[b Parcours différenciés : Nombres et équations c\
Objectif 1 : savoir faire les exercices ], tenter les exercices ]].
Objectif 2 : savoir faire les exercices ], les exercices ]], tenter les exercices ]]].
Objectif 3 : savoir faire les exercices ] (si possible mentalement), les exercices ]] et les exercices ]]] et prendre des initiatives.
savoir faire : travail autonome avec des stratégie d’auto-correction.
tenter : travail de recherche, précision (par écrit) des pistes engagées, réflexion sur les résultats éventuellement établis.
prendre des initiatives : étendre l’exercice à une réflexion personnelle pour prolonger le travail réalisé (recherches doc- umentaires, se poser des questions et y répondre, trouver d’autres solutions pour une même question).
I. Constructions
tExercice 1 ]
A , B , C et D sont quatre points du plan.
b
A
b
B
b
C
b
D
1. Construire le point E image du point A par la translation de vecteur −−→
C D puis le point F image du point B par la translation de vecteur −−→
C D .
2. Construire le point I tel que − AI → = −→ AB + −→ AC + −−→ D A . 3. Construire le point J tel que − →
A J = 1 2
C B −→ .
ABC est un triangle, construire les points E et G tels que :
−→ AE = − 1 3
−→ AC + 2 −→ AB et −→ F C = 2 −→ AC − −→ B A .
b
A
bB
b
C
b
Aide : Exprimer le vecteur C F −→ et modifier l’expression pour faire une somme de deux vecteurs.
II. Opérations sur les vecteurs
tExercice 3 ]
1. Simplifier les sommes des vecteurs suivantes (utiliser la relation de Chasles) : (a) −→ BC + −→ AB
(b) −→ E F + −→ F G + −−→ G H (c) −−→ E D + −→ AE + −−→ D A
2. Décomposer les vecteurs suivants en complétant le somme de vecteurs : (a) −→ AC = − A −→ ... + −−→ ... C
(b) −→
AG = − −→
A ... + − − → E ... + −→
F ...
(c) −→ AB = −→ AC + ... + −−→ DB
tExercice 4 ]
À l’aide de la relation de Chasles, démontrer les égalités suivantes :
1. −→ AB − −→ E B + −→ E F = −→ AF
tExercice 6 ]]
A , B et C sont trois points du plan.
On considère les points E et F tels que :
−→ AE = 1 2
−→ AB + 3 4
−→ AC et −→ AF = − 6 5
−→ AB + 1 3
−→ AC . Exprimer le vecteur −→
E F en fonction des vecteurs −→
AB et −→
AC .
III. Démonstration
tExercice 7 ]
ABC D est un parallélogramme. Le point E est l’image du point A par la translation de vecteur −−→
B D . 1. Démontrer que le vecteur C D −−→ est égal au vecteur −−→ DE .
2. Que peut-on déduire de l’égalité vectorielle précédente ?
tExercice 8 ]]
ABC D est un parallélogramme de centre O , I est le milieu du segment [ AD ].
Démontrer l’égalité −→ O I = 1 2
−→ B A .
tExercice 9 ]]]
ABC est un triangle, D est tel que −−→ B D = 2 3
−→ BC , E est tel que −→ AE = − −→ AB . La droite ( DE ) coupe le segment [ AB ] en F .
Démontrer que le point F est le milieu du segment [ AB ].
[b Correction c\
tExercice 1 ]
b
A
b
B
b
C
b
D
b
F
b
E
b
I
b
J
tExercice 2 ]
b
A
bB
b
C
b
E
b
F
C F −→ = 2 C A − − → − −→ AB = 2 C A − − → + −→ B A . tExercice 3 ]
1. (a) −→ BC + −→ AB = −→ AB + −→ BC = −→ AC
tExercice 4 ]
À l’aide de la relation de Chasles, démontrer les égalités suivantes : 1. −→ AB − −→ E B + −→ E F = −→ AB + −→ B E + −→ E F = −→ AE + −→ E F = −→ AF
2. −−→ DE + −−→ F D − −→ F E = −−→ F D + −−→ DE − −→ F E = −→ F E − −→ F E = → − 0 tExercice 5 ]
A , B et C sont trois points du plan.
On considère les points E et F tels que :
−→ AE = −→ AB + 2 −→ AC et −→ AF = − −→ AB + 3 −→ AC . Exprimer le vecteur −→
E F en fonction des vecteurs −→
AB et −→
AC .
−→ AE = −→ AB + 2 −→ AC donc −→ E A = − −→ AB − 2 −→ AC
−→ AF = − −→ AB + 3 −→ AC . Avec la relation de Chasles, on a :
−→ E F = −→
E A + −→
AF = − −→
AB − 2 −→
AC − −→
AB + 3 −→
AC = − 2 −→
AB + −→
AC . tExercice 6 ]]
−→ AE = 1 2
−→ AB + 3 4
−→ AC donc −→ E A = − 1 2
−→ AB − 3 4
−→ AC
−→ AF = − 6 5
−→ AB + 1 3
−→ AC .
Avec la relation de Chasles, on a :
−→ E F = −→ E A + −→ AF = − 1 2
−→ AB − 3 4
−→ AC − 6 5
−→ AB + 1 3
−→ AC = µ
− 1 2 − 6
5
¶ −→ AB + µ
− 3 4 + 1
3
¶ −→ AC = − 17 10
−→ AB − 5 12
−→ AC .
tExercice 7 ]
b
A
b
B
b
C
b
D
b
E
1. E est l’image du point A par la translation de vecteur −−→
B D , donc −→
AE = −−→
B D et B DE A est un parallélo- gramme.
B DE A est un parallélogramme donc −→ AB = − E D −→ . ABC D est un parallélogramme donc −→ AB = −−→ DC .
−→ AB = −−→ DC et −→ AB = −−→ E D donc −−→ DC = − E D −→ ce qui équivaut à C D −−→ = −−→ DE . 2. −−→
DC = −−→
E D donc D est le milieu du segment [ EC ] et les points E , D et C sont alignés.
b
A
b
B
b
C
b
D
b
I
b
