle Aˆ, se notent cosAˆ et ne dépendent que de Aˆ^.

cos ( Angle ) ⁼ _Hypoténuse ^Adjacent

Attention : Le cosinus ne s’applique jamais sur l’angle droit !!!

Remarque :

 En 3^ème on ne considère que le cosinus d’un angle aigu (dont la mesure est comprise entre 0° et 90°).

 Hypoténuse [AC] étant le côté le plus long dans le triangle rectangle ABC, donc :

0 < 𝐴𝐵 < 𝐴𝐶, si on divise cette expression par BC on obtient : _𝐴𝐶⁰ < ^𝐴𝐵_𝐴𝐶 <^𝐴𝐶_𝐴𝐶 Ainsi, on a 0 < cos 𝐴 ̂ < 1

AB AC

 Le cosinus d’un angle aigu est un nombre positif (rapport de deux longueurs)

 Le cosinus d’un angle est un nombre sans unité

 cos 𝐴̂ ne dépend que de la mesure de l’angle 𝐴̂.

2) Utiliser les fonctions cos est cos^-1 sur la calculatrice.

a) Calculer le cosinus de 12° ; 20° ; 45° ; 60° ; 90° ; 0°.

Donner un arrondi au millième.

b) Trouver les mesures arrondies au degré des angles Aˆ, Bˆ, Cˆ et Dˆ tels que : cos Aˆ = 0,8 ; cos Bˆ = 0,1 ; cos Cˆ = 0,42 ; cos Dˆ= 1,3

a-Attention la calculatrice doit être en MODE DEG (Degré) cos 12°

»

cos 20°

»

cos 45°

»

cos 60° = 0,5 cos 90° = 0 cos 0° = 1.

b- On saisit cos^-1 0.8 sur la calculatrice.

cos Aˆ= 0,8 donc Aˆ ^{= cos-1} (0,8) ≈ 37°

cos Bˆ = 0,1 donc Bˆ = cos^-1 (0,1) ≈ 84°

cos Cˆ = 0,42 donc Cˆ = cos^-1 (0,42) ≈ 65°

cos Dˆ = 1,3 impossible ! Cosinus < 1

Application : faire les questions flash 7, 8, 9, 10 P 442 indigo

Tâches intermédiaires : Faire les exercices de 4 à 8 P 238 Phare 4^ème

3- A quoi sert cet outil mathématique ? Deux applications possibles : Faire l’activité 5 P 439 indigo.

Application directe : Faire l’exercice 58 P 229 Myriade.

a) Calculer une longueur :

Calculer AC, puis en déduire AD.

Arrondir les longueurs au centième de cm

Dans le triangle ABC rectangle en B, 𝑐𝑜𝑠𝐴𝐶𝐵̂ = ^𝐶𝐵

𝐶𝐴 ; 𝑐𝑜𝑠 30° = ⁵

𝐶𝐴 ; ^{cos 30°}

1 = ²

𝐶𝐴

CA = 5 x 1 : cos 30 (produit en croix) ; donc CA ≈ 5,77 cm

Dans le triangle ADC rectangle en D,

𝑐𝑜𝑠𝐷𝐴𝐶̂ = ^𝐴𝐷

𝐶𝐴 ; 𝑐𝑜𝑠 40° ≈ ^𝐴𝐷

5,77 ; ^{cos 40°}

1 = ^𝐴𝐷

5,77 ; AD ≈ 5,77 × cos 40°÷1 ; AD ≈ 4,42 cm

Tâches intermédiaires : Faire les exercices de 9 à 14 sur la fiche exercices « séquence 10 »

Faire l’activité 6 P 439.

Application directe : Faire les questions flash 30, 31 P 226 Myriade

b) Calculer un angle :

Calculer la mesure de l’angle 𝐵̂ au dixième de degré près.

Dans le triangle ABC rectangle en A, on a : 𝑐𝑜𝑠𝐵̂ = ^𝐵𝐴_𝐵𝐶

𝑐𝑜𝑠𝐵̂ = ³

7

𝐵̂ = 𝑐𝑜𝑠^{−1 3}

7 𝐵 ̂ ≈ 64,6°

Tâches intermédiaires : 34, 37 P 226 et 66 P 229 et de 3 à 7 sur la fiche exercices « séquence 10 »

Continuer l’activité introduction (Deuxième et troisième partie)

Application directe : Faire les questions flash de 7 à 10 P 442 indigo

II- Sinus et Tangente d’un angle :

1) Définition :

sin ( Angle ) ⁼ _Hypoténuse ^Opposé

tan ( Angle ) ⁼ _Adjacent ^Opposé

Pour se rappeler

Tâches intermédiaires : de 11 à 15 P 442 et 443 indigo Réinvestissement : 11, 13, 14 P 223 Myriade.

2) A quoi servent ces outils mathématiques ? Deux applications possibles :

Faire l’activité 3 P 219 Myriade

Application directe : Faire les questions flash 16 P 443 indigo

a) Calculer des angles :

Calculer la mesure de l’angle 𝐵𝐴𝐶̂ au degré près.

Dans le triangle BAC rectangle en C, on a : 𝑡𝑎𝑛𝐵𝐴𝐶̂ = ^𝐵𝐶

𝐴𝐶 𝑡𝑎𝑛𝐵𝐴𝐶̂ = ³

7 Il vaut mieux ne pas donner de valeur approchée de 3/7.

𝐵𝐴𝐶̂ = 𝑡𝑎𝑛⁻¹(³

7) ≈ 23°

Tâches intermédiaires : 18 , 21, 23 P 443 indigo

Réinvestissement : 26, P 444 indigo et 43 P 227 Myriade

Faire l’activité 2 P 219 Myriade

Application directe : Faire les questions flash 16 ; 17 P 224 Myriade

b) Calculer des longueurs :

En utilisant la figure de l’exemple ci-dessus, calculer la longueur HC arrondie au dixième de cm.

Dans le triangle AHC rectangle en H, on a : CAH SOH TOA*

M. Trigo te dit

:

* Casse-toi !

𝑠𝑖𝑛𝐻𝐴𝐶̂ = ^𝐻𝐶

𝐴𝐶

On a démontré dans la méthode précédente que 𝐵𝐴𝐶̂ ≈ 23°

Or,

Donc : sin 23° ≈ ^𝐻𝐶

7 HC

»

»

Tâches intermédiaires : 19, 20 P 443 indigo

Réinvestissement : 25, P 444 et 39 P446 indigo et 25, 28 P 225 Myriade

Remarque :

Comme pour le cosinus d’un angle aigu, le sinus d’un angle aigu est compris : 0 < sin 𝐴̂ < 1

III- Quelle formule choisir :

Principe : C’est les données de l’exercice qui vont déterminer le choix de la formule à utiliser (cosinus, sinus, tangente)

Tâche à prise d’initiative TAPI: Travail de groupe (44, 45 P447 indigo) Réaliser une carte mentale :

W en demi-groupe : Exercice 51 P 448 indigo