I 134. La réparation de la vasque. ****
Vous devez réparer une vasque située au centre d’un bassin d’eau circulaire de 15 mètres de diamètre.
Vous disposez de quatre planches de 10 mètres de long chacune. Pouvez-vous accéder au centre du bassin sans mettre un doigt de pied dans l’eau ?
Déterminer le nombre minimum de planches de 10 mètres de long qui vous permettent d’accéder au centre d’un bassin circulaire de 16 mètres de diamètre.
Nota : par commodité, on assimilera le contour du bassin à un cercle, la vasque à un point et les planches à des segments de droite.
Solution proposée par Michel Lafond
Première partie, le bassin a un rayon de 7,5 m.
On peut accéder au centre du bassin en disposant les 4 planches AB, CD, EF, A’B’ comme sur la figure 1.
(EF) est axe de symétrie, CD = EF = 10 sont perpendiculaires.
Dans le repère orthonormé naturel ayant pour origine le centre du cercle, C a pour coordonnées L’équation de la droite (AB) est
Les cordonnées de A sont ) Les cordonnées de B sont ) On a bien AB = 10.
Seconde partie, le bassin a un rayon de 8 m.
J’admets qu’on ne peut pas accéder au centre du bassin avec 4 planches.
Je propose deux solutions avec 5 planches.
Première solution symétrique (Figure 2 ci-dessous) :
On place AB = CD = EF = 10 comme sur la figure 2, avec (CD) comme axe de symétrie.
Si on pose , E a pour coordonnées et la droite qui passe par E et de coefficient directeur 4/3 coupe le cercle en G et H. On calcule facilement la distance GH :
B
A A’
B’
C D
E F
O
Figure 1
7.5 2.5 5
Seconde solution dissymétrique (Figure 3 ci-dessous) :
On peut accéder au centre du bassin en disposant 5 planches AB, CD, EF, GH, PQ comme sur la figure 3.
Dans le repère orthonormé naturel ayant pour origine le centre du cercle, les coordonnées des points A, B, C, D, E, F, G, P sont données à la fin. On vérifie que AB = CD = EF = GH = 10.
C a pour abscisse et A, B, C ont pour ordonnée
F est défini par la relation H est défini par la relation P est défini par la relation
A C B
D
E F
G O
Q
H
P
Figure 3 G
A
D F
O E
Figure 2
C B
H H’
G’
P étant défini, on cherche l’intersection des droites (AB) et (PO) où O est le centre de la vasque.
On trouve le point Q d’abscisse (et d’ordonnée h, comme A, B, C)
Or la distance PQ (9,9869…) est strictement inférieure à 10. [Calculs faits avec 20 chiffres significatifs]
Donc il est possible de placer la cinquième planche le long de PO, depuis P.
Elle débordera légèrement au-dessus de Q.
