LES REGIMES
TRANSITOIRES
Introduction
Réponse d'un système, premier exemple :
Véhicule Automobile Position angulaire de la
pédale d'accélérateur (en degrès )
Entrée
Vitesse du véhicule (en km.h -1 )
Sortie Système
6 8 10 12
pédale en degrès
30 40 50 60 70 80
sse en km/h
Introduction
Réponse d'un système, deuxième exemple :
Véhicule Automobile Position angulaire de la
pédale d'accélérateur (en degrès )
Entrée
Distance parcourue (en km )
Sortie Système
-20 0 20 40 60 80 100
0 2 4 6 8 10 12
Temps en secondes
Angle de la pédale en degrès
-20 0 20 40 60 80 100
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8
Temps en secondes
Distance parcourue en km
Introduction
Premières observations :
La sortie d'un système ne commence à évoluer que lorsque l'entrée est « active ».
Dans un premier temps, la sortie évolue : c'est le régime transitoire.
Dans un deuxième temps la sortie du système
évolue peu ou plus : c'est le régime permanent.
Introduction
Premières conclusions :
Un même système peut être étudié de différentes façons suivant le choix des grandeurs d'entrée et de sortie.
L'étude d'un système ne passe pas forcément par
l'analyse de sa constitution interne, il est souvent
considéré comme une « boite noire ».
Définitions
Dans tout ce cours, on considère que le système est excité (entrée active) à partir de l'instant t = 0s.
L'évolution de la sortie se fait par superposition de deux régimes :
Un régime transitoire souvent provoqué par l'inertie du système.
Un régime permanent ou régime forcé entretenu
par l'entrée et présentant des caractéristiques
n'évoluant presque plus.
Exemple 1
Une voiture monte sur un trottoir..
Exemple 1
Une voiture monte sur un trottoir..
Dans cet exemple :
le régime transitoire est de type
"oscillant amorti"
Le régime permanent est de type
"continu ou constant".
Remarque : le régime permanent
est imposé par l'entrée (20cm).
Exemple 2
La charge d'un condensateur à travers un circuit résistant ...
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 2 4 6 8 10 12
0 2 4 6 8 10 12
Charge d'un condensateur à travers une résistance
Temps en milliseconde
Te ns io n U c en v ol t
R
C
E = 30V
à partir de L'instant t = 0 s.
U C
Régime transitoire Régime permanent
Dans cet exemple, le régime transitoire est de type
"réponse 1° ordre"
alors que le régime
permanent est de type
"continu ou constant".
Les types d'excitations
Le signal d'entrée (excitation) d'un système peut prendre plusieurs formes. Nous retiendrons trois familles pour ce signal d'entrée :
L'impulsion.
L'échelon.
La rampe.
Les types d'excitations
L'impulsion :
Ce signal a la forme d'une impulsion d'amplitude E de courte durée Δt .
0 E
Δt t
Une impulsion idéale possède une
largeur infime et une amplitude infinie...
→ Si le produit des deux est égale à 1 on appelle cette impulsion idéale,
l'impulsion de Dirac.
Exemples :
Une raquette qui percute une balle de tennis...
Un carreau à la pétanque...
Le pincement d'une corde de guitare
Les types d'excitations
L'echelon :
Ce signal impose, à partir de t = 0, une grandeur E constante :
0 E
t
L'échelon d'amplitude 1 sera noté Γ(t) (échelon unité de Heaviside)
→ La fonction représenté ci-contre s'écrit : E.Γ(t)
Exemples :
Les types d'excitations
La rampe :
Ce signal impose, à partir de t = 0, une grandeur croissante de coefficient directeur a :
→ La fonction représenté ci-contre peut s'écrire :
a.t.Γ(t)
Exemples :
On incline de plus en plus la pédale d'accélérateur...
0 a.t 1
t 1 t
Les types d'excitations
0 a.t 1
t 1 t 0
E
0 t E
Δt t
E.Γ(t) E. d Γ ( t )
dt E. ∫
0 t
Γ ( t )
Intégration Intégration
Dérivation
Dérivation
Système du 1 er ordre
Un système du 1 er ordre d'entrée e(t) et de sortie s(t) sera régit par une équation différentielle du 1 er ordre à coefficients constants :
τ . ds ( t )
dt + s ( t )= f ( t )
f(t) est proportionnel au signal d'entrée (impulsion ,échelon ...) et τ est une constante qui caractérise le système (constante de temps)
La solution générale de l'équation est : s ( t )= A + B . e
− t τ
Les constantes A et B seront déterminées en considérant les conditions initiales et
finales : s(0) et s(∞).
Système du 1 er ordre
Exemple sur un système hydraulique
Circuit RL soumis à un échelon de tension
Circuit RC soumis à un échelon de tension
Exemples :
Système du 1 er ordre :
exemple d'un réservoir d'eau avec remplissage et vidage
1. Description du système
Cuve de surface S
Hauteur d'eau : h
Grandeur de sortie
Débit de remplissage : q E
Grandeur d'entrée
Débit de vidage : q V = k.h
Système : Remplissage
de cuve
Débit de remplissage : q E
Grandeur d'entrée Hauteur d'eau : h
Grandeur de sortie
Système du 1 er ordre :
exemple d'un réservoir d'eau avec remplissage et vidage
2. Informations clés
Le débit de vidage est proportionnel à la hauteur du liquide dans la cuve : q V = k.h
La différence des débits « q E - q V » est responsable de la variation du volume d'eau dans la cuve :
q E est un échelon d'amplitude Q E q E − q V = dv ( t )
dt
Système du 1 er ordre :
exemple d'un réservoir d'eau avec remplissage et vidage
3. Mise en équation
q E − q V = dv
dt avec v = S . h et q V = k . h
A partir de t = 0s :
Q E − k . h = d S . h
dt soit Q E − k . h = S . dh dt
S . dh
dt + k . h = Q E et enfin S
k . dh
dt + h = Q E
k
3 4 5 6
Variation de la hauteur d'eau dans la cuve pour un rapport S/k = 0,5
ur d'eau en m
