THÉORIE DE LA GÉNÉRATION DE LA HOULE CYLINDRIQUE PAR UN BATTEUR PLAN (2e ordre d'approximation)

J A N V . - F É V . 1 9 6 1 ™ N ° l L A H O U I L L E B L A N G H E 3

Théorie de la génération

de la houle cylindrique par un batteur plan

( 2^a ORDRE D ' A P P R O X I M A T I O N )

Theory of the generation of a cylindrical wave by a straight-fronted wave generator

(Second order of approximation)

P A R P I E R R E F O N T A K E T

ANCHEN E L E V E D E l / É C O L E P O L Y T E C H N I Q U E

La théorie du mouvement engendré par un bat­

teur plan dans un canal indéfini, de profondeur et de largeur constantes, rempli d*un fluide par- fait, pesant et incompressible, a été faite au premier ordre d'approximation par MM, Have­

lock, Biesel et Kravtchenko. Le présent travail est consacré á Vétude de la deuxiéme approxi- mation^} ainsi qn'au calcul de Vharmonique non linéaire émis par le volet. Les abaques relatifs au batteur pistón ont été traces et reproduits dans le texte.

La solution se présente sous la forme d'une sonime de series uniformément convergentes dans ioule la masse du fíuide, ainsi que sur les frontiéres, sauf aux extrémités du volet, oü la solution posséde des singularités logarith- miques.

The theory of the movement produced by a straight-fronted wave generator in an indeftnite canal of constant depth and breadth and con- faining a perfect ponderable and incompressible fluid, has been established to a first order of approximation by Messrs. Havelock, Biesel and Kravtchenko. The present work is concerned with the study of a second order of approxima­

tion and the calculation of the non-linear har- monic emitíed by the flap. Graphs for a plunger-tijpe wave generator ha ve been plotted and are reproduced in the text.

The solution takes the form of a sum of uni- formly converging series throughout the fluid mass and at its boundaries, except at the flap ends, where logarithmic singularities occur.

A V A N T - P R O P O S

L a t h é o r i e ele la g é n é r a t i o n de la h o u l e p a r un b a t t e u r a été faite au p r e m i e r o r d r e d ' a p p r o x i m a t i o n par M . H a v e l o c k , en 1929, et par M . Biesel, en 1951.

Ce d e r n i e r auteur a n o t a m m e n t établi la v a l i d i t é de la solution f o r m e l l e de M . H a v e ­ lock. Ces d é m o n s t r a t i o n s ont été c o m p l é t é e s et achevées par M . K r a v t c h e n k o dans une publi­

c a r o n u l t é r i e u r e .

L o r s q u e le m o u v e m e n t du batteur est sinusoidal, la solution de M M . H a v e l o c k et Biesel se c o m p o s e d'une houle c y l i n d r i q u e et d'une o s c i l l a t i o n sinusoidale a y a n t toutes deux m é m e p é r i o d e q u e le b a t l e u r . L ' o s c i l l a t i o n est d o n n é e sous la f o r m e d'une serie i n f m i e dont les t e r m e s c o n t i e n n e n t les facteurs expon entiels :

E n p r a t i q u e ils d e v i e n n e n t négligeables des q u e F o n s'éloigne du batteur d'une d i s l a n c e égale á d e u x ou trois fois la p r o f o n d e u r du canal.

Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1961020

4 L A H O U I L L E B L A N C H E N ° 1 — J A N V . - F É V . 1 9 6 1

L a serie représente ainsi une o s c i i l a t i o n lócale qui sert á F a j u s t e m e n t de la c o n d i t i o n á la l i m i t e le long du batteur. E n effet, sauf c o n s t r u c t i o n spéciale — j a m á i s réalisée, en í'ait -—

le d é p l a c e m e n t du v o l e t difiere du d é p l a c e m e n t d'un ñ u i d e a g i t é p a r une houle puré. L ' é c a r t est p r é c i s é m e n t c o m p e n s é par F o s c i l l a t i o n lócale, q u i p e r m e t au fluide d'épouser e x a c t e m e n t le m o t i v e m e n t du batteur ( * ) .

Si le m o u v e m e n t du générateur de houle n'est pas sinusoidal, tout en rcstant p é r i o d i q u e , on peut le d é c o m p o s e r en serie d e F o u r i e r . A chacun de ses h a r m o n i q u e s c o r r e s p o n d une h o u l e ct une o s c i i l a t i o n lócale d e m é m e p é r i o d e . D a n s F a p p r o x i m a t i o n du l *r o r d r e , q u i uti- lise des équations et c o n d i t i o n s aux l i m i t e s Hnéaires, le m o u v e m e n t du fluide est obtenu s i m p l e - m e n t en a d d i t i o n n a n t les d i v e r s m o u v e m e n t s h a r m o n i q u e s . Cette t h é o r i e a été d é v e l o p p é e p a r M . A p t é dans une thése soutenue d e v a n t la F a c u l t é des Sciences de G r e n o b l e .

M a i s ees diverses études ne p e r m e t t e n t p a s d ' e x p l i q u e r F é m i s s i o n de houles h a r m o n i q u e s par un batteur donfc le m o u v e m e n t est r i g o u r e u s e m e n t sinusoidal. Ces derniéres, en effet, appar- tiennent á la c a t é g o r i e des p h é n o m é n e s n o n linéaires.

L e présent t r a v a i l a d o n e p o u r but de c o m p l é t e r les théories precedentes, par la p r i s e en c o m p t e des t e r m e s du 2° o r d r e . 11 p e r m e t n o t a m m e n t de calculer F a m p l i t u d e et la pirase du d e u x i é m e h a r m o n i q u e é m i s p a r un batteur sinusoidal.

L a m é t h o d e q u i a été suivie est une m é t h o d e d ' a p p r o x i m a t i o n s successives. E l l e p r e n d c ó r a m e p o i n t de départ la solution du p r o b l é m e au 1e r o r d r e d ' a p p r o x i m a t i o n . O n calcule les ter- m e s du 2^C o r d r e ( * * ) q u i d o i v e n t étre ajoutés á la p r e c e d e n t e solution p o u r satisfaire aux équa- tions et c o n d i t i o n s aux l i m i t e s du canal indéfini j u s q u ' a u 2o o r d r e d ' a p p r o x i m a t i o n . L ' e x p r e s s i o n ainsi obtenue satisfait d'autre p a r t á la c o n d i t i o n f r o n t i é r e le l o n g du batteur au 1^{e r} o r d r e ( F a p p r o x i m a t i o n .

E l l e contient, en effet, deux c o m p o s a n t e s :

— L a p r e m i é r e , de p é r i o d e T , est constituée p a r les t e r m e s du 1^{e r} o r d r e qui continuent á é p o u - ser e x a c t e m e n t le m o u v e m e n t du b a t t e u r ;

— L a d e u x i é m e , de p é r i o d e T / 2 , est f o r m é e des t e r m e s du 2^e o r d r e rajoutés.

C o m m e l e m o u v e m e n t du v o l e t ne contient pas d ' h a r m o n i q u e de p é r i o d e T / 2 , i l f a u - dra, p o u r satisfaire á la c o n d i t i o n l i m i t e au 2e o r d r e d ' a p p r o x i m a t i o n , c o m p e n s e r cette seconde c o m p o s a n t e , tout le l o n g du batteur, p a r F a d d i t i o n de t e r m e s c o m p l é m e n t a i r e s . O n y p a r v i e n t en ajoutant une h o u l e h a r m o n i q u e et des oscillations sinusoidales de p é r i o d e T / 2 , dont les a m p l i t u d e s et les phases sont c o n v e n a b l e m e n t choisies.

Ces d e r n i e r s t e r m e s représentent, du reste, des solutions é l é m e n t a i r e s du m o u v e m e n t du fluide dans un canal indéfini. D e plus, leur a m p l i t u d e étant du 2^e o r d r e par r a p p o r t á F a m p l i t u d e du fundamental, leurs i n t e r a c ü o n s m u t u e l l e s et leurs i n t e r a c t i o n s avec les t e r m e s précédents sont du 4* et du 3o o r d r e et p e u v e n t étre négligées. L e s équations et c o n d i t i o n s aux limites du canal indéfini ne cessent d o n e pas d'étre satisfaites au 2^o o r d r e d ' a p p r o x i m a t i o n aprés F a d d i t i o n de ces d e r n i é r e s expressions.

E n resume, la solution f o r m é e , c o m m e i l v í e n t d'étre dit, c o m p r e n d :

— L a houle f o n d a m e n t a l e et F o s c i l l a t i o n lócale, du 1e r o r d r e et de p é r i o d e T ;

— L e s t e r m e s du 2e o r d r e a c c o m p a g n a n t la houle et F o s c i l l a t i o n du l *r o r d r e ; L a h o u l e h a r m o n i q u e et Foscillation lócale de p é r i o d e T / 2 .

E l l e satisfait á toutes les équations et c o n d i t i o n s aux l i m i t e s du p r o b l é m e . E l l e d é c r i t au 2° o r d r e d ' a p p r o x i m a t i o n le m o u v e m e n t c y l i n d r i q u e e n g e n d r é p a r un batteur dans un canal de l a r g e u r et de p r o f o n d e u r constantes, r e m p l i d'un fluide pesant supposé p a r f a i t et i n c o m - pressible.

L e s calculs étant assez lourds, j e m e suis contenté, en fait, de d é t e r m i n e r F a m p l i t u d e et la phase de F h a r m o n i q u e é m i s par le batteur. P o u r d é c r i r e c o m p l é t e m e n t le m o u v e m e n t , il faudrait, en outre, calculer F a m p l i t u d e et la phase de F o s c i l l a t i o n lócale de p é r i o d e T / 2 . L e s calculs seraient tout á fait analogues á ceux q u i ont été d é v e l o p p é s dans ce t e x t e . L e u r i n t é -

(*) Par « exactement » , il faut entendre, en réalitó. au premier ordre d'approximation.

( * * ) Ge sont d'une part les termes du 2(' ordre associés á la houle et á Foscillation lócale (termes calcules par M. Miche) et d'autre part les « termes d'interaction » , entre houle et osciilation lócale (termes calcules par MM. Bíesel et Dauberl).

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rét p r a t i q u e serait c e p e n d a n t l i m i t é , car, á une courte distance du générateur, i l ne subsiste, au 2o o r d r e d ' a p p r o x i m a t i o n , plus que trois t e r m e s , tous les autres se t r o u v a n t en fait a m o r - tis. Ces t r o i s t e r m e s sont :

— L a h o u l e f u n d a m é n t a l e ( p é r i o d e T , a m p l i t u d e du 1^{E R} o r d r e , célérité de 1'onde l i b r e de p e r i o d o T ) ;

— L e t e r m e de 2^e o r d r e qui F a c c o m p a g n e ( p é r i o d e T / 2 , a m p l i t u d e du 2^e o r d r e . Célérité de Fonde libre de période T);

—- L ' h a r m o n i q u e é m i s p a r le b a t t e u r ( p é r i o d e T / 2 , a m p l i t u d e du 2e o r d r e . Célérité de F o n d e l i b r e de p é r i o d e T / 2 ) .

P o u r d é c r i r e le m o u v e m e n t á q u e l q u e distance du batteur, il suffit d o n e de c o n n a i t r e F a m p l i t u d e e l la phase de ces t r o i s t e r m e s .

L e s calculs n u m é r i q u e s ont été exécutés p a r le s e r v i c e de calcul scientifique de la Société G r e n o b l o i s e d'Etudes et d ' A p p l i c a t i o n s H y d r a u l i q u e s ( S O G R E A H ) á Faide d'une calculatrice é l e c t r o n i q u e I B M 650.

L e s resultáis sont rassemblés dans deux abaques d o n n a n t F a m p l i t u d e et la phase de Fhar- m o n i q u e é m i s p a r le batteur pistón. L e s abaques du batteur v o l e t n'ont pas été calcules.

L e présent t r a v a i l c o m p r e n d , en outre, un c h a p i t r e consacré á F e x a m e n de la v a l i d i t é des o p é r a t i o n s f o r m e l l e s effectuées. L a c o n v e r g e n c e des series utilisées p o u r la r e p r e s e n t a r o n du m o u v e m e n t du fluide et p o u r le calcul n u m é r i q u e des abaques, resulte du fait que les singulari- tés des f o n c t i o n s q u i d é c r i v e n t la solution sont r e l a t i v e m e n t faibles. J'ai utilisé p o u r cette étude des m é t h o d e s déjá e m p l o y é e s par M . K r a v t c h e n k o et M . Biesel p o u r la r e c h e r c h e des singula- rités au 1^{E R} o r d r e .

A u t e r m e de cette étude, il m e reste á e x p r i m e r m a p r o f o n d e g r a t i t u d e envers M . le p r o f e s - seur K r a v t c h e n k o , p o u r Faide affectueuse et d é v o u é e q u ' i l m ' a apportée, d u r a n t ces trois der- niéres années. P a r ses cours de spécialités d ' H y d r o d y n a m i q u e ( 3^R e y e l e ) , il m ' a initié aux théories m a t h é m a t i q u e s de la houle, dont la connaissance m ' é t a i t indispensable p o u r e n t r e p r e n d r e ce tra­

v a i l . Ses suggestions, les tres n o m b r e u x conseils q u ' i l m ' a p r o d i g u e s et son concours effectif en m a i n t e s circonstances, m ' o n t p e r m i s en outre de r é s o u d r e les difficultés rencontrées, et d'attein- dre le but q u e j e m ' é t a i s fixé.

Je r e m e r c i e é g a l e m e n t M . le professetir Santón qui, par ses cours de spécialités, a c o m ­ pleté m e s connaissances sur la p h y s i q u e de la h o u l e . A v e c la c o l l a b o r a t i o n de M . M a r c o u , chef des T r a v a u x P r a t i q u e s au L a b o r a t o i r e de M é c a n i q u e des F l u i d e s , il m ' a de plus i n i t i é aux tech- niques e x p e r i m e n t a l e s du l a b o r a t o i r e á houle, t e c h n i q u e s tres délicates m a i s si précieuses p o u r le c h e r c h e u r aussi b i e n q u e p o u r F i n g é n i e u r .

Je tiens a s o u l i g n e r F i m p o r t a n c e de la c o n t r i b u t i o n a p p o r t é e á cette thése par M . Biesel, c h a r g é de cours á la F a c u l t é et directeur techniqtie de la S O G R E A H . Je ltti dois la m é t h o d e q u e j ' a i e m p l o y é e p o u r c o n s t r u i r é la solution. L e calcul des t e r m e s du 2" o r d r e constitue d ' a i l - leurs une a p p l i c a t i o n de sa « t h é o r i e de la h o u l e i r r é g u l i é r e » , l a q u e l l e , rappelons-le, est une g é n é r a l i s a t i o n de la t h é o r i e de M . M i c h e ( * ) .

J ' e x p r i m e d'autre p a r t m a reconnaissance e n v e r s la D i r e c t i o n de la S O G R E A H qui m ' a a c c o r d é les loisirs nécessaires á F e x é c u t i o n de cette thése et q u i a assumé la c h a r g e finan- ciére du calcul n u m é r i q u e des abaques.

Je r e m e r c i e aussi M l l e C l é m e n t , i n g é n i e u r á la S O G R E A H , p o u r a v o i r a m o r c é les calculs qui, par leur v o l u m e , constituent une p a r t i m p o r t a n t e de ce t r a v a i l .

Je r e m e r c i e enfm M M . Chabert d ' H y é r e s , D a u b e r t , Jolas, m e s c a m a r a d e s de cours du 3° e y e l e d ' H y d r o n y n a m i q u e , le p e r s o n n e l du L a b o r a t o i r e de M é c a n i q u e des F l u i d e s , et le Ser­

vice de Calcul Scientifique de la S O G R E A H , p o u r les e m p r u n t s q u e j ' a i effectués á leurs d i v e r ­ ses r e c h e r c h e s , et p o u r la c o l l a b o r a t i o n a m i c a l e q u ' i l s m ' o n t a p p o r t é e .

I N T R O D U C T I O N

L a présente étude constituant une a p p l i c a l i o n de la m é t h o d e d ' a p p r o x i n m ü o n s su cees- sives de M . M i c h e , nous e m p l o i e r o n s des v a r i a b l e s de L a g r a n g e , sous la f o r m e utilisée par cet

( * ) La théorie de la houle irréguliére a été reprise récemment par M. Daubert dans des condi- tions genérales (houle rotationnelle au l** ordre) et poussee jusqu'au 3° ordre d'approximation.

6 L A H O U I L L E BLANCHE N ° 1 — J A N V . - F É V . 1 9 6 1

auteur. Ce sont d o n e les c o o r d o n n é e s de repos de la p a r t i c u l e qui r e m p l a c e r o n t dans nos équations les c o o r d o n n é e s usuelles de L a g r a n g e ( * ) .

L a solution du p r o b l é m e au 1^{e r} o r d r e d ' a p p r o x i m a t i o n , qui s e r v i r á de p o i n t de d é p a r t á notre étude, a été écrite p a r M M . H a v e l o c k et Biesel dans le s y s t é m e de v a r i a b l e s d ' E u l e r . O n p o u r r a i t t r a n s c r i r e cette solution dans le systéme de v a r i a b l e s q u e nous avons choisies, p a r sim- ple substitution des v a r i a b l e s x0, y0 a u x "variables x, y. E n effet, les p r e m i e r e s ne d i f i e r e n ! des secondes q u e par des quantités du 1e r o r d r e . P a r suite, la solution écrite en v a r i a b l e s de L a g r á n g e (ou en v a r i a b l e s de M i c h e ) ne difiere de la solution écrite en v a r i a b l e s d ' E u l e r que p a r des q u a n - tités du 2o o r d r e au m o i n s . E l l e vérifie elle aussi les équations et c o n d i t i o n s aux limites du p r o - b l é m e au 1^{e r} o r d r e d ' a p p r o x i m a t i o n .

O n t r o u v e r a i t d'autre p a r t dans les diverses références citées dans la b i b l i o g r a p h i e , la d é m o n s t r a t i o n de la v a l i d i t é de la solution f o r m e l l e , d é m o n s t r a t i o n q u e T o n p o u r r a i t a p p l i q u e r sans difficulté á notre systéme de v a r i a b l e s , m o y e n n a n t q u e l q u e s adaptations.

Cependant, p o u r d o n n e r plus d'unité á n o t r e exposé, et p o u r p e r m e t t r e au lecteur de sui- v r e plus f a c i l e m e n t certains d é v e l o p p e m e n t s de n o t r e t h é o r i e , nous suivrons une v o i e un peu différente. A p r é s a v o i r posé les équations du ju-obléme, nous r e p r e n d r o n s avéc les v a r i a b l e s x^Q, ij⁰ les g r a n d e s ligues de la t h é o r i e au 1^{e r} o r d r e , laissant le soin au lecteur de se r e p ó r t e r aux m é m o i r e s o r i g i n a u x de M M . H a v e l o c k , Biesel et K r a v t c h e n k o p o u r plus de détails.

C H A P I T R E I

M I S E E N É Q U A T I O N D U P R O B L É M E

S O L U T I O N A U P R E M I E R O R D R E D ' A P P R O X I M A T I O N

L e s équations du m o u v e m e n t s'écrivent en c o o r d o n n é e s de L a g r a n g e :

— Equation de continuité :

D (x, y) _ 1

D (a, b)

— Equation dynamique (**) :

D \(d*x/?>P)⁹x\ , D [ Q y 3 *²) , g 1 ^{= n} D (a, 6 ) D (a, b)

O n substitue aux v a r i a b l e s de L a g r a n g e a, et b} les v a r i a b l e s de M . M i c h e . Cette transfor- m a t i o n , q u e nous supposerons possible, respecte les v o l u m e s et vérifie la r e l a t i o n :

D &o, ?/Q) 1

D (a, 6 )

E l l e laisse d o n e i n v a r i a n t e s les équations du m o u v e m e n t q u i d e v i e n n e n t : D fa g ) = j D \&2x/dP),x\ , D \(&y/dP), y] =

D ( x0, y0) D ( x0, ijo) D ( x0, yQ)

( * ) Les coordonnées de Lagrange (a, b) défínissent un point particulier de la trajectoire d'une particule (position de la particule au temps t = t⁰) . Les coordonnées de repos ¿r⁰, y^ telles que les a définies M. Miche représentent la position de la particule lorsque le fluide est au repos.

( * * ) On obtient cette equation en éliminant la pression p par dérivations croisées entre les deux équations classiques :

1 d/> , ^2x dx , fd2y . \ dy o Z a + dt2 da ^ { d t2 ~t9) d a ~ U

P db ^ dt* db ^\dP tyJ d b ~ u

J A N V . - F É V . 1 9 6 1 — N ° 1 P . F O N T A N E T 7

X ou x⁰

>\>////////////////s//ssss/// ss//sssss/'*

FlG, 1

O n utilise un s y s t é m e d'axes r e c t a n g u l a i r e s definí c o n i m e suit :

— L ' a x e Ox ou Ox⁰ est h o r i z o n t a l et c o n f o n d u a v e c le f o n d du c a n a l ;

— L ' a x e Oy ou Oy0 est v e r t i c a l ascendant et c o n f o n d u a v e c la p o s i t i o n de repos du batteur.

O n se l i m i t e á l'étude des m o u v e m e n t s c y l i n d r i q u e s , d e sorte q u e la 3e c o o r d o n n é e ne figure pas dans nos é q u a t i o n s .

D a n s le s y s t e m e des v a r i a b l e s de repos, les c o n d i t i o n s aux l i m i t e s s ' e x p r i m e n t s i m p l e - m e n t ( * ) :

Ce sont :

1. L a c o n d i t i o n au f o n d du canal, e x p r i m a n t q u e le d é p l a c e m e n t est h o r i z o n t a l : y = Q p o u r ijo = 0 x0 > 0

2. L a c o n d i t i o n á la surface libre, e x p r i m a n t q u e la pression y est constante : 1_ Jdp_ _ &x j9x_ , fjPii , \ dy_ = 0

9 dx0 ~ dt2 dx0 + \dP ~T~⁹)dx0

p o u r y⁰ — h x⁰ ^ 0

3. L a c o n d i t i o n au batteur, e x p r i m a n t q u e le m o u v e m e n t du í l u i d e épouse l e m o u v e m e n t du batteur. O n suppose q u e ce cíernier est défini p a r F é q u a t i o n :

x = ef (y) sin kt (e représente F i n f í n i m e n t petit p r i n c i p a l ) .

4. P o u r clore le d ó m a m e , i l faut ajouter une c o n d i t i o n á r i n f i n i . O n supposera q u e la solution est b o r n e e p o u r x⁰ = + ^{0 0} et q u ' e l l e r e p r é s e n t e une ou plusieurs houles se p r o p a g c a n t dans la d i r e c t i o n des x p o s i t i f s .

L ' é q u a t i o n d y n a m i q u e peut s'écrire sous u n e f o r m e un p e u difíerente :

• D \(dx/dt),x] D \(dy/dt),y] "I = Q

D ( x0, y0) D ( x0, ijo)1 J d

dt

l'expression figurant dans le crochet étant égale au double du r o t a t i o n n e l . L ' é q u a t i o n d y n a m i q u e e x p r i m e ainsi la p r o p r i é t é classique énoncée p a r le t h é o r é m e de L a g r a n g e : le r o t a t i o n n e l atta- ché á Fétément de v o l u m e q u i entoure u n e m o l é c u l e d é t e r m i n é e (caractérisée p a r sa p o s i t i o n d e repos x0, yQ) n e d é p e n d pas du t e m p s . I I se c o n s e j e d o n e au cours du m o u v e m e n t . O n r e m a r q u e d'autre p a r t q u e le r o t a t i o n n e l est u n e f o n c t i o n a r b i t r a i r e i n t r o d u i t e p a r F i n t é g r a t i o n de Féqua- tion d y n a m i q u e . E n le désignant p a r £ (x{)i y0), on a finalement :

D ( x^{0 )} y⁰) ~ D ( x⁰, y⁰) ⁺ D ( x⁰, y⁰) ~ ^{5 U o}' ^{¡ J o )}

P o u r r é s o u d r e ees équations, o n a p p l i q u e r a la m é t h o d e des petits p a r a m é t r e s de P o i n c a r é et F o n supposera q u e x(x0,y0,t) et y(x0,yQ,t), Z (x0> ¡Jo) sont des f o n c t i o n s a n a l y t i q u e s de la ( * ) L'intérét principal de la transformation ele M. Miche est, en eífet, ele substituer au clomaine oceupé par le fluide en mouvement, un domaine dont toutes les limites, y compris la surface libre, sont connues a priori.

8 L A H O U I L L E B L A N G H E N ° l - J A N V . - F É V . 1 9 0 1

v a r i a b l e e? r é g u l i é r e s dans le v o i s i n a g e de e = 0. L o r s q u e e t e n d v e r s z é r o , on a d m e t t r a q u e l ' a g i - í a l i o n du íluide d e v i e n t nulle. L e s f o n c t i o n s x, ¡j^? et l se réduisent alors aux v a l e u r s « de renos » :

O n peut ainsi eíTectuer les d é v e l o p p e m e n t s en serie :

x == x0 + c X j ( x0, Í/0> 0 + e2X2 ( x0, */0, Í ) + . . .

U = Uo+ e^i feo* ffo» 0 + ^e2y2 feo. &o. O + . . . ( I ) í = eZi ( x0, í /0) + eK2 (x09 ijo) + . . .

A n o t r e connaissance, la d é m o n s t r a t i o n de la c o n v e r g e n c e de ce d é v e l o p p e m e n t n'a j a m á i s éié faite. N o u s a d m e t t r o n s s i m p l e m e n t q u ' e l l e a lieu p o u r des v a l e u r s de e suffisamment petites.

N o u s r e v i e n d r o n s plus loin sur c e - p o i n t .

D a n s l ' a p p r o x i m a t i o n du 1e r o r d r e , on a d m e t t r a de plus q u ' i l est l e g i t i m e de l i m i t e r les d é v e l o p p e m e n t s á la p r e m i é r e puissance de e. E n substituant dans les équations du m o u v e - ment, en é c r i v a n t qu'elles sont v é r i í l é e s p o u r toutes v a l e u r s de e et en n é g l i g e a n t les t e r m e s du 2E o r d r e , on obtient :

^

^{^ 7}

fe - ^ )

-

^

D e m é n i e , les c o n d i t i o n s aux l i m i t e s s'écrivent :

i ) Y^x = 0 p o u r y⁰ = 0 x⁰ ^ 0

Í1) Xt = / ( y0) sin A*í p o u r x0 = 0 0 < y0 <

O n a supposé f (y) a n a l y t i q u e et régulié e p o u r les v a l e u r s 0 ^ z/0 ^ h sauf peut-étre p o u r un n o m b r e fini de v a l e u r s de y⁰. N o u s r e v i e n d r o n s sur ce p o i n t .

4) X1 ? Yx b o r n e s p o u r x0 = + c o . P a s d'onde v e n a n t de Pinfini.

L e s y s t é m e définissant le v e c t e u r déplacement de c o o r d o n n é e s X^{l 5} Y^x s'obtient p a r une nou- velle i n t é g r a t i o n de T é q u a t i o n d y n a m i q u e

3Xj . 3Yi

+ = d i v . ( X^{1 ?} Y^a) = 0

dxQ dy0

flr ~ l|r

'

"

' ^

+

* »°

oú Cx ( x0, z /0) représente une f o n c t i o n arbitraire ne dépendant pas du t e m p s .

L a solution genérale de ce systéme est la s o m m e d'une solution p a r t i c u l i é r e de l ' é q u a t i o n c o m p l e t e et de la solution g e n é r a l e de l'équation sans second m e m b r e ( g r a d i e n t d'une f o n c t i o n h a r m o n i q u e ) . O n peut d o n e é c r i r e :

x

>=-|Sr

<*>+ H ^

L e s fonctions c^, G^x satisfaisant elles-mémes aux équations :

= 0 A<h = + 2 ?! ( x⁰, Í/O) A^{9 l} = + C^x (x^Qi Í/O) et vérifiant les c o n d i t i o n s l i m i t e s .

J A N V , - F É V . 1 9 6 1 - ~ N ° 1 P . F O N T A N E T

L e p r e m i e r t e r m e peut r e p r é s e n t e r soit u n fcerme séculaire, soit le p r e m i e r t e r m e du d é v e - l o p p e m e n t en serie d'une f o n c t i o n p é r i o d i q u e , c o m m e Pa fait r e m a r q u e r M . K r a v t c h e n k o en s'ins- p i r a n t des resultáis classiques de P o i n c a r é et des t r a v a u x de M . D a u b e r t .

N o u s écarterons de n o t r e étude le d e u x i é m e cas d o n t la discussion p a r a i t difficile, q u i t t e á r é d u i r e la g é n é r a l i t é de la solution t r o u v é e .

D a n s ees c o n d i t i o n s , si nous a d m e t t o n s que, clans le canal á houle, le niveau m o y e n ne peut s'élever ou s'abaisser i n d é f i n i m e n t , Y⁵ ne peut c o n t e n i r de t e r m e s séculaires, d'oíi :

1 + L = 0 ( * ) 3 x⁰

D a n s F e x p r e s s i o n de X^{1 ?} le t e r m e (d^/dy⁰) X * r e p r é s e n t e un courant de masse p a r a l l é í e au f o n d , d é p e n d a n t de y⁰ seul.

FIG. 2

L e courant qui t r a v e r s o un é l é m e n t de surface de h a u t e u r dy⁰ d o i t d o n e étre debité á tra- vers le batteur.

Si nous supposons celui-ci étanche, nous d e v o n s a v o i r : 0, ce qui e n t r a i n e 4>i = G^{t (} dijo

et. 2 Kx = A+i

==

E n v e r t u de la p r e m i é r e h y p o t h é s e f a i t e sur le courant de masse, le r o t a t i o n n e l était i n d é - p e n d a n t de x⁰. E n v e r t u de la d e u x i é m e h y p o t h é s e ( é t a n c h é i t é du b a t t e u r ) , le r o t a t i o n n e l d o i t étre au m o i n s du second o r d r e .

L e s c o n d i t i o n s de surface et de f o n d s'écrivent m a i n t e n a n t :

ou :

O n peut égaler la constante á zéro, ce q u i r e v i e n t á c h a n g e r P o r i g i n e de Péchelle des pressions.

D a n s ees expressions, seul le t e r m e 'do¹/'dx^Q ne d é p e n d pas du t e m p s . O n doit done a v o i r s é p a r é m e n t :

X o ^ O ¡,o = 0 - | ? 1 . = O - | ^ - = 0

x⁰ ^ 0 y0 - A - 0 - — + —

( * ) Ceci correspond á Pexploitatioii d'un canal á houle avec un volume d'eau constant.

1 0 L A H O U I L L E B L A N C H E N ° 1 — J A N V . - F É V . 1 9 6 1

De m é m e , sur le batteur, on d o i t a v o i r :

d'oü

x0 = 0 O^ijo^h — + d^± = f (y0) sin kt

A i n s i , le c h a n g e m e n t de v a r i a b l e s xx = x0— e (9<Pi/dy0)> ¡Ji — Uo + e &9I^x0) représente un d é p l a c e m e n t du lo r o r d r e q u i c o n s e r v e les v o l u m e s puisqu'il satisfait, au 2e o r d r e prés, á F é q u a t i o n :

D fai> .Vi) _ j D ( x0, ij0)

I I r e m p l i t é g a l e m e n t les c o n d i t i o n s imposées aux l i m i t e s du canal l o r s q u e le ñuide est au repos.

II fait p a r t i e d'un g r o u p e de t r a n s f o r m a t i o n s étudié p a r M . Chabert d ' H i é r e s . Ce g r o u p e t r a n s f o r m e le d o m a i n e étudié en l u i - m é m e et c o r r e s p o n d d o n e á un s i m p l e c h a n g e m e n t des c o o r d o n n é e s de repos.

E n effectuant ce c h a n g e m e n t de variables, les expressions : X — Xn C ~~~ H~~ e~~^z

dy^d 3 x⁰

9 = L^ + E ^ ¡ ^ E ^ L J ¡

dG^x p r e n n e n t la f o r m e plus s i m p l e :

x = Xi A- e

y = í/x + c dx^x

G^x étant une f o n c t i o n h a r m o n i q u e de x^x et y¹ au 2° o r d r e prés. D ' a u t r e part, c ó r a m e on le recon- naít aisément, les c o n d i t i o n s l i m i t e s c o n s e r v e n t la m é m e f o r m e au 2e o r d r e prés.

E n resume, p o u r résoudre au le v o r d r e d ' a p p r o x i m a t i o n le m o u v e m e n t du batteur, c o m p t e tenu des hypothéses faites ci-dessus, on doit c h e r c h e r une f o n c t i o n h a r m o n i q u e G^x satisfaisant aux conditions l i m i t e s ( * ) :

1° x ⁰^ 0 z/⁰ = 0 | ^ = 0

ftn ^ ⁿ j 3²G i , 3Gi ⁿ

2 » x⁰^ 0 g⁰=h ^ L ^{+ Í ?} ^ ⁼ 0

3° x⁰ = 0 0 ^ y⁰ ^ h — ^L ~ f (y⁰) sin kt

OXQ

4^U x⁰ = + oo G^x b o r n e , pas d'onde v e n a n t de l'inüni.

L a f o r n l u l a t i o n du p r o b l é m e a Faide de la f o n c t i o n r é s o l v a n t e Gx( * * ) est d o n e tout á fait i d e n t i q u e á celle qui a été faite p a r M . Biesel á Faide du p o t e n t i e l des vitesses.

( * ) On remplace les Índices 1 par les Índices 0, ce qui est possible, puisque sur lo fond et sur la surface libre y± = y0 = 0 ou h, alors que sur le batteur xx = x0 = 0.

( * * ) ou potentiel des déplaccraents Gr

J A N V . - F K V . 1961 —- N^Ü 1 P . F O N T A N E T - 1 1

0 n c o n n a i t des solutions é l é m e n t a i r e s á v a r i a b l e s séparées qui v é r i f i e n t les c o n d i t i o n s 1, 2 et 4. E l l e s sonl ohtenues en posant :

G (x0> y o, t) = g1 (x0) g2 (yQ) sin kt AG d e v i e n t :

ff"i fao) = _ 9"* ( ? / o ) ⁼ _ m 2 ffi too) # 2 ( ^ o )

d'oü les solutions de la f o r m e :

G = ( d cí n M ío - f C2 e -i w a fo ) . ( Dx cm* o - f D2 e -m* o ) sin M

O n d e t e r m i n e les constantes Cl 9 C2, Dl 9 D2 p o u r satisfaire aux c o n d i t i o n s l i m i t e s 1, 2 et 4 et T o n obtient d e u x types de solutions :

1° m R É E L :

G = _ O o _ ch m0y0 c o s k t _ }

mQe sh mQh

m0 est F u ñ i q u e r a c i n e r é e l l e et p o s i t i v e de k2 == mgthmh ( c o n d i t i o n de s u r f a c e ) .

X , = ⁼ « o . d » ¿ ^{s i n} _

o x⁰ e sh m⁰h

Y1 = - 1 ^ - = + — 4 » cos ( / c í - m0a :0) dy⁰ e sh m⁰/z

Cette solution r e p r é s e n t e une h o u l e p r o g r e s s i v e de d e m i - a m p l i t u d e a^()> se p r o p a g e a n t v e r s les x0 p o s i t i f s ,

2o m I M A G I N A I R E P Ü R ( m = — ¿X) :

X^e sin X^n Xp est Fuñe des racines réelles de F é q u a t i o n k2 — — Ig t g Ih :

X l = = J j v r ^ o ^ s * ^ s.n/tí

o x⁰ e sin \ h

dG 2 af ie - V o sin X«z/0 .

Y _ = É 2s£ÍLs m &f

OT/O sin X^n

Ces solutions représentent des oscillations sinusoidales qui s'amortissent á courte distance du batteur. E l l e s f o r m e n t une suite infinie c o m m e l e s racines \} e l l e s - m é m e s .

L e s é q u a t i o n s et c o n d i t i o n s aux l i m i t e s étant linéaires et h o m o g é n e s , une c o m b i n a i s o n l i n é a i r e de ces solutions é l é m e n t a i r e s vérifie é g a l e m e n t les é q u a t i o n s et les c o n d i t i o n s 1, 2 et 4.

O n choisira d o n e les coefficients a0, ap de m a n i e r e á satisfaire á la c o n d i t i o n au balteur.

Celle-ci s'écrit :

x0 = O O^yo^h

v m ^7T \ ^ao ch m⁰y⁽⁾ , ~ 2 a^v cos X^py⁰ - , .

G o m m e Font i n d i q u é M M , Biesel et K r a v t c h e n k o , la possibilité de ce c h o i x resulte du fait

1 2 L A H O U I L L E BLANGHE N ° l - J A N V . - F B V . 1 9 6 1

q u e la suite f o r m é e par les f o n c t i o n s ch m0 y0 e l eos Xp z/0 est á la fois c o m p l e t e et o r t h o g o n a l e ( * ) . D a n s ees conditious, la f o n c t i o n arbitraire f (y0) peut étre d é v e l o p p é e en serie de f o n c - tions o r t h o g o n a l e s sous reserve que f ( z /⁰) vérifie certaines c o n d i t i o n s de regulante et certaines conditions l i m i t e s . N o u s r e v i e n d r o n s plus l o i n sur ce p o i n t .

L e s « coefficients de F o u r i e r » a0 et ap se calculent p a r les f o r m u l e s classiques : _ JYj / (¿/o) ch mQyQdy0

e sh m⁰h 2 a

J o⁷' c h^a m⁰y⁰dy^tí Jo11 f (Uo) eos ^{lv y o dy0}

JV» eos2 lp yQdy0

e sin \ Ji

E n p a r t i c u h e r , p o u r le batteur p i s t ó n , . f (y) — 1;

p o u r le v o l e t s i m p l e . . . / (y) = y/h;

p o u r le v o l e t b a í a n c o i r e / (y) — 1 + (ke/he) y .

PISTÓN Volet simple FI G . 3

Volet baíancoire

On a d o n e p o u r ees trois types de batteur plan les f o r m u l e s genérales ; 2 e s h2 m0h , 2 Ae sh m0h (m0h sh m0h — ch mQh -f- 1 )

0 m0h + sh m0h ch m0h m0h ( m0n + sh m0h ch m0h)

9 2 e s i n² Xp/j , 2 Ae sin l^vh (X^p/i sin X^ñ -f- eos ^ — Q

p \ h + sin Xp/í eos lph *~ lvh (Xph ~ f sin X^ñ eos Xph) P o u r le batteur pistón, on fera Ae = 0;

P o u r le v o l e t s i m p l e , on f e r a e = 0,

Mouvemenf- résultant

FI G .

4

( * ) Ce sont les fonctions propres de Téquation différentielle U " -f ¡¿U = 0, ü étant une fonc- Hon définie dans l'intervalle (0, h) et satisfaisant aux conditions limites :

L^{T /} (0) - 0 gW (h) — 7c²U (h) - 0

J A N V . - F É V . 1 9 6 1 — N ° 1 P. F O N T A N E T 1 3

L e m o u v e m e n t du fluide est representé p a r les expressions :

*=

" +

° tf5r

-

<*>> + 1

»

"

'° -S^r

oü le d e u x i é m e t e r m e représente la h o u l e é m i s e p a r le batteur et l e t r o i s i é m e , F o s c i l l a t i o n lócale.

On a figuré ci-contre les d é p l a c e m e n t s c o r r e s p o n d a n t á la h o u l e et aux p r e m i e r e s c o m - posantes de F o s c i l l a t i o n l ó c a l e p o u r les rnoléeules q u i restent en contact avec le batteur ( x *⁰= 0 ) .

E n a d d i t i o n n a n t tous ees d é p l a c e m e n t s o n obtient le m o u v e m e n t r e s u l t a n ! qui est dé j a assez v o i s i n du m o u v e m e n t du batteur.

On c o n c o i t q u ' e n a u g m e n t a n t le n o m b r e de t e r m e s des series représentant Foscillation lócale, on puisse a m e n e r le fluide á épouser e x a c t e m e n t le m o u v e m e n t du v o l e t (au p r e m i e r o r d r e d ' a p p r o x i m a t i o n ) . Cette r e m a r q u e nous conduit á e x a m i n e r de plus prés la c o n v e r g e n c e de ees series.

C o n v e r g e n c e des series d a n s l a m a s s e d u fluide.

L a solution f o r m e l l e obtenue ci-dessus étant écrite sous la f o r m e de series infinies, i l i m p o r t e de m o n t r e r que celles-ci r e p r é s e n t e n t b i e n des f o n c t i o n s définies et continúes v é r i - ñant les équations dans toute la masse du ñ u i d e et satisfaisant a u x c o n d i t i o n s l i m i t e s sur les b o r d s du d o m a i n e . O r , les t e r m e s des series c o n t e n a n t les facteurs e x p o n e n t i e l s e ~ V ' o ( * ) ( o n reconnait qu'elles sont absolument c o n v e r g e n t e s ainsi q u e leurs dérivées d ' o r d r e q u e l c o n q u e ) , quels q u e soient x⁰ et y^oC x⁰^ 0 ) . E l l e s sont done u n i f o r m é m e n t c o n v e r g e n t e s dans tout le d o m a i n e intérieur, et représentent b i e n des f o n c t i o n s continúes et d é r i v a b l e s satisfaisant aux é q u a t i o n s du m o u v e m e n t . I I en sera de m é m e sur les l i m i t e s du d o m a i n e sauf au droit du bat- teur oú F o n a x⁰ = 0. L e s e x p o n e n t i e l l e s se r é d u i s e n t alors á Funité et la c o n v e r g e n c e doit étre étudiée s o i g n e u s e m e n t .

C o n v e r g e n c e des series sur l e b a t t e u r ,

On doit v é r i ñ e r que p o u r x⁰ = 0, la serie d o n n a n t le d é p l a c e m e n t h o r i z o n t a l c o n v e r g e u n i f o r m é m e n t v e r s la f o n c t i o n / ( Í /⁰) ( c o n d i t i o n l i m i t e au b a t t e u r ) .

Dans ce but, M . Biesel a fait Fétude de la v a l e u r p r i n c i p a l e des coefñcients a⁰ et a^p. E n r e m p l a c a n t dans leurs expressions les quantités X^p7?, sin \ h et eos l^ph par les d é v e - l o p p e m e n t s l i m i t e s :

l^Dh = — O ( — ) eos X^vh = (— 1 ) » + O ( s i n XJi = ( — + i J^L -A- + O ( - ± -

\PJ \P²J 9* p \p²

on obtient :

9 a O r h2h 1 / 1 \ "I Wt

/ / (y⁰) eos l^py⁰dy^i}

esinl^ph ft [ ^T ff^ p² \ p^s.

On a d m e t q u e / (y⁰) est c o n t i n u é p o u r ( 0 ^ z/⁰ ^ h) ainsi q u e ses d é r i v é e s p r e m i e r e s et secondes.

O n suppose q u e f^0hf" (ífo)sin \^}ijodij⁰ est b o r n e . On obtient alors, au m o y e n de trois inté- g r a t i o n s p a r parties successives :

f^h fdja) cos\^py⁰dy⁰ = — -±-\cosl^ph [(k*/g) f (h) — f> (h)} + f ( 0 ) \ — sin l^ph

J 0 A p A* p

l rⁿ

+ -rr / f" Qft>) sin l^py⁰dy^d p Jo

( * ) Pour p assez grand, 'k^p ~ (pn/h). En effet, X^ph est obtenu en coupant la tangentoide.— cotg lli par la droite lh(g/k²h). On reconnait que l^ph est ainsi voisin de pn, d'oü 1 h = p%—e„. On a d'ail- leurs ¿ W < ? - Ihíglh (k*h/g)^ {p^ — ^H) tg ^€ d'oü s^p = (k*h/gn) x ( l / p ) + 0 ( 1 / p²) .

1 4 L A H O U I L L E B L A N C H E N ° l - J A N V . - F É V . 1 9 6 1

d'oü

2 a„

sin l^vh %²h ( — 1 ) "

" A-²

• R E O ] ^{+ R} CO)

Si / ( j /⁰) satisf ait aux m é m e s conditions a u x l i m i t e s q u e les f o n c t i o n s p r o p r e s q u i servent á la représenter sur T i n t e r v a l l e (0, h), (k²/g) f (h) = f (/?) et / ' ( 0 ) = 0 et si la f o n c t i o n / (y) est continué ainsi q u e ses deux p r e m i e r e s dérivées, o n v o i t q u e les series d o n n a n t les déplacemcnts x (0, y⁰) et y (0, y⁰) ainsi q u e les series dérivées sont a b s o l u m e n t c o n v e r g e n t e s . L a c o n v e r g e n c e ne dépendant pas de la v a l e u r de y⁰ est d'ailleurs u n i f o r m e .

Si / (y⁰) ne satisfait pas aux m é m e s c o n d i t i o n s l i m i t e s q u e les f o n c t i o n s p r o p r e s , la serie r e p r e s e n t a n ! / (y^Q) est encoré absolument et u n i f o r m é m e n t c o n v e r g e n t e . P a r contre, le t e r m e general de la serie d é r i v é e est :

2

nh² _{. 9} ^{F(H)—R M}

s i n p [> — ( K f f o / 7 t ) ] , 2 _ , sin p (%y^Q/h) , ^Q ÍJ_

L a c o n v e r g e n c e de la serie u^p est de m é m e n a t u r e q u e la c o n v e r g e n c e des deux p r e - m i e r e s series, p u i s q u e le reste 0 ( l / p²) est le t e r m e general d'une serie absolument c o n v e r - gente ( * ) .

Or, en v e r t u du t h é o r é m e d ' A b e l , les series de la f o r m e (C/p) sin p$ sont u n i f o r m é m e n t con- v e r g e n t e s dans T i n t e r v a l l e o u v e r t :

0 < p < 2 * ( * * ) soit p o u r la p r e m i é r e serie :

0 < x (1 — y⁰/h) < 2 ^tu ou — h < y⁰ < h et p o u r la d e u x i é m e serie :

0 < %y⁰/h < 2 % ou 0 < y ⁰< 2 / i

O n peut d o n e conclure : la séi'ie d é r i v é e sera u n i f o r m é m e n t c o n v e r g e n t e sur tout T i n t e r - v a l l e (0, h) sauf á celle des e x t r é m i t é s oü la f o n c t i o n / ( y ) ne vérifie pas la c o n d i t i o n l i m i t e (c'est- á-dire aux e x t r é m i t é s oü i l y a des discontinuités. N o u s r e v i e n d r o n s plus l o i n sur ce p o i n t ) .

O n aboutirait á des conclusions anaíogues si f (y⁰) ou ses deux p r e m i e r e s d é r i v é e s n'étaient pas continúes sur T i n t e r v a l l e (0, Ti). L e s series oü leurs dérivées seraient u n i f o r m é - m e n t c o n v e r g e n t e s dans tout i n t e r v a l l e oü / (y) ( o u sa d é r i v é e ) sont continúes, m a i s elle présen- terait le p h é n o m é n e d e Gibbs a u x points de discontinuité ( * * * ) . Ces resultáis sont classiques et nous n'insisterons pas.

N o u s r e m a r q u e r o n s s i m p l e m e n t , en nous r e p o r t a n t á la figure 4, q u e toutes les f o n c - tions p r o p r e s o n t une t a n g e n t e v e r t i c a l e au f o n d du canal. L e u r s o m m e aura d o n e elle aussi une t a n g e n t e v e r t i c a l e en ce p o i n t alors q u e la pente du v o l e t y est i n c l i n é e . Cette ( * ) En eífet, O ( 1 / p²) peut étre majoré par M / p², M étant une quantité fmie (sinon le terme ne serait pas de Tordre de 1 / p²) .

( * * ) On sait d'ailleurs que £ ^ ^ = pour 0 < {J < 2 %.

I P 2

Pour £ — 2 KR„ la fonction représentée par la serie trigonométrique est discontinué et la conver- gence ne peut étre uniforme dans le voisinage (phénoméne de Gibbs). On a de plus :

2

1

sin pft _ ^F ( 2 K?C — 0 ) -j- / ( 2 K% H~ 0 ) ^

0 POUR P = 2 k%

Fio. 5 forme

( * * * ) Dans le calcul des coefficients, Tintégration par parties donnerait en effet des termes de la 2 F/ ( ^+ 0 ) - _ F( V - Q ) 1 S . N ^ ^

rch p h si / (ÜQ) avait au point y⁰ = r¡ une discontinuité de premiére espéce.

J A N V . - F É V . 1 9 6 1 — N ° 1 P . F O N T A N E T 1 5

d e r n i é r e passe ainsi b r u s q u e m e n t de la v a l e u r 0 á la v a l e u r Le/he et les d é r i v é e s du déplace- m e n t subissent en ce p o i n t une discontinuité de p r e m i é r e espéce. P a r suite, les series qui les représentent ne p e u v e n t étre u n i f o r m é m e n t c o n v e r g e n t e s au p i e d du v o l e t .

L e s conclusions seraient c o n t r a i r e s p o u r le batteur pistón, p u i s q u e sa trace est e l l e - m é m e v e r t i c a l e .

A u s o m m e t du batteur, la pente des f o n c t i o n s p r o p r e s est liée á leur v a l e u r U (/?), p a r P é q u a t i o n U ' (h) = (k²/g) U (h). L a pente de f (y⁰) ayant en g e n e r a l une v a l e u r différente en ce p o i n t f (h) (k^%/g) f (h) les dérivées du d é p l a c e m e n t y subissent une discontinuité, et les series dérivées ne p e u v e n t c o n v e r g e r u n i f o r m é m e n t en ce p o i n t .

L e s difficultés de c o n v e r g e n c e sont dues au f a i t q u e les f o n c t i o n s p r o p r e s sont m a l a d a p - tées á la r e p r é s e n t a t i o n de la f o n c t i o n X^x ( 0 , y⁰) = / (y^Q) ^vers ^^{e s} e x t r é m i t é s du batteur lorsque f (y^Q) ne vérifie pas les m é m e s c o n d i t i o n s l i m i t e s .

E t u d e a priori des singularités.

E n r a p p e l a n t ci-dessus les g r a n d e s l i g n e s de Fétude faite p a r M . Biesel, nous avons r e m a r - qué que la c o n v e r g e n c e des series sur le v o l e t est essentiellement liée á Fexistence des singu- larités de la f o n c t i o n q u e Fon cherche á r e p r é s e n t e r p a r une serie.

M . K r a v t c h e n k o a fait une étude des singularités de X^x (x⁰, y^Q) et Y^x(x^Qi z /⁰) . Cette étude p e r m e t de c o n n a i t r e le c o m p o r t e m e n t des f o n c t i o n s au v o i s i n a g e du p i e d et du s o m m e t du bat- teur. E l l e p e r m e t é g a l e m e n t de d é t e r m i n e r les singularités de X^x( 0 , y⁰) e t de p r é v o i r la nature de la c o n v e r g e n c e des series sur le batteur. N o u s allons m a i n t e n a n t en r a p p e l e r les resultáis en F a d a p t a n t á n o t r e s y s t é m e de v a r i a b l e s .

L e s c o o r d o n n é e s du v e c t e u r d é p l a c e m e n t X^UY¹ sont solutions du systéme : 3Xx ⁼ d i — Y^x) dX^x ^ _ d ( — Y^x)

dx⁰ dy⁰ dy⁰ dx⁰

L e s f o n c t i o n s X^x et — ~ Y^X sont d o n e h a r m o n i q u e s conjuguées. P a r suite, F ( z⁰) = X ^x— iY^x est a n a l y t i q u e dans le d o m a i n e étudié. E l l e est d'ailleurs r é g u l i é r e en tout p o i n t intérieur, puis- q u e X^x et Y^x sont solutions d'équations á coefñcients r é g u l i e r s .

L e s fonctions X^x et Y^x vérifient de plus les c o n d i t i o n s de fond et de surface et la c o n d i t i o n á F i n f m i q u i s ' e x p r i m e n t p a r des équations á coefficients r é g u l i e r s . L a c o n d i t i o n l i m i t e sur le batteur est é g a l e m e n t r é g u l i é r e si / ( y⁰) et ses d é r i v é e s ne possédent pas de discontinuités sur F i n t e r v a l l e o, h (**).

L a f o n c t i o n F ( z ) ne peut d o n e posséder de singularités á Fintérieur ou sur les l i m i t e s du d o m a i n e sauf peut-étre aux p o i n t s d'angles ( e x t r é m i t é s du b a t t e u r ) . E n effet, en ees points, X^x et Y^x d o i v e n t vérifier s i m u l t a n é m e n t deux c o n d i t i o n s l i m i t e s q u i sont en general différentes. P a r e x e m p l e , si Fon a p p r o c h e du s o m m e t du b a t t e u r en suivant la surface libre, la f o n c t i o n U C^ro> í/o) = &²X i — g ( 3 Y^x/ 3 x⁰) = k²X^x — g (dX^x/dy⁰) reste c o n s t a m m e n t nulle et F o n a :

U (0, h) = 0.

M a i s si F o n a p p r o c h e du s o m m e t du batteur en suivant Faxe o y⁰, U (0, ^{? / 0}) = k²f (y⁰) — g [df ( y⁰) / r f y^ol , et Fon a : U (0, h) = k²f (h) — gf (h),

* ( * ) En effet. on a montré que le rotationnel HHx^Q9y^Q) était mil. D'autre part, on peut prendre

^ í ^ o ' ^ o ) = ^ce <I^uí revient á effectuer la transformation du groupe Chabert d'Hiéres. L e second mem- bre de Féquation dynamique (voir systéme d'équations I I ) est done nuL

( * * ) Dans le cas contraire, les fonctions X^x et Y¹ présenteraient une singularité en tout point de Fintervalle x⁰ = 0 0 ^ y⁰ ^ h oü f (y^Q) ne serait pas réguliére. Nous reviendrons sur ce point.

1 6 L A H O U I L L E BLANCHE N ° l - J A N V . - F É V . 1 9 6 1

q u i n'est pas m i l en general. A i n s i , la f o n c t i o n U p r e n d deux v a l e u r s différentes au p o i n t ( o , h ) . I I en est de m é m e p o u r F ( z⁰) et T o n peut concurre en disant q u e le s o m m e t du batteur est un p o i n t c r i t i q u e (á m o i n s q u e / (y0) ne satisfasse á la c o n d i t i o n l i m i t e en surface k2 f (h)—gf(h)—-0).

On aboutirait á des conclusions analogues p o u r le p i e d du batteur. O n v a m a i n t e n a n t c h e r c b e r á préciser la nature de ees singularités.

A ) E t u d e d u point situé a u p i e d d u b a t t e u r .

FIO. 6

L a f o n c t i o n F (z0) est définie dans le v o i s i n a g e de ce p o i n t p a r une c o n d i t i o n m i x t e ( v a l e u r de la p a r t i e réelle sur Oy0, v a l e u r de la p a r t i e i m a g i n a i r e sur Ox0). I I est c o m m o d e de se r a m e n e r á des c o n d i t i o n s l i m i t e s plus s i m p l e s fixant les v a l e u r s de la p a r t i e réelle sur tout le contour. O n considere dans ce but le m o u v e m e n t i m a g e du m o u v e m e n t réel. le m i r o i r étant constitué p a r le f o n d du canal.

En deux p o i n t s s y m é t r i q u e s M et M ' on a :

X3 (sc0 — j/o. 0 = x i (?a> y& 0 Yt (XQ, y09 t) = — Yx (x0, y0, t) Sur le f o n d du canal, on a de plus Yx (xQi 0, t) = 0.

On peut d o n e e n l e v e r la p a r o i constituant le f o n d du canal sans p e r t u r b e r le m o u v e m e n t . Celui-ci se t r o u v e m a i n t e n a n t défini dans la bande :

x0 5* 0 — h ^ y0 ^ + h

D a n s le n o u v e a u d o m a i n e , la f o n c t i o n F ( z0) = Xx — iYx est d é t e r m i n é e p a r les c o n d i t i o n s limites ( Í /⁰ = ± / i k²Xⁱ— g (dX^x/dx⁰) = 0 et x⁰ = 0 X^x = f (y⁰) sin kt).

On peut séparer le facteur temps en ajoutant une h o u l e venant de Tinfini ( c e q u i r e v i e n t á modifier la c o n d i t i o n á Finfini et ne change pas la nature de la singularité á F o r i g i n e ) .

On a alors :

X i (x⁰, y o, t) = X^x (x⁰⁾ y⁰) sin kt Y^t ( x^{0 >} y⁰, t) = Y^x (ar⁰, y⁰) sin kt

L o r s q u ' o n p a r c o u r t F a x e Oy⁰ en t r a v e r s a n t F o r i g i n e , X^x (0, y⁰) = ((y⁰) est continu, m a i s il est clair que dXx/dyQ = ¡' (y0) subit une discontinuité égale á :

© + o - © - . - " " • " - ' ' . - ' • « » •

Or, dX^'dijo est la p a r t i e réelle de la f o n c t i o n i [ d F (z0)/dz0] q u i est é g a l e m e n t a n a l y t i q u e dans le d o m a i n e étudié.

En p o s a n t : í ^{d ¥} ^ = ® ( x⁰, y^Q) + í+ (x⁰ⁱ y⁰)

on r e c o n n a i t que dans le v o i s i n a g e de F o r i g i n e , l ' é c o u l e m e n t representé p a r le p o t e n t i e l c o m - p l e x e © + z\j/ est du t y p e t o u r b i l l o n :

J A N V . - F É V . 1 9 6 1 — N ° 1 P . F O N T A N E T 1 7

+ = — l i A iogZo( . )

7C

E n r e t r a n c h a n t l a singularité, o n obtient une n o u v e l l e f o n c t i o n a n a l y t i q u e :

CÍZQ %

clont la p a r t i e r é e l l e est n u l l e et continué á l ' o r i g i n e . 9 » * F ¿

9 - Cte

Fin. 7

Sa d é r i v é e est e n c o r é une f o n c t i o n a n a l y t i q u e p u i s q u e dans le d ó m a m e i n t é r i e u r F ( r⁰) et l o g z⁰ sont r é g u l i é r e s . O n a d'ailleurs :

61 ^{J _ (} i F W , 21^ J \ ~ | _ 3!Xx 2 f0 eos 6

Sur l'axe Oy⁰ (0 = cette e x p r e s s i o n se r é d u i t á / " ( Í /⁰) q u i est continué á l ' o r i g i n e (* * ) . O n a e n c o r é :

d i

JJLf

L a p a r t i e r é e l l e de cette f o n c t i o n subit la d i s c o n t i n u i t é 2 / " '⁰. E l l e se c o m p o r t e d o n e c o m m e la p a r t i e réelle de :

^ - ^ L O G Z O

O n peut é c r i r e ainsi en d é v e l o p p a n t f"f (y0) autour de F o r i g i n e ( * * * ) :

( * ) En eífet, dans ce type d'écouleraent, le potentiel subit une discontinuité quand on traverso Forigine : 9 = (2 f⁰ ( 9 + 0 — <?-o) = 2 f⁰/% [(iz/2)— (—%/2)] = 2 f⁰. Les lignes ele eomrant sont des cercles centres sur l'origine allant du potentiel + f0 au potentiel —f0.

(**).En effet, la courbure du batteur image est égale á la courbure du batteur réel. D'ailleurs, la fonction f (y0) est paire dans Tintervalle — h^yQ^h> Ses dérivées d'ordre pair sont done égales de part et d'autre de Torigine, mais ses dérivées d'ordre impair y sont opposées.

( * * * ) On suppose que / " ' (y0) et flY (y0) existent dans Tintervalle 0, h> d'oü :

| ^ = R (YO) = N + Y⁰ /^IV ( * ¡ , O ) O < « < 1

3