G129 : Après le cyclone…
L’ensemble des ponts, que l’on peut numéroter comme suit, forme un carré, globalement invariant par rotation d’un quart de tour :
14 15 16 17 ⊕ 6 ⊕ 7 ⊕ 8 ⊕ 25 2 3 18 ⊕ 13 ⊕ 1 ⊕ 9 ⊕ 24 5 4 19 ⊕ 12 ⊕ 11 ⊕ 10 ⊕ 23 22 21 20
On peut ainsi faire correspondre à chaque configuration, une configuration transformée, en faisant tourner la figure d’un quart de tour autour du pont n°1, et en inversant l’état de chaque pont (cette transformation est bijective, et n’a pas de point fixe) ; la
correspondance des ponts est explicitée ci dessous :
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 1 3 4 5 2 8 9 10 11 12 13 6 7 17 18 19 20 21 22 23 24 25 14 15 16
S’il existe dans la configuration initiale un chemin reliant la rive nord à la rive sud, il existe dans la configuration transformée une suite continue de ponts détruits allant de l’amont à l’aval, interdisant toute liaison entre les rives ; et réciproquement.
Il y a donc autant de configurations où la traversée est possible, que celles où c’est impossible, et la probabilité de pouvoir traverser est de 50%.
Le raisonnement peut se généraliser à n(n-1) îles, reliées par 2n2-2n+1 ponts…
