Première générale - Produit scalaire

Produit scalaire - Exercices

Exercice 1 corrigé disponible

Pour chacune des figures suivantes, calculer :

⃗ AB ⋅⃗ AC

Exercice 2 corrigé disponible

ABCD est un rectangle, I est un point de [CD] défini comme l’indique la figure ci-dessous.

1. Démontrer que :

( ^⃗ ID+⃗ DA ) ⋅ ( ^{⃗ IC} +⃗ CB ) =⃗ ID ⋅⃗ IC + DA

² 2. En déduire que :

⃗ IA⋅⃗ IB=6

et

cos ^ AIB= 1

√ ⁵ Exercice 3 corrigé disponible

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Exercice 4 corrigé disponible

A, B et C sont trois points tels que

AB=5

,

AC =8

1. Est-il possible d’avoir

⃗ AB ⋅⃗ AC =60

 ?

On prend maintenant

⃗ AB ⋅⃗ AC =20

2. Quelle est la valeur de

^ BAC

 ? 3. Calculer

BC

4. Calculer les produits scalaires

⃗ BA⋅⃗ BC

et

⃗ CA ⋅⃗ CB

5. Quelle est l’aire du triangle ABC ?

Exercice 5 corrigé disponible

Exercice 6

Exercice 7 corrigé disponible

Exercice 8

Exercice 9

Exercice 10

Exercice 11

Exercice 12

Exercice 13

Exercice 14

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Exercice 15 corrigé disponible

Exercice 16 corrigé disponible

Exercice 17

Exercice 18

Exercice 19

Exercice 20 corrigé disponible

Exercice 21

Exercice 22

Sur la figure ci-dessous, les triangles ABC et CBD sont isocèles ; BD = 1 ; BC = x ;

D

1 A 5a

a a

B x C

ABC = BCA = a et BAC = 5a.

1. Donnez une valeur de a en radians.

2. Déterminez une mesure de chacun des angles BAD, ADB et ABD en fonction de a.

3. Calculez AC et AB en fonction de x.

4. En utilisant la règle des sinus, établir :

sin ( 3 a )

x =sin a

et

sin ( 3 a )

x − 1 =sin (2 a)

5. En utilisant 3a = 2a + a , établir que sin(3a) = sin(a)  (4cos²a  1) 6. En déduire que x = 4cos²a  1

Exercice 23

Exercice 24

Exercice 25

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Exercice 26

Exercice 27

Soit ABC un triangle AB = c ; AC = b et BC = a.

Connaissant certaines indications sur le triangle, déterminer d'autres éléments du triangle : a.

A ^ = π

4

^;

B ^ = π

3

et a = 1 ; calculer b.

b.

A ^ = 3 π

4

; b = 1 et c = 2 ; calculer a.

Exercice 28

Soit ABC un triangle et I le milieu de [BC] tel que BI=CI=2 ; AI=3 et

^ AIB = π

3

. Calculer

AB

²

+ AC

² et

AB

²

− AC

²

Exercice 29

Soit ABC un triangle AB = c ; AC = b et BC = a.

Connaissant certaines indications sur le triangle, déterminer d'autres éléments du triangle : a.

A ^ = π

6

^;

B ^ = π

6

et a = 1 ; calculer b et c.

b.

A ^ = 2 π

3

; b = 1 et c = 2 ; calculer a et

cos B ^

.

^ = π

√

Exercice 30 corrigé disponible

Exercice 31

Exercice 32

Exercice 3 3

Exercice 3 4

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