Exercice n °5 sur les suites

(1)

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Exercice n °5 sur les suites

Exercice 5 : ( avec solution )

Soit la suite numérique définie par :

 

0

1

2 1 2

n 3 n

U

U _ U n IN

  



   



1- Calculer U₁ et U₂ .

2- On considère la suite numérique définie par : ^V ^{3 2}

 

nUn 2  n IN

a)

Calculer V₁ et V₂ .

b)

Montrer que est une suite géométrique de raison .

3- Montrer que :

 

² ¹ ³

2 3

n

n IN Un   

        .

4- a) Ecrire en fonction de n la somme S_n  U₁ U₂ U_n b) Calculer lim _n

n S



Correction Exercice 5 :

1 0

1

1 2 4 2

1 2 2

3 3 3

4 2

3

U U

U

        

 

2 1

2

1 1 4 2 13 2

2 2

3 3 3 9

13 2

9

U U

U

        

 

1- ^{3 2}

n n 2

V U 

0 0

0

3 2 3 2 2

) 2

2 2 2

2

a V U

V

      



1 1

1

3 2 4 2 3 2 8 2 9 2 2

2 3 2 6 6

2 6 V U

V

 

        



b)

Montrons que la suite

 

Vn est géométrique.

On a :

 

1 1

3 2

n n 2

n IN V _ U _

   

 

Un

 

Vn

 

Vn 1

3

(2)

 

1

1 3 2

2

3 2

n n

n IN V _ U

    

1 2

3 2

1 3 2

3 2

1 3

n

U

V

 

 

   



D’où :

 

1

n 3 n

n IN V_ V

  

Donc

 

Vn est une suite géométrique de raison 1

3,et de premier terme ₀ ² V  2

⁰ ⁰

3 2 3 2 2

2 2 2 2

V U

 

      

 

 

2- Montrons que :

 

² ¹ ³

2 3

n

n IN Un   

       

 

Vn est une suite géométrique de raison 1

3,et de premier terme ₀ ²

V  2 donc :

 

0

1

3

2 1 3 2

2 3 2

2 1 3 2

2 3 2

2 1

3

2 3

n n

n

n n n

n n

n IN V V

n IN V et V U

n IN U

      

         

        

  

        

3- a) Soit la somme : S_nU₁U₂ U_n On a :

 

1 2

1

3 2

2

3 2 3 2 3 2

2 2 2

3 2

2 1 1

3 3 2

1 2

1 3

n n

n

n IN U V

S U U U

S V V V

S V V V n

S V n

   

      

          

 

          

      

      

(3)

1 1

2 3 3 2

6 2 2

3

2 1 3 2

1

4 3 2

n

n n

S n

    

   

   

      

D’où :

 

² ¹ ¹ ³ ²

4 3 2

n n

n IN S     n

       

b)

On a : 1

lim 0

3

n

n     et _lim ³ ² 2

n



 

  

 

  Donc : lim _n

n S

  