[b Parcours différenciés : Suites arithmétique et géométrique c\

[b Parcours différenciés : Suites arithmétique et géométrique c\

Objectif 1 : savoir faire les exercices ], tenter les exercices ]].

Objectif 2 : savoir faire les exercices ], les exercices ]], tenter les exercices ]]].

Objectif 3 : savoir faire les exercices ](si possible mentalement), les exercices ]]et les exercices ]]]et prendre des initiatives.

savoir faire :travail autonome avec des stratégie d’auto-correction.

tenter :travail de recherche, précision (par écrit) des pistes engagées, réflexion sur les résultats éventuellement établis.

prendre des initiatives :étendre l’exercice à une réflexion personnelle pour prolonger le travail réalisé (recherches doc- umentaires, se poser des questions et y répondre, trouver d’autres solutions pour une même question).

tExercice 1 ]

Soit une suite (un) arithmétique de premier termeu₀=45 et de raison−0, 5.

1. Calculeru1,u2etu3

2. Exprimerun+1en fonction deun

3. Exprimerunen fonction den 4. Calculeru₁₀₀

5. Donner les variations de la suite (un)

6. Déterminer le plus petit entier naturelN tel que pour tout entier natureln,n>N, on aun<0 : (a) à partir de la résolution d’une inéquation

(b) à partir des variations de la suite (un) et des tables de la calculatrice

(c) à partir des variations de la suite (u_n) et d’un algorithme utilisant la boucletant que, à traduire en Python.

tExercice 2 ]

Soit une suite (un) géométrique de premier termeu0=96 et de raison 0, 75.

1. Calculeru1,u2etu3

2. Exprimeru_n+1en fonction deu_n 3. Exprimerunen fonction den 4. Calculeru10

5. Donner les variations de la suite (un)

t ]

Soit une suite arithmétique (un) telle queu0=1 et de raison 4.

La suite (vn) est la somme des termes de la suite (un) :vn= Pⁿ

k=0

uk=u0+u1+...+un

1. Calculerv1,v2etv3

2. Exprimervnen fonction den 3. Calculerv10

4. Déterminer le plus petit entier naturelN tel que pour tout entier natureln,n>N, on av_n>1 484 : (a) à partir de la résolution d’une inéquation.

(b) à partir des variations de la suite (vn) et des tables de la calculatrice

(c) à partir des variations de la suite (vn) et d’un algorithme utilisant la boucletant que, à traduire sur Python.

tExercice 4 ]

Soit une suite géométrique (u_n) telle queu₀=1 et de raison 1, 5.

La suite (vn) est la somme des termes de la suite (un) :vn=

n

P

k=0

uk=u0+u1+...+un

1. Calculerv1,v2etv3

2. Exprimervnen fonction den 3. Calculerv10

4. Déterminer le plus petit entier naturelN tel que pour tout entier natureln,n>N, on av_n>1 000 : (a) à partir des variations de la suite (vn) et des tables de la calculatrice

(b) à partir des variations de la suite (vn) et d’un algorithme utilisant la boucletant que, à traduire sur Python.

tExercice 5 ]]

Soit la suite (un) définie parun+1=3un+20 etu0= −5 1. Calculeru₁,u₂etu₃

2. Est-ce que la suite (un) est arithmétique ? géométrique ? Justifier.

3. Soit la suite (vn) définie pour tout entier naturelnparvn=un+10.

(a) Justifier que la suite (vn) est géométrique.

(b) Exprimervnen fonction den.

(c) En déduire l’expression deunen fonction den.

(d) Conjecturer la limite de la suite (un).

tExercice 6 ]]

Soit la suite (un) définie pour tout entier naturelnparu_n+1= 2un

2+7un

etu0=1 2. 1. Calculeru1,u2etu3

2. Est-ce que la suite (u_n) est arithmétique ? géométrique ?

3. Soit la suite (vn) définie pour tout entier naturelnparvn=2−un

u_n (on admet queun6=0) (a) Montrer que la suitevnest arithmétique.

(b) Exprimerv_nen fonction den.

(c) En déduireunen fonction den.

(d) Avec la méthode de votre choix déterminer le plus petit entier naturelN tel que pour tout entier natureln,n>N,u_n<0, 025

tExercice 7 ]]

Soit (un) une suite arithmétique de raisonr.

La suite (vn) est définie pour tout entier naturelnparvn=u_n+1² −u²_n.

Démontrer que la suite (vn) est aussi une suite arithmétique. Quelle est sa raison ? tExercice 8 ]]]

Soit la suite (un) définie parun+1=aun+betu0un premier terme réel,aetbsont deux réels.

1. sia=1 quelle est la nature de la suite (u_n) ? 2. sib=0 quelle est la nature de la suite (un) ? 3. On supposea6=1 etb6=0.

(a) soit la suite (vn) telle que pour tout entier natureln,vn=un+ b a−1. Montrer que (vn) est une suite géométrique.

(b) Exprimerv_nen fonction den.

(c) Exprimerunen fonction den.

tExercice 9 ]]]

Dans un banque on proposait deux rémunérations possibles pour un capitalC0=1000e^{placé au 1erjanvier} 2010 :

• contrat A : une augmentation annuel de 1, 5%,

• contrat B : chaque année, une augmentation de 2% du capitalC0. Quelle formule doit-on choisir ?

Formaliser l’exercice avec deux suites (un) et (vn) à définir.

[b Correction c\

tExercice 1 ]

Soit une suite (un) arithmétique de premier termeu0=45 et de raison−0, 5.

1. u1=u0−0, 5=45−0, 5=44, 5 ; u2=u1−0, 5=44, 5−0, 5=44 ouu2=u0−2×0, 5=45−1=44 ; u3=u2−0, 5=44−0, 5=43, 5 ouu3=u0−3×0, 5=45−1, 5=43, 5

2. u_n+1=un−0, 5 3. u_n=45−0, 5n

4. u100=45−100×0, 5= −5

5. un+1−un= −0, 5. Pour tout entier natureln,un+1−un<0 donc la suite (un) est décroissante.

6. (a) un<0⇐⇒45−0, 5n<0⇐⇒ −0, 5n< −45⇐⇒n>90.

On choisitN=90, pour tout entier natureln,n>90,un<0.

(b) Dans le menu des suites, on trouveu₉₀=0 etu₉₁= −0, 5.

La suite (un) est strictement décroissante, ainsi pour tout entier natureln,n>90un<0.

(c) n←0

u←45

tant queu>^{0 faire} n←n+1 u←u−0, 5 Fin tant que

1 def s e u i l (A) :

2 n=0

3 u=45

4 while u>=A :

5 n=n+1

6 u=u−0.5

7 return n

prog1.py la commandeseuil(0)renvoie 91.

L’algorithme donne le premier rang pour lequelun<0 soit 91 ainsi pour tout entier natureln, n>90 (on choisitN=90),un<0.

tExercice 2 ]

Soit une suite (un) géométrique de premier termeu0=96 et de raison 0, 75.

1. u1=u0×0, 75=96×3

4=3×24=72 ;u2=u1×3

4=72×3

4=18×3=54 ouu2=u0×0, 75²=96× 9 16= 9×6=54 ;u3=u2×3

4=54×3

4=13, 5×3=40, 5 2. un+1=un×0, 75=3un

4 3. un=96×0, 75ⁿ=96×

µ3 4

¶n

=96×3ⁿ 4ⁿ 4. u10=96×0, 75ⁿ'5, 406

5. u_n+1−u_n=96×0, 75ⁿ⁺¹−96×0, 75ⁿ=96×0, 75ⁿ(0, 75−1)= −0, 25×96×0, 75ⁿ<0.

Pour tout entier natureln,u_n+1−un<0 donc la suite (un) est décroissante.

6. (a) Dans le menu des suites, on trouveu₁₅>1 etu₁₆<1.

La suite (un) est strictement décroissante, ainsi pour tout entier natureln,n>15un<1.

(b) n←0

u←96

tant queu>^{0 faire} n←n+1 u←0, 75u Fin tant que

1 def s e u i l (A) :

2 n=0

3 u=96

4 while u>=A :

5 n=n+1

6 u=u*0.75

7 return n

prog2.py La commandeseuil(1)renvoie 16.

L’algorithme donne le premier rang pour lequelun<0 soit 16 ainsi pour tout entier natureln, n>15 (on choisitN=15),un<1.

t ]

Soit une suite arithmétique (un) telle queu0=1 et de raison 4.

La suite (vn) est la somme des termes de la suite (un) :vn= Pⁿ

k=0

uk=u0+u1+...+un

1. v1=

1

P

k=0

u_k=u0+u1=1+5=6 v2= P²

k=0

uk=u0+u1+u2=1+5+9=15 ouv2= P²

k=0

uk= P¹

k=0

uk+u2=6+9=15 v3=

3

P

k=0

uk=u0+u1+u2+u3=1+5+9+13=28 ouv3=

3

P

k=0

uk=

2

P

k=0

uk+u3=15+13=28

2. vn=(n+1)×u0+un

2 =(n+1)×1+(1+4n)

2 =(n+1)(1+2n) 3. v₁₀=11(1+2×10)=231.

4. (a) vn>1 484⇐⇒(n+1)(1+2n)−1 484>0⇐⇒2n²+3n−1 484>0

2x²+3x−1 484 est l’expression d’un polynôme du second degré de discriminant∆=11881 et de racines−28 et 26, 5.

La parabole associée est tournée vers le haut, le coefficient du terme 2x²est 2, il est positif. Ainsi pour tout réelx>26, 5, le polynôme est positif :

x 2x²+ 3x−1484

−∞ −28 26.5 +∞

+ 0 − 0 +

Pour tout entier natureln>26 (N=26)vn>1484.

(b) Pour tout entier natureln,u_n+1−u_n=4 et 4>0, la suite (u_n) est croissante et commeu₀>0 la suite (un) est positive.

vn+1−vn=(u0+u1+...+un+un+1)−(u0+u1+...+un)=un+1etun+1>0 donc la suite (vn) est croissante.

Avec les tables de la calculatrice dans le menu des suites en affichant la somme des termes de la suite (un) on obtientv26<1 484 etv27>1 484, la suite (vn) étant croissante, on peut affirmer que pour tout entier natureln,n>26,u_n>1 484.

(c) n←0

u←1 s←u

tant ques61484 n←n+1 u←u+4 s←s+u Fin tant que

1 def s e u i l (A) :

2 n=0

3 u=1

4 s=u

5 while s<=A :

6 n=n+1

7 u=u+4

8 s=s+u

9 return n

prog3.py

tExercice 4 ]

Soit une suite géométrique (un) telle queu0=1 et de raison 1, 5.

La suite (vn) est la somme des termes de la suite (un) :vn=

n

P

k=0

u_k=u0+u1+...+un

1. v₁=

1

P

k=0

u_k=u₀+u₁=1+1, 5=2, 5 v2=

2

P

k=0

u_k=u0+u1+u2=1+1, 5+1, 5²=4, 75 ouv2=

2

P

k=0

u_k=

1

P

k=0

u_k+u2=2, 5+1, 5²=4, 75 v3=

3

P

k=0

uk=u0+u1+u2+u3=1+1, 5+1, 5²+1, 5³=8, 125 ou v3= P³

k=0

uk= P²

k=0

uk+u3=4, 75+1, 5³=8, 125

2. vn=1×1−1, 5ⁿ⁺¹

1−1, 5 = −2(1−1, 5ⁿ⁺¹)=2(1, 5ⁿ⁺¹−1) 3. v10=2(1, 5¹¹−1)'170, 995.

4. (a) Pour tout entier natureln,u_n+1−u_n=1, 5ⁿ⁺¹−1, 5ⁿ=1, 5ⁿ(1, 5−1)=0, 5×1, 5ⁿet 0, 5×1, 5ⁿ>0, la suite (un) est croissante et commeu0>0 la suite (un) est positive.

vn+1−vn=(u0+u1+...+un+un+1)−(u0+u1+...+un)=un+1etun+1>0 donc la suite (vn) est croissante.

Avec les tables de la calculatrice dans le menu des suites en affichant la somme des termes de la suite (un) on obtientv14<1 000 etv15>1 000, la suite (vn) étant croissante, on peut affirmer que pour tout entier natureln,n>14,u_n>1 000.

(b) n←0

u←1 s←u

tant ques6¹⁰⁰⁰ n←n+1 u←1, 5u s←s+u Fin tant que

1 def s e u i l (A) :

2 n=0

3 u=1

4 s=u

5 while s<=A :

6 n=n+1

7 u=u*1.5

8 s=s+u

9 p r i n t( s )

10 return n

prog4.py La commandeseuil(1000)renvoie 15.

Le programme retourne 15, la suite (vn) étant croissante on peut affirmer que pour tout entier naturel n,n>14 on avn>1000.

t ]]

Soit la suite (un) définie paru_n+1=3un+20 etu0= −5

1. u1=3× −5+20=5 ;u2=3×5+20=35 etu3=3×35+20=125

2. • Raisonnons par l’absurde, si la suite est arithmétique alors pour tout entier natureln, u_n+1−un=r oùr est la raison de la suite. Or il existe les termesu0,u1etu2tels que : u1−u0=5−(−5)=10 etu2−u1=35−5=30 ; on aboutit à une contradiction car 106=30.

Donc la suite n’est pas arithmétique.

• Raisonnons par l’absurde, si la suite est géométrique alors pour tout entier naturelnavecun6=0, un+1

un =r oùrest la raison de la suite. Or il existe les termesu₀,u₁etu₂tels que : u1

u0= 5

−5= −1 etu2

u1=35

5 =7 ; on aboutit à une contradiction car−16=7.

Donc la suite n’est pas géométrique.

3. Soit la suite (vn) définie pour tout entier naturelnparvn=un+10.

(a) v_n+1=u_n+1+10=3un+20+10=3un+30=3(un+10)=3vn. Ainsiv_n+1=3vnet la suite (vn) est géométrique de raison 3 et de premier termev0=u0+10= −5+10=5

(b) v_n=5×3ⁿ

(c) un=vn−10=5×3ⁿ−10 (d) lim

n→+∞3ⁿ= +∞, lim

n→+∞5×3ⁿ= +∞et lim

n→+∞5×3ⁿ−10= +∞

tExercice 6 ]]

Soit la suite (un) définie pour tout entier naturelnparu_n+1= 2un

2+7un

etu0=1 2.

1. u1= 2×1

2 2+7×1

2

= 2 11;u2=

2× 2 11 2+7× 2

11

= 4 36=1

9etu3= 2×1

9 2+7×1

9

= 2 25

2. • Raisonnons par l’absurde, si la suite est arithmétique alors pour tout entier natureln, un+1−un=r oùr est la raison de la suite. Or il existe les termesu0,u1etu2tels que : u1−u0= 2

11−1 2=−7

22 etu2−u1=1 9− 2

11=−7

99 ; on aboutit à une contradiction car−7 22 6=−7

99. Donc la suite n’est pas arithmétique.

• Raisonnons par l’absurde, si la suite est géométrique alors pour tout entier naturelnavecu_n6=0, un+1

un =r oùrest la raison de la suite. Or il existe les termesu0,u1etu2tels que : u1

u₀= 2 11

1 2

= 4 11 etu2

u₁ = 1 9 2 11

=11

18; on aboutit à une contradiction car 4 116=11

18. Donc la suite n’est pas géométrique.

3. Soit la suite (vn) définie pour tout entier naturelnparvn=2−un

un

(on admet queun6=0)

(a) v_n+1−v_n= 2−un+1

u_n+1 −2−un

un =

2− 2un

2+7u_n 2un

2+7un

−2−un

un =

2(2+7un)−2un

2+7un

2un

1+7un

−2−un

un =4+12un

2un − 2−un

un =4+12un−2(2−un)

2un =14un

2un =7.

Ainsiv_n+1=vn+7 et la suite est arithmétique de raison 7 (b) v₀=2−u₀

u0 = 2−1

2 1 2

=3.

Pour tout entier natureln,vn=3+7n.

(c) v_n=2−u_n

un ⇐⇒u_nv_n=2−u_n⇐⇒u_n(v_n+1)=2⇐⇒u_n= 2

vn+1 (v_n6= −1).

un= 2

3+7n+1= 2 4+7n. (d) un<0, 025⇐⇒ 2

4+7n<0, 025⇐⇒2<0, 025(4+7n)⇐⇒0, 175n>2−0, 1⇐⇒n> 1, 9 0, 175. 1900

175 =76 7 .

Pour tout entier naturelntel quen>10,un<0, 025.

tExercice 7 ]]

Pour tout entier natureln,un+1=un+r ainsi,vn=(un+r)²−u²_n=2un+r²et

2 2 2