DM 3 pour le Vendredi 3 décembre 2021 PC

http://alexandre.boisseau.free.fr/Prive/WWW/MathsPCet/dm3.pdf

DM 3 pour le Vendredi 3 décembre 2021 PC

Pensez à laisser une marge sur les copies, au minimum 5 cm.On considère unK-espace vectoriel E de dimension finie et on note n=dimE . Dans la suite, f est un endomorphisme de E et on utilise les notations :

f⁰=idE et pour tout entier naturel pÊ1, f^p=f◦ · · · ◦f

p termes

Pour p∈N, on pose Np=Ker(f^p), Ip=Im(f^p)et rp=rg(f^p).

1. Démontrer que, pour toutp∈N^,Np⊂Np+1etIp+1⊂Ip.

2.Démontrer que la suite (rp)p∈Nest décroissante. Démontrer que cette suite n’est pas strictement décroissante.

Il existe donc un entier k∈N^{tel que r}k =rk+1 et on suppose de plus que k est le plus petit entier satisfaisant cette propriété. On a donc :

r0>r1> · · · >r_k=r_k+1

3. Démontrer queI_k=I_k+1et queN_k=N_k+1.

4. Démontrer par récurrence que pour toutp∈N^,Nk+p=NketIk+p=Ik.

5. Démontrer queIketNksont des sous-espaces supplémentaires deEstables parf.

6. On notegl’endomorphisme deI_kinduit parf ethl’endomorphisme deN_kinduit parf. Démon- trer quehest nilpotent et quegest un automorphisme.

7. Démontrer le résultat suivant : pour toute matriceA∈Mn(K), il existe un entierr∈ ‚0,nƒ, une matrice inversibleP ∈GLn(K), une matrice inversibleU ∈Mr(K) et une matrice nilpotenteV ∈ Mn−r(K) telles que :

P⁻¹AP=

µ U 0_r,n−r 0_n−r,r V

¶

8. Préciser quelle est la suite (rp)_p∈Ndans chacun des cas suivants : (a) f est l’endomorphisme deR²canoniquement associé à la matrice

µ0 1 0 0

¶ . (b) f est l’application identité deE.

(c) f est l’applicationf : Rn[X] → Rn[X] P 7→ P⁰.

(d) f est un projecteur deE(on supposera de plusf 6=idE).

(e) f est une symétrie deE.

Correction DM 3

1. Soitx∈Np, on a alors f^p(x)=0 donc f^p+1(x)=f(f^p(x))=(0)=0 (car f est linéaire). Ainsi, x∈Np+1 et ceci montre que Np⊂Np+1. Soit x∈Ip+1, il existe y ∈E tel quex = f^p+1(y). Ainsi, x=f^p(f(y)) doncx∈Ipet ceci montre queIp+1⊂Ip.

2. Pourp∈N, on aI_p+1⊂Ipdoncr_p+1=dimI_p+1ÉdimIp=rp. La suite (rp) est donc décroissante.

Supposons que cette suite est strictement décroissante, on a alors : r_n+1<rn< · · · <r1<r0

Ainsi,r0,r1, . . . ,r_n+1sontn+2 nombres distincts appartenant tous à l’intervalle‚0,nƒqui est de cardinaln+1 ce qui est impossible, d’où une contradiction. La suite (rp) n’est donc pas strictement décroissante.

3. On sait queIk+1⊂Iket de plus dimIk=rk=rk+1=dimIk+1. Par égalité des dimensions,Ik=Ik+1. On sait queNk⊂Nk+1et avec le théorème du rang :

dimNk=dimE−rk=dimE−rk+1=dimNk+1

Par égalité des dimensions, on aNk=Nk+1.

4. On considère pourp∈Nl’hypothèse de récurrence :

H(p) :Nk+p=Nk et Ik+p=Ik

Il est clair queH(0) est vraie. Soitp∈Net supposonsH(p) vraie. Considéronsx∈Nk+p+1, on a f^k+p+1(x)=0 donc f^k+p(f(x))=0. Ceci signifie que f(x)∈N_k+pdonc f(x)∈N_k (par hypothèse) doncx∈N_k+1et finalementx∈N_kpuisqueN_k+1=N_k. Ceci montre queN_k+p+1⊂N_k et comme par ailleursNk⊂Nk+1⊂ · · · ⊂Nk+p⊂Nk+p+1on aNk=Nk+p+1. On a pour la même raisonIk+p+1⊂Ik

puis avec le théorème du rang :

dimIk+p+1=dimE−dimNk+p+1=dimE−dimNk=dimIk

donc par égalité des dimensions,Ik+p+1=Ik. On en déduit queH(p+1) est vraie. Par récurrence :

∀p∈N,I_k+p=I_k et N_k+p=N_k

5. On sait queIketNksont des sous-espaces vectoriels deE(image et noyau d’un endomorphisme deE). Considéronsx∈I_k∩N_k, on a alorsf^k(x)=0 et il existey∈Etel quex=f^k(y). Par conséquent, f^2k(y)=0 doncy∈N2k et commeNk+k=Nk, on ay∈Nk. Ainsi,x=f^k(y)=0 et ceci montre que Ik∩Nk={0}. Par ailleurs, avec le théorème du rang, dimNk+dimIk=dimEet ainsiIk⊕Nk=E. Il est clair quef etf^kcommutent donc d’après le coursN_k=Ker(f^k) etI_k=Im(f^k) sont stables parf. 6. Par définition :

g: I_k → I_k x 7→ f(x)

h: N_k → N_k x 7→ f(x) Pourx∈Nk, on a :

h^k(x)=f^k(x)=0

Ceci montre queh^k=0 et par conséquenthest nilpotent. Soitx∈Kerg, on ax∈I_ketf(x)=0 donc il existey∈E tel quex=f^k(y) et f(x)=f^k+1(y)=0. Ainsi,y∈N_k+1=N_k doncx=f^k(y)=0. On en déduit que Kerg={0} et commegest un endomorphisme d’un espace de dimension finie,gest bijectif.

7. SoitA∈Mn(K). On applique ce qui précède à l’endomorphismef deKⁿcanoniquement associé à A : il existek tel que I_k etN_k sont des sous-espaces supplémentaires deKⁿ et stables par f. ConsidéronsB1base deI_k,B2base deN_ketBbase deKⁿobtenue par concaténation deB1etB2. D’après le cours la matrice def dansBest de la forme :

Mat_B(f)=

µ U (0)

0 V

¶

NotonsC la base canonique deK^netP la matrice de passage deC àB, de sorte queP∈GLn(K^).

On sait que Mat_C(f)=Aet avec la formule de changement de base :

P⁻¹AP=

µ U (0)

0 V

¶

De plus,U=Mat_B1(g) etV =Mat_B2(h) oùgethsont les endomorphismes deIketNkinduits par f. Commegest bijective,Uest inversible et commehest nilpotente,V est nilpotente. Si on pose r=dimI_k, on aU∈Mr(K^{) etV} ∈Mn−r(K^).

8. (a) On a Imf =Vect¡₁

0

¢etf²=0 donc Im(f²)={0} puis Im(f^k)={0} pourkÊ2. La suite (r_k) est donc la suite (2, 1, 0, 0, . . .).

(b) On a Im(f^k)=Epour toutk∈Ndonc la suite (r_k) est la suite (n,n,n, . . .).

(c) On a Im(f⁰)=Kn[X], Im(f)=Kn−1[X], Im(f²)=Kn−2[X], etc jusqu’à Im(fⁿ)=K0[X] et Im(fⁿ⁺¹)={0}. La suite (rk) est la suite (n,n−1,n−2, . . . , 1, 0, 0, . . .).

(d) On af²=f donc Imf =Im(f²). La suite (r_k) est la suite (n,r,r, . . .) avecr=rgf.

(e) L’applicationf est un automorphisme donc Im(f^k)=Epour toutk∈N. La suite (r_k) est la suite (n,n,n, . . .).