G129. Après le cyclone…
25 passerelles permettent de relier 12 îlots entre eux et aux rives Nord et Sud d’un grand fleuve comme le montre le schéma ci-après :
Il est bien connu que chaque passerelle a seulement une chance sur deux de résister à un cyclone, indépendamment de ce qui peut arriver aux autres passerelles.
Le cyclone Cristobal vient de passer. Quelle est la probabilité de traverser le fleuve de la rive Sud à la rive Nord en utilisant les passerelles qui ne sont pas détruites ?
Solution
Proposée par Fabien Gigante
Appelons la probabilité de traverser d’une rive à l’autre en utilisant les passerelles qui ne sont pas détruites.
Supposons que chaque passerelle soit en temps normal trop basse pour permettre la navigation fluviale. Après le passage du cyclone Cristobal, un bateau tente de se frayer un passage en empruntant les canaux formés par les passerelles détruites (chaque canal a une chance sur deux de se former). Appelons ’ la probabilité qu’il parvienne à descendre le fleuve.
Si une configuration permet de traverser d’une rive à l’autre, elle forme un chemin de passerelles infranchissable par voie fluviale. Réciproquement, si une configuration permet de descendre le fleuve en bateau, elle forme un chenal qui barre le passage à pieds. Autrement dit :
’ 1
En comparant ces deux problèmes, on s’aperçoit qu’ils sont identiques (mêmes graphes, même probabilité unitaire sur chaque arc) :
Cette propriété remarquable nous permet donc d’affirmer que : ’ Et de conclure, sans le moindre calcul, que :
