2- a) 4- 2- 1- Examen Nat Sc Eco 2014 Session de rattrapage Sujet de maths

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Examen Nat Sc Eco 2014 Session de rattrapage Sujet de maths

Exercice 1(4,5 pts)

On considère la suite numérique

 

Un n IN_ définie par :

 

0

1

1 4

3

n n

n

U

U U n IN

 U

 

 

   

 



1-

Calculer U et ₁ U ₂

2-

a) Montrer pour tout nIN : 1

2 2 3

n n

n

U U

 U

  

 . b) Montrer par récurrence que :



 n IN



^;Un ² . 3- a) Montrer que :



^{ }ⁿ ^IN



^; 1 ²

( 2)

3

n

n n

n

U U U

 U

  

 .

b) Déduire que la suite

 

Un n IN_ est croissante et qu’elle est convergente.

4-

On pose : ¹

n 2

n

V  U

 ; pour tout nIN .

a) Calculer queV_n_₁V_npour toutnIN; puis déduire que

 

Vn n IN_ est une suite arithmétique de raison 1. b) Calculer son premier terme V₀ ; puis déterminer V_n en fonction de n.

c) Montrer que : _n 2 ¹

n

U  V ; puis déduire que ² ¹

n 1 U n

n

 

 ; pour tout nIN. d) Calculer lim

 n

n U .

Exercice 3 : (11 pts) Partie I

On considère la fonction numérique g définie surIR par :g x( )e^xx. 1- Calculer g x( )pour tout xIR ; puis étudier son signe.

2- a)

Calculer g(0); puis dresser le tableau de variation de g surIR. b) Déduire que : g x( )0 pour tout xIR .

Partie II

On considère la fonction numérique f définie surIR par : f x( )2e^xx². et soit

 

Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé



O i j; ;



^.

1- Calculer lim  

x_ f x et  

xlim f x

 x ; Puis donner une interprétation géométrique à ce résultat.

2- a) Vérifier que : ( ) 2 ² ₂ ¹ 2 ex

f x x x

 

   

  ; pour tout xIR . 3- b) Calculer lim  

x_ f x et  

lim

x

f x

 x ; Puis donner une interprétation géométrique à ce résultat.

4- 3- a) Montrer que : f x( )2 g( )x ; pour tout xIR.

5- b) Déduire le signe de f x( )sur IR; puis dresser le tableau de variation de f surIR.

6- 4- Vérifier que : ^f^^{( )}^x ^²



^e^x^¹



; pour tout xIR ;puis étudier le signe de f( )x et déduire que le point (0; 2)

I est un point d’inflexion pour

 

Cf .

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5-

La figure ci-dessous est une partie de la courbe représentative de la fonction

 

Cf sur l’intervalle



^^{2; 2}



dans le repère



O i j; ;



; calculer l’aire de la partie hachurée.

Exercice 3 : (4 pts) (Donner tous les résultats sous forme de fractions)

Un Sac contient huit boules (indiscernables au toucher): trois boules Rouges ; trois boules Vertes et deux boules Blanches . .

On tire de façon aléatoire simultanément trois boules du Sac.

1- Montrer que le nombre de tirages possibles est 56. 2- On considère les événements A ;B ;C et D :

A «Aucune boule tirées Blanche n’est parmi le tirage »

B «L’une des boules tirée est Verte les deux autres sont Blanches » C «L’une des boules tirée est Verte les deux autres sont Rouges » D «Les trois boules tirées sont de couleurs différentes deux à deux » a) Montrer que :   5

P A 28. b) Calculer P B ^;_{P C}  etP D  .

1- Soit X la variable aléatoire liée au nombre de boules Vertes tirées.

a) Montrer que :  ₁ ¹⁵ P X   28

a) Recopier puis compléter le tableau ci-dessous en justifiant vos réponses :

xi 0 1 2 3

( _i)

P Xx ¹⁵

28