Enonc´e noH129 (Diophante)
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Supposons que, plac´es au mieux autour de la table, il y ait encore des che- valiers voisins en mauvais termes, ce qui constituerait un contre-exemple `a l’assertion de l’´enonc´e.
On peut supposer qu’il n’y a qu’une paire de tels voisins, A et B : s’il y en avait davantage, la situation o`u Arthur aurait r´econcili´e les autres serait encore un contre-exemple satisfaisant les conditions de l’´enonc´e, puisqu’une r´econciliation ne peut diminuer le nombre 1004 de chevaliers en bons termes avec l’un quelconque des chevaliers.
Le plan de table qui deviendrait convenable siAetB´etaient en bons termes est AC1C2. . . C2006B, en num´erotant les convives autres que A et B dans l’ordre o`u ils se trouvent `a table.
Je consid`ere deux ensembles de convives :EA, ensemble des chevaliers dont le successeur (dans la liste ci-dessus) est en bons termes avec A, et EB, ensemble des chevaliers en bons termes avecB. Chacun comprend au moins 1004 convives, puisque chaque convive en bons termes avec A a un pr´ed´e- cesseur dans la liste, et queA etB sont l’un comme l’autre en bons termes avec au moins 1004 convives. B n’est dans aucun de ces ensembles, car il n’a pas de successeur. La r´eunion des ensembles EA∪EB a donc au plus 2007 ´el´ements ;EA etEBtotalisant 2008 ´el´ements au moins, on a pour leur intersection EA∩EB
|EA∩EB|=|EA|+|EB| − |EA∪EB| ≥1,
et il y a au moins un chevalier qui figure dans les deux ensembles, soit Ck. Il est en bons termes avec B, et son successeur dans la liste, Ck+1, est en bons termes avecA.
Mais alors le contre-exemple n’en est pas un, car un bon plan de table, o`u Aet B ne sont plus voisins et n’ont pas besoin d’ˆetre en bons termes, est ACk+1Ck+2. . . C2006BCkCk−1Ck−2. . . C2C1A.
L’hypoth`ese d’un contre-exemple conduisant `a une contradiction, on conclut que l’´enonc´e est vrai.
Ce r´esultat est un th´eor`eme de th´eorie des graphes qui s’´enonce :
Si le degr´e minimum des sommets du graphe est au moins la moiti´e du nombre de sommets, le graphe admet un cycle hamiltonien.
Il a ´et´e publi´e en 1952 par le Britannique G.A. Dirac (`a ne pas confondre avec le physicien et prix Nobel 1933 Paul A.M. Dirac, Britannique lui aussi).
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