Application de la méthode des singularités au calcul des structures supercavitantes en théorie non linéaire

présentée à

L'UNIVERSITÉ SCIENTIFIQUE ET MÉDICALE

ET

L'INSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE DE GRENOBLE

pour obtenir le titre de

DOCTEUR- INGÉNIEUR

par

Christian PELLONE

Ingénieur ENS M

SUJET

Application de la méthode des singularités au calcul des structures supercavitantes

en théorie non linéaire

Soutenue le 12 Juin 1981 devant la Commission d'Examen ---~---

M. G. LESPINARD M. J. DODU M. T. S. LUU M. C. REHBACH M. A. ROWE

Président

Examinateurs

GRENOBLE

Le. :Ota.IXLU ptte4 e.n.t~ da.n6 c.e. me.mo-Vte. a. e.;te. Jt.ea..Uô ~ a .t' I rud;Uu,t de. Méc.an.l.qu.e. de. GJt.e.nob.te. gJt.â.c.e. a.u c.onc.outr.ô de. d.i.66~e.nte.4 pe1L60nne4 que.

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-=-=-=-=-=-=-=-=-

Page INTRODUCTION. . • • • • • . • . . . • . . • . • • • • . • . . . .. • . • •. . . • . • . . . . • . • . • . . . • . . . • V

PREMIERE PARTIE : ETUDE BIDIMENSIONNELLE ... • • • • • .. • • • • • • • • • • • • .. • .. .. • • • • 1

Principales notations ••...•..••.•...•...•.•..••...••.• 3

Pré 1 i mi na ire . . . .. . . . 5

Chapitre I :Fonnulation du problème... 7

t .!-Position du problême et définitions... 7

I.2-Hypothêses et équations de l'écoulement •.• 8 I. 3-Condi ti ons aux 1 imites.. .. .. . • .. .. .. • .. . .. . 9

!.4-Cal cul de 1 a pression et des efforts... 10

I.S-Fonnulation •..•...••...•. 11

Chapitre Il : Equations intégra 1 es du prob 1 ème.. .. .. .. .. .. 12

!1.1-Etude prêl iminaire ... 12

II.2-Génération du champ des vitesses ... 16

II.3-Equations intégrales ...•...•...•. 19

!1.4-Procédure de calcul •...•...••...•.. 22

ChapitreiU :Discrétisation du problème ... 23

III...l-Discrétisation du champ des vitesses ... 23

IIL.2-Discrêtisation des équations intégrales •.•• 27 III.3-Expression matricielle des équations inté- grales ••...•..•...••...•. 29

!Ir .4-Mode de rêsol ution ... 30

ChapitreiV :Caractéristiques géométrique et hydrodynami- ques de l' écou 1 ement. . • . • . . . . • . . • . . • . • • • . . . 32

IV.l-Calcul de la vitesse ... 32

IV.l.l-Vitesse en un point de l'aile ... 32

I.V.1.2-Vitesse en un point de la cavité ... 32

Il/.2-Calcul itératif de la cavité ... 33

IV .2.1-Procédure itérative ... 33

IV..2.2-Mise en oeuvre •...•...••..•...•. 34

IV..2.3-Fenneture de la cavité ... 35

IV..3-Calcul du coefficient de pression et des efforts. . . 35

IV .. 4-Calcul de la surface 1 ibre ... 36

...

^/

...

Page

Chapitre V :Applications et résultats... 39

V.l-Aspects numériques... 39

V.2-Profils étudiés... 41

V.3-Aile supercavitante à extrados mouillé... 46

V.3.1-Influence de la longueur de cavité... 46

V.3.2-Influence du nombre de ventilation... 47

V.3.3-Influence de la mise en incidence... 48

V.4-Aile supercavitante à extrados dénoyé: décollement au bord d' attaque... 48

V:.S-Aile supercavitante à extrados mouillé: cas des cavités courtes... 50

DEUXIEME PARTIE ETUDE TRIO !MENS IONNELLE . . . . • . . • . • • . • • . • . • . . . • • . . . . • • . . • 73

Pri nci pa 1 es nota ti ons ..••.•...••...•.•...•.•.•••... Pré 1 i mi na ire . ... . Chapitre I :Schématisation de l' écoulement ... .. I .1-Axes de référence et définitions .•.•...•... I .2-Equations de 1' écoulement et conditions aux 1 imites •..•....•••...•... I .3-Calcul de la pression et des efforts ... . I .4-Gênération du champ des vitesses .•.•.•..••. Chapitre!! :Etude des discontinuités des champs de vi tesse ... ... . II .1-Surface support d' une distribution surfa- cique de sources •••• ~··· II .2-Surface support d' une distribution surfa- cique de doublets normaux •....•..•...•..• II .3-Surface support d' une distribution surfa- cique de doublets tangentiels •.•...•.•....• II.4-Facette polygonale supportant une distri- bution constante de sources~ .•..•...•.•..• II.S-Facette polygonale supportant une distri- bution constante de doublets tangentiels~t· II.6-Facette polygonale supportant une distri- bution constante de doublets normaux~··· Chapitreiii:Equations intégrales du problème •••••••.•.•• III . 1-Champ de vi tesse . ...•... III.2-Equations intégrales •.•...•...•..••.• ~··· III. 3-Prob l ème di scréti sê ... . III.3.1-Discrétisation géométrique ...•..•...•. III.3.2-Discrétisation du champ des vitesses •••.. III.3.3-dicrêtisation des équations intégrales •.. III.3.4-Expression matricielle des équations in- tégra 1 es . ... . . . . 1 . •.

75 77

79 79 82 83 84

85 85

87 88 90 92 92 94 94

96 98 100 98 103

105

III.3.5-Mode de résolution •••...•.•...•...••.

Chapitre IV:Caractéristiques géométrique et hydrodynami-

ques • ••...••....••.••...•...••..•..•

IV.1-Calcul de la vitesse •.•..••••..•.••.•...••.

IV.2-Calcul itératif de la cavité ••••.•.•••••.•.

IV .2.1-Fonne initiale de cavité •..•.••...•...•

IV.2.2-Fonne en plan de la cavitê •...••.•••.•.•.

IV.2.3-Calcul de la surface de cavité •••...•••••

IV.3-Calcul du coefficient de pression et des efforts . ... . Chapitre V :Applications et résultats ••...•.•••.•.•

V .1-Aspects numériques •.•.••.•..•.•..••..••••..

V .2-Rêsultats ... ... .

Page 107 109 109 115 116 117 120 122 124 124 126

BILAN DE L • ETUDE.. . . . • . . . • . . . • . . . • . . . • • . • . .. • • . • . • . . . • . . . 145

REFERENCES. • . . • • . . . • . • • • . • • . • • • . • . . . • • . • . . • • • . . . • • . • • • • . . . • . • • . • • • • • 14 7 Annexe 1... . . 153 Annexe 2. . . • . . . • . . . • . . . • . . . 154 Annexe 3. . . 156

-~---

La présente étude se rapporte au calcul d'une structure supercavitante en écoulement tridimensionnel. Ce problème, considéré longtemps comme difficile peut maintenant recevoir une solution grace à 1 'utilisation d'ordinateurs perfor- mants. L'intérêt des structures supercavitantes a retenu depuis de nombreuses an- nées l'attention des hydrodynamiciens. Au début, lamotivatlon semble surtout avoir été liée à l'intérêt mathématique des problèmes et à ce propos on peut citer les travaux de LEVI-CIVITA, VILLAT, LERAY, KRAVTCHENKO [28] , [29] ,

@oJ , @1].

A partir des années cinquante, la recherche de performances de plus en plus poussées a conduit les spécialistes d'hydrodynamique navale, ^à concevoir des structures pouvant fonctionner normalement à três grande vitesse en régime de supercavitation, qu'il s'agisse d'hélices de navires rapides, de voilures d'hydro- ptères, ou de pompes ^à faible NPSH.

Aujourd'hui, un tel matériel existe, mais les méthodes de conception sont assez empiriques et il paraissait intéressant de faire un effort pour améliorer ces méthodes. Au surplus, il arrive de plus en plus fréquemment que des machines pré- vues pour fonctionner normalement en régime subcavitant soient utilisées dans des conditions telles qu'une cavitation se développe partiellement à partir du bord d'attaque en configuration de poche ; on peut d'ores et déjà prévoir que des métho- des mises au point pour le calcul de vraies machines supercavitantes seront mises

à profit pour la prévision des performances, ou le proj'et de machines subcavitantes fonctionnant en régime de cavitation développée. Dans ce cas, il est particulière- ment intéressant de développer une méthode non linéaire car les conditions de déta- chement de la cavité au bord d'attaque peuvent alors faire 1 'objet d'une étude fine.

C'est justement le cas envisagé ici, et ceci en raison principalement des contrain- tes de fortes déviations imposées par les vraies structures supercavitantes à

extrados entièrement dénoyé.

Le calcul des caractéristiques hydrodynamiques d'une structure supercavi- tante se heurte à deux difficultés :

- la présence d'une cavité suivie d'un sillage diphasique et turbulent nécessite une certaine modélisation pour pouvoir traiter le problème dans le cadre des écoulements à potentiel,

-s'agissant par ailleurs d'un problème à frontière libre, la résolution

prendre en compte la présence d'un sillage avec décollement derrière une structure.

Cependant, si en aérodynamique on peut souvent se contenter d'une solution appro- chée en négligeant la présence du sillage, la prise en compte de la cavité et de son sillage est absolument essentielle pour la prévision correcte des caractéris- tiques d'une aile supercavitante. Dans ce domaine, de nombreuses études ont été effectuées en théorie linéaire selon des méthodes analytiques dans le cas plus sim- ple des écoulements bidimensionnels. Le but de ces études était essentiellement une validation des schémas de calcul choisis pour modéliser la cavité, et une estima- ti on de 1 'erreur due à 1 a 1 i né a ri sa ti on [1] â [6] •

L'erreur introduite par la linéarisation est d'autant plus grande que 1 'extrados de l'aile est dénoyé : dans ce cas, en effet, la déviation de l'écoule- ment est particulièrement importante. Lorsque l'aile est a bord d'attaque arrondi, et que l'extrados est mouillé, la déviation est moins importante et les coefficients globaux calculés sont plus proches de la réalité, mais la répartition de pression au bord d'attaque, zone particulièrement intéressante puisque sensible aux décolle- ments locaux et a la cavitation, est singulière. Pour toutes ces raisons, il paraft nécessaire de développer une théorie non linéaire. Cependant les difficultés sont telles que jusqu'a présent, et à la connaissance de 1 'auteur, seuls ont été résolus

-en écoulement bidimensionnel, le problème de la plaque plane sans ou avec prise en compte de l'influence de la gravité

[7]

et

[a]

-en écoulement bidimensionnel, le problème indétenniné relatif a un profil de fonne quelconque [9]

- en écoulement bidimensionnel, le problème inverse relatif à une loi de charge parti cu 1 i ère [10]

-en écoulement bidimensionnel, le problème direct relatif a un profil

à extrados dénoyé, et intrados de fonne quelconque [11].

Il s'avérait donc que la résolution du problème direct en théorie non linéaire, relatif à un profil supercavitant a extrados mouillé et arrière tronqué, était a ce jour non traité. La difficulté du problème, lorsqu'il est abordé selon une méthode analytique, réside dans le fait que la fonction inconnue, solution du système d'équations intégro-différentielles régissant le problème, varie de manière extrêmement rapide dans la région correspondant au bord d'attaque de 1 'aile. Il en résulte que les procédures de résolution itératives imaginées jusqu'a présent

sage au cas plus complexe de 1 'écoulement tridimensionnel peut s'envisager. Dans le cadre des méthodes analytiques, le passage â 1 'écoulement tridimensionnel peut s'envisager aussi par une méthode de raccordement asymptotique avec la solution de la ligne portante de PRANDTL. La méthode est excessivement simple â mettre en oeuvre si l'on s'en tient à la solution du premier ordre, mais dans ce cas, le caractêre tridimensionnel de l'écoulement est schématisé à l'extrême. C'est le travail qu'ont effectué R. BAUBEAU

[10]

et O. FURUYA

[12]

en utilisant une solu-

'

tion non linéaire du problême ·bidimensionnel. En poussant le raccordement au deuxiême ordre, on peut faire apparaftre certains effets transverses, mais dans ce cas la mise en oeuvre de la solution non linéaire devient vite extrêmement complexe, et à la connaissance de l'auteur, aucune tentative n•a été faite en ce sens. Citons cependant le travail de P. LEEHEY

[13]

qui a poussé le raccordement au deuxiême ordre, mais

a

partir de la solution bidimensionnelle linéaire. Le développement d'une méthode numérique applicable au calcul direct (off-design) d'une aile super- cavitante

a

arriêre tronqué apparaft donc souhaitable, car une telle méthode est bien adaptée à la résolution du problème non linéaire en écoulement bidimensionnel, et son extension au cas de l'écoulement tridimensionnel est possible.

L'utilisation d'une méthode numérique pour traiter le problême des écou- lements cavitants a déjà fait l'objet d'un certain nombre d'études. A la connais- sance de l'auteur, ces études ont été effectuées dans le cadre de la théorie linéai- re : avant même le développement des ordinateurs.et dans un domaine proche, T.S. LUU avait déjà défini une méthode de résolution par simulation rhéoélectrique

[20]

et

[21].

Le cas d'une voilure à extrados dénoyé suivie d'une cavité de longueur finie a été traité par L.F. TSEN et M. GUILBAUD en

1970 [22].

Enfin J. VERRON a étudié le cas d'une voilure à extrados noyé, placée sous une surface libre [23]. La section droite de cette voilure correspondait à un coin symétrique. La méthode utilisée par VERRON pourrait facilement s'étendre au cas d'une aile de section droite quelconque. On • pourrait également imaginer de rendre la solution régulière à bord d'attaque par raccordement entre la solution obtenue, et une solution locale tridimensionnelle réguliêre, selon la technique proposée par J.S. DARROZES ~4]. Cette dernière méthode aurait le désavantage d'introduire des erreurs aux fortes incidences dues à la li- néarisation du .. problême extérieur .. , et par voie de conséquence l'extension au cas des vrais profils supercavitants (extrados dénoyé) ne pourrait se faire que sous certaines restrictions.

car lorsqu'il s'agit de traiter un corps fermé doté d'une certaine épaisseur, la matrice du système est singulière. Les artifices qui permettent de lever cette difficulté ne sont pas toujours faciles â justifier, et nous avons préféré laisser au moins provisoirement cette méthode de c~té.

La méthode intégrale présentée dans cette étude permet de traiter aussi bien 1 'écoulement bidimensionnel que l'écoulement tridimensionnel d'un fluide par- fait et incompressible autour d'une aile. Dans le cas des écoulements 4 potentiel autour d'une aile subcavitante 4 extrados mouillé, sans effet de portance, le poten- tiel est généré par une répartition de simple couche ~4]

[15] [16].

L'écriture de la condition de glissement du fluide sur la surface de 1 'aile (condition du type Neumann) conduit 4 une équation de Fredholm de deuxième espèce : la résolution de celle-ci est rendue possible grace â la technique de discrétisation qui permet de poser un système d'équations linéaires dont les solutions sont obtenues par ordina- teur. La distribution de simple couche étant ainsi déterminée discrètement sur toute la superficie de l'aile, il n'y a aucune difficulté pour en déduire les caractéris- tiques de 1 'écoulement. Pour introduire 1 'effet de portance, une répartition de double couche est nécessaire

[17] ;

dans cette voie, le problème non linéaire de l'aile épaisse peut être traité par une répartition de simple et de double couche sur 1 'aile, de double couche sur le sillage ~8].

Le traitement de l'aile supercavitante est rendu possible par la modéli- sation mathématique de la cavité ; les principales difficultés rencontrées sont liées d'une part à la différence de nature des conditions aux limites qui doivent être satisfaites sur 1 'aile et la cavité, d'autre part à la forme inconnue de la cavité. La frontière géométrique de la cavité devant être une surface de courant à

pression constante, la condition sur celle-ci se traduit par une condition de vites- se tangentielle. Supposant dans un premier temps la géométrie de la cavité connue, la solution du problème est obtenue en utilisant une répartition de simple couche sur 1 'aile (sources), une répartition de double couche sur la cavité (doublets tangentiels), une répartition de double couche sur l'aile, la cavité et le sillage (doublets normaux), plus une répartition de puits linéiques placés à l'arrière de la cavité dont l'intensité totale est égale à la somme des sources sur 1 'aile. Bien que la solution du problème aux limites exposé soit unique, il n'y a pas unicité de la répartition des singularités dans la création d'un même potentiel des vitesses

[18] ;

en conséquence, sur 1 e sillage supposé i ndêformab 1 e et 1 a ca vi té, 1 a densité de doublets normaux est caractérisée par une loi suivant l'envergure de 1 'aile :

de la cavité nécessite une procédure itérative qui permet d'obtenir celle-ci numé- riquement points par points. En raison de la présence des puits

a

1 'arrière de la cavité, celle-ci ne se ferme pas complètement ; de fait le modèle choisi est un modèle

a

cavité quasi-fermée.

PREMIERE PARTIE ETUDE BIDIMENSIONNELLE

PRINCIPALES NOTATIONS

Ox

axe h·or.i-z.ontal confondu avec 1 e p 1 an moyen de 1 a surface 1 i bre

DY

axe vertical ascendant

ii

vecteur unitaire suivant

ôX

-

^j

wxy

h

v;

vecteur unitaire suivant

DY

repêre de définition de 1•aile profondeur d' immersion

vitesse du fluide

a

l'infini amont

-

^vM vitesse de perturbation au point M

~ vitesse totale au point M :

v-;= ^V:,

^{+ vM}

ex i nci denee de 1• ai 1 e : ex

= ( wX .

^{w-x )}

z

=

x+ iy : affi;e d•un point M dans le plan conplexe (xoy) comp·l exe conjugué de z

z

i complexe imaginaire pur : i2

=

^-1

!1

m ( ) dte( )

partie imaginaire d•un complexe partie réelle d•un complexe

Ç

vecteur unitaire tangent en. un point 1'1 du contour fiM normale unitaire extérieure en un point M du contour

n;

normale unitaire extérieure en un point M du culot de 1 •aile exM angle orienté : exM=

(i,

~)

sM abscisse curviligne p masse volumique du fluide

g accélération de la pesanteur PM pression en un point M du fluide Pcav pression régnant dans la cavité lcav longueur de cavité

p~ pression de référence~ prise

a

1 •infini amont

a

la profondeur d¹immersion h Po pression de surface libre

PM- p~

c -

._;,;,;--==~

PM - 1 p ïj2

2

^~

K = P~ -Pcav J. P -2 v~

2

- · · - - · - - - -- - - -

coefficient de pression en un point M du fluide nombre de ventilation

D longueur choisie dans la direction orthogonale au plan de 1 •écoulement

L longueur de référence dans le plan de 1 'écoulement (corde intrados)

fr

effort du fluide exercé sur l'aile

--

^{F· î}

C

= :

coefficient de tra tnée x .1 _{2 p} DL _-~(/)

\7

²

C

z =

^{F •} -2 ^J coeff1 ci ent de portance

~ ^p DL Voo

PRELIMINAIRE

Les difficultés rencontrées en écoulement tridimensionnel conduisent dans un premier temps

a

considérer le problème bidimensionnel. La résolution de ce problême est présentée dans cette premiêre partie. Aprês calcul d'une aile supercavitante

a

extrados mouillé, la stabilité de la méthode permet de trouver la position du point de décollement de la cavité

a

1 'extrados et donc d'étendre le calcul au cas plus classique d'une géométrie

a

extrados dénoyé. La procédure s'est également avérée efficace pour traiter le cas d'une aile supercavitante

a

extrados mouillé suivie d'une cavité três courte.

L'étude bidimensionnelle présentée est faite en considérant la pression dans la cavité comme une inconnue du problême, la longueur de cavité étant alors imposée. Une autre façon de procéder est d'imposer la pression de cavité : pour ce faire il est alors nécessaire de faire jouer aux puits placés à l'arriêre de la cavité le rôle d'inconnues : cette méthode. ~9] donne la possibilité de raffi- ner la fermeture de cavité et permet donc de garantir une bonne adéquation aux résultats expérimentaux : elle présente cependant le désavantage de déstabiliser la procédure de calcul lorsqu'on veut 1 'étendre au cas tridimensionnel. Cette remarque justifie le choix de. la premiêre méthode exposée ci-aprês.

Po

CHAPITRE I FORMULATION DU PROBLEME

I.l - POSITION DU PROBLEME ET DEFINITIONS

L'aile (AB) considérée a une corde intrados L égale â 1 'unité, la corde extrados ayant une longueur inférieure ou égale

a

L . L'aile est placée sous une surface libre

a

une profondeur d'immersion h dans un écoulement bidimensionnel dont la vitesse

a

1 'infini amont est représentée par le vecteur ~ (Figure 1). L'angle d'incidence de l'aile par rapport

a

la vitesse ~est caractérisé par l'angle ~ que font les axes~ lié

a

l'aile et

6X

parallèle au vecteur~

y

( ~i)

Plan complexe

0

~

j

-

i Plan de la surface

-·--- ---.-...

--=---.,...-~ 0

... -.;..---...--__,..--4,_. __

libre au

h

- -

w

FIGURE 1

repos { S. L )

1 1 1 1 1 1 1 1

1

1

r

x

~---...1..0

*F c

1

Cette aile est suivie d¹une cavité constituée par les deux lignes libres (DA) et (BC) s•échappant toutes les deux desdeux points du bord de fuite A et B de 1¹aile (aile supercavitante à extrados mouillé). Il est généralement admis que les frontières limitant la poche de cavitation sont des lignes de courant à pression

-

constante. Les points C et D sont placés sur une même verticale parallèle à Oy, d•abscisse commune xF ; la longueur de cavité lcav est définie par la distance du point arrière intrados B à cette même verticale. Le segment vertical CD dont F est le milieu représente 1 •ouverture de 1 •arrière de cavité. Ce schéma de cavité quasi- fermée est nécessaire si on veut donner une bonne modélisation mathématique de 1 •é- coulement au voisinage de ces zones ; en effet si la cavité se fermait rigoureuse- ment, le point commun de fermeture serait un point de vitesse nulle (intersection de deux lignes de courant), ce qui est en contradiction avec le fait que la pression dans la cavité est constante.

La fermeture de la cavité est donc caractérisée par la dimension du seg- ment CD dont le centre F a une affixe notée zF

=

^{xF +} i yF • Nous désignons par

( S·L )

le plan moyen de la surface libre au repos.

Le contour (OABC) et la surface libre (

S·L)

délimitent le domaine fluide ( 2>e) ; 1•autre partie (:Di ) constitue le domaine intérieur.

I.2- HYPOTHESES ET EQUATIONS DE L¹ECOULEMENT Les hypothèses faites sont les suivantes (H 1) le fluide est parfait , isovolume

( H 2) ^1• écou 1 ement est i rrota ti on ne 1 et permanent

(H3) les forces de pesanteur ne sont pas prises en compte

(H 4) les déformations de la surface libre sont petites par rapport

à la profondeur d¹immersion.

Les hypothèses (H 1) et {H2) entra1nent immédiatement que le champ de

-

vi tes ses VM en un point M du f1 ui de dérive d • un potenti e 1 <:> M harmonique • La superposition du potentiel dQ à 1 •écoulement uniforme ~ et du potentiel de perturbation ~M dQ à la présence de 1 •aile nous permet d•ëcrire :

~M VM

-

^{: :} 1 1

v: va~/

¹

-

^x i ^T + ^cp VM ^{M ( 1, 1} ( 1,2) ^l

- -

^{( 1, 3)}

VM ^: grad M cpM

~M ^{(/lM :} 0 pour M E: (.1)e) ( 1,4)

!.3 - CONDITIONS AUX LIMITES - Condition sur 1 'aile

La condition de glissement sur l'aile (AB) donne une condition de type Neumann

-- ,-,--

(v·n ) M : - Val Ï•nM ME:(AB) ( 1, 5 l

- Conditions sur la cavité

Les conditions de pression constante et de glissement sur le contour (DA U BC) de la cavité conduisent aux deux équations suivantes :

ME:(OAUBC) pM : p eav

( 1,6) ( 1, 7)

Les hypothèses (H₁₎ et (H 2) permettent d'écrire 1 'équation de Bernoulli en tout point M de (tle) :

1 - 2

pM 1- p g ^y M "'" 2 p V M : ete ^{( i ,8 )} Equation qui peut s'écrire :

( 1, 9 )

Compte tenu de (1,9) et de 1 'hypothêse (H 3), et en introduisant le nombre de ventilation K, la condition (1,7) s'écrit

- 2 VM

--==2 Vœ--

= 1 + K M E: ( DA U BC ) ^{~ (1,10)}

En décomposant la vitesse

VM

suivant les vecteurs tangent

t;,

^{et nor-}

mal ~ de la cavite et en considérant (1,6} la condition (1,10} devient avec ^€M = ! 1

-

·Compte tenu de 1 •orientation de 1 'écoulement V~ nous devons satisfaire l'inégalité V~

·l>

⁰ ce qui donne E'M =signe

(f:

~).En introduisant (1,2), les conditions sur la cavité se résument ainsi

M E: ( DA U BC )

- Condition de surface libre

IV:I ( *'M~- l·tM

- lv-:1 ^T.n-M

(1,11) (1,12)

Sur celle-ci la pression est constante et égale

a

Po 1 'équation (1,8) donne donc :

= ete ( 1 ,13")

L'hypothèse (H 4) nous permet de satisfaire cette équation sur le plan de la surface libre au repos ( S·L) d'équation yM

=

^{0 ;} d'autre part en uti- lisant (1,2) et en négligeant le terme en ~² 1 'équation (1,13) donne la condi- tion de surface libre linéarisée et aplatie :

--

^{i • VM : 0 M E: (} S · l ) ( YM = 0 ) (1,14)

!.4 - CALCUL DE LA PRESSION ET DES EFFORTS

En utilisant l'équation (1,9), moyennant l'hypothèse (H 3), le coefficient de pression en un point quelconque du fluide s'écrit

·Cp =

M

-z

VM 1 - -

-z vr:tJ

( 1 '15)

La pression étant constante dans la cavité, 1 •action du fluide sur 1 'aile s'écrit

En remarquant que le culot de l'aile est rectiligne et que Pco est une constante, cette relation s'exprime en fonction du coefficient de pression et du nombre de ventilation :

F ~ ^dsM

1 -2

2 ^{pD vr:tJ}

En prenant la corde intrados L comme longueur de référence et en explicitant la seconde intégrale, nous obtenons

li BAli

L ^{( 1 116)}

I.S - FORMULATION

Le problème se réduit donc essentiellement â chercher le potentiel de per- turbation ~M satisfaisant l'équation de Laplace partout dans le domaine fluide ( ~e ) ainsi que les conditions aux limites examinées dans les paragraphes précé- dents ; en résumé le problème se traduit par l'ensemble des relations suivantes :

~M'PM: ⁰ partout dans ( ~ e )

(1,17)

(v·iilM = : : lM = -

IV: jï.

^{;M pour ME: (DA}

u

^AB

u ac

^l

(V.t)

^M = : ';

j

^{M = 1}

v:

^{1 ( E M}

^~

^{1 + K -}

^T

^·TM) pour ME: ( DA U BC) pour M E: ( S • L l

Dans ces relations D.M désigne l'opérateur laplacien scalaire. Aux relations (1,17) nous devons associer les conditions

a

1 'infini traduisant le fait que l'écoulement â 1 'infini s'identifie â l'écoulement uniforme_ V~ . Dans le re- père (Oxy) de la figure, 1, si (x,y) représente les coordonnées du point M, ces conditions se traduisent par :

lim v(x,o)

₌ -

0

1 x 1 - + 10

V

^{x lim}

v(

x 'y )

= 0

^(1,18)

y - - ¹⁰

Les relations (1,17) et (1,18) montrent que le problème ainsi posé corres- pond

a

un problème extérieur dont les conditions aux limites sont du type mixte.

L'une des méthodes bien adaptée

a

ce genre de problème est la méthode des singula- rités qui consiste â formuler le problème sous forme d'équations intégrales : cette étude est détaillée dans le chapitre suivant.

CHAPITRE II

EQUATIONS INTEGRALES OU. PROBLEME

II.l- ETUDE PRELIMINAIRE

Rappelons que la méthode des singularités ~7] consiste essentiellement

a

représenter les frontières de l'écoulement par des surfaces de discontinuités ma- thématiques cinématiquement équivalentes

a

celles-ci. L'idée sur laquelle elle est fondée est que puisque l'équation de Laplace est une équation linéaire, la fonction potentielle peut être considérée comme la somme de solutions élémentaires satisfai- sant individuellement 1 'équation de Làplace ainsi que les conditions

a

l'infini.

Ces potenti~ls élémentaires peuvent être engendrés par des singularités classiques de simple et de double couche. Ce résultat est directement lié

a

la formule de GREEN bidimensionnelle,

a

savoir :

f_ (

^{g1 dg2 -dn}

f

(2,1)

g₁ et g2 sont deux fonctions continues et admettent des dérivées partielles se- condes continues. ( ;/) ) est un domaine simplement connexe limité par la courbe ..

fermée

r_ -

de normale extérieure ~~ : le point W est un point courant de la courbe

r

ou du domaine ( !) )

-

Considérons alors le domaine ( tJ ) 1 imité par la courbe fermée orientée ( C ) et par le cercle

a

l'infini C00 • (Figure 2). Dans ce domaine ( :/)) nous consi- dérons la fonction potentielle au point M , épM ; par hypothêse 'PM satisfait

l'équation de Laplace.

Appliquant la relation (2,1) aux deux champs scalaires respe:;ifs 9₁

=

^$M

et g2 = log 1 M~1' ¹ et remarquant que la contribution du cercle C00 est nulle, nous obtenons

Pour M E: ( :b )

zp

M = 27T -1

1{

~M' ^{d;p 1 (2,2 )--}

c

---

~ ...

/ _~

/

_y

""'

/ \

1 - - - \

1

^{ny 0 i Courbe}

1

^orientée

^c \

1

-

_{t ...}

- _ca)

t

\ <c.,.J

^{t ..}

\ 1

\· 1

"" (ct> )

^•·M(z)

/

~ /

~ _~

---

_{FIGURE 2}

^-

-

En associant a. 1 a fonction potenti e 1

ép

M , 1 a fonction de courant lj! M , la relation équivalente a. (2,2) en formulation complexe s'écrit :

f(

^{Z ) = ';:pM -t- j ;; M}

1

f_(

^d

^{;p .}

^d

^~

^{) 1 - i ex M' 1 1}

i -. -

^{d z' ( 2 ' 3- )}

----=

₂^'77"

^d";

^-1~ M,log(z-z) e dz +

2^'77" (IJ!-tcp)Miw,

- -

c - c

Dans cette expression f est la fonction potentiel complexe, z désigne l'affice du point M, z' désigne l'affixe d'un point courant de la courbe

ë,

^O<M est 1 'angle orienté du vecteur tangent en M' a. la courbe

C:

avec le vecteur directeur de l'axe

ôX.

La relation (2,3) montre qu'en tout point M n'appartenant pas a. la courbe

ë:,

le potentiel complexe f(z) est généré par une répartition de simple couche :

d- d-

(J" M'- i y M'

= ( -a-; -

^{i ~ ) M'} et par une réparti ti on de doub 1 e couche :::::: ,...

- ,Lt.tM•+ ÎfLnM': ( '/!- ^icp)M,

La simple couche est donc relative aux singularités sources, tourbillons, la double couche aux singularités doublets tangentiels, doublets normaux.

Le point M n'appartenant pas

a

la courbe

ë:,

il est alors possible de dé- river par rapport

a

z les expressions analytiques apparaissant sous les signes inté- grales de 1 'expression {2,3) ; nous obtenons le champ de vitesse w(z) associé

a

la fonction potentiel f(z)

M).ë: W(z)= .s!!..(z)

-

1- dz

'1

J;

-ia< · dz' 1

i

^(-dz')

=-2 (O"M•-ÎYM')e M - - , + - 2 (-,u.t.+Î,U.n ,) 2 (2-.4)

.,. - z -z .,. - M M ( z -z')

c ' c -

L'expression ( 2,4) montre clairement que 1 ors que IZ 1- ^{a:) ,} 1 W ( z )

1-

⁰

ainsi nous avons pu construire par ce procédé un écoulement

a

potentiel satisfaisant les conditions

a

1 'infini (1,18).

Lorsque le point M vient sur la courbe

ë:

les noyaux des intégrales de 1 'expression (2,4) sont singuliers ; cette opération nécessite donc un passage

a

la limite. Le calcul montre qu'il y a une distinction à faire suivant que le point M est du cOté positif de la normale (MM+= ê iïM ' ^{ê -}

o·

ou du cOté négatif de cel le-ci (

MM-:-

^€ ~ € -

o+

(Figure 2).

Isolons alors le point M par un arc de courbe cCi supposé assez petit pour.qu'on puisse le considérer comme un segment dont M est le centre et sur lequel la densité de singularités: est constante.

Les intégrales curvilignes sur la courb~

ë:

peuvent ainsi s'écrire au point M appartenant

a

la courbe

ë::

i . ^{J_ -}

⁺

J_

C C - cd cd [

La première intégrale du second membre est notée

J ë

et s' appe 11 e intégrale secti année ;

/cd

représente 1 a con tri bu ti on du segment cd en son centre : cette contribution s'évalue par passage

a

la limite [cf Annexe

1].

Dans certains cas, la contribution de

Cd

comporte un terme inversement propor- tionnel à 1 'étendue de cëi et on retrouve le même avec le signe opposé dans

~ë

en rai son de l'effet des bords. Lorsque 1 cd 1 - 0, et en effectuant un regroupement des effets, HADAMARD

~7]

a introduit la notation

~-d

pour dési- gner la partie finie de l'intégrale impropre. Si la contribution de cd ne comporte c - pas de terme inversement proportionnel

a

l'étendue de

ëd,

la signification

de~~

est alors confondue avec lim

J:_

1

ëëi

1-

o Je

Désignons par 6:. sM 1 • étendue du segment e d ; en uti 1 i sant l'intégra 1 e sectionnée et les résultats de 1 'annexe 1, au point M(z) appartenant ~ la courbe

ë:,

l'application de la relation (2,4) donne la vitesse tangentielle et la vitesse norma-

- - - - - i ex -le en ce point :

(v·t)M! +i(v·n)M:

=

^{W(z:!:)e M}

1

i .

^{i ( o<- - ex .) dz'}

= - - ((:J" · - l y •)e M M - - +

217' M M z-z' -

ë

Y. + i(j

M M

2 ( 2,5) 1

1( . )

^{iexM (-dz')} (,u.tM"- i,u.nr) ( -4 )

-t- ~ :-,U. t M,+I,U. n M' e ( _{z -z} ')2 + 2 ^1T'

x;-

ë

M

Pour 1 'intégrale relative~ la double couche, l'expression (2,5) laisse apparaftre un terme proportionnel à

6

1 - ; une intégration par partie immédiate dans l'intégrale sectionnée

corresponda~~e

met en évidence le même terme avec le signe opposé et permet d'écrire la relation (2,5) sous la forme :

-- .-- 1i .

i(CXM-CXM') dz' YM+i(J"M ( v • t ) M +- + 1 ( v· n ) M:::

= - (

^{( j M'-1} y M') e ±

- 217' z-z' 2

( 2, 6)

ë

1

1

^{(-d,U.t . d,u.n ) j ( CXM-exM•) dz' - 1 ( d,u.n M} . d,u.tM-)

--- + - - - T l - - e - - + - + 1 -

217' _ ds ds M' z-z' 2 dsM dsM

c

Lorsque b:.sM-0 , on pourra donc écrire l'expression identique à (2,6) en remplaçant simplement dans celle-ci 1 'intégrale sectionnée ~ par 1 'intégrale d'HADAMARD

~.

Remarquons que nous retrouvons ici, les discontinuités classiques introduites par les divers types de singularités employés. Notamment l'expression (2,6) fait apparaftre les discontinuités de vitesse tangentielle et normale engen- drées respectivement par une distribution de doublets normaux et de doublets tangen- tiels. Nous verrons lors de la résolution discrête, 1 'utilité de l'intégrale sec- tionnée.

Notons que la relation (2,3) est relative au potentiel

T

définit dans le domaine ( t) ) ; considérons alors le domaine complémentaire de ( ::>) que nous notons (

t:t)

(partie hachurée de 1 a fi gu re 2) . Dans ( ~·) choisissons une fonc- tion complexe arbitraire f*'

=

^{ép*' + i \ji*} mais holomorphe dans ce domaine.

L'application de la relation (2,1) avec g₁ = '<P* , g₂ =log ¹

MM'I , (

J:J*) donnera pour un point M de(~*) une relation analogue à (2,3). Par contre pour un point M de ( ZJ ) cette même relation s'écrit :

Pour M E: ( :/::; ) :

1( ^{d-. d-)} 1

1 cp . c.p*' • -iex · • 1 -... ... dz'

0 = - - - 1 - - log ( z -z ) e M dz - - (\fi - 1c.p*') , - ,

217' . dn ds M' 217' M z-z

ë . ë

( 2, 7)

Supperposant les relations (2,3) et (2,7) nous avons :

Pour M E: ( i) ) •

- 1

1

^{-iO<' 1}

1

^dz'

f ( z) = ₂., _PM' log ( z - z' l e M dz' + 2., _ TJM· z _ z'

c c

( 2 ,8) ---

Dans cette expression PM' et TJ M' désigne respectivement les densités de simple couche et de double couche définies par :

-

PM'= ( dép - dép*

ds

~)M.

-

^{... )}

- <p M'

(2,9)

{

^{TJ M' =}

Le potenti e 1 f* étant défi ni d • une façon arbitrai re dans ( 1)"') 1 es

relations {2,8) et {2,9) montrent explicitement qu'il n'y a pas unicité de la répar- tition de singularités dans la création d'un même potentiel f défini dans ( ~) . Nous mettons â profit cette propriété pour le choix de la nature des singularités

â employer

[18}.

II.2- GENERATION OU CHAMP DES VITESSES

Considérons momentanément le problème en milieu infini ; dans ce cas les frontières de 1 'écoulement sont représentées uniquement par le contour {OABC). Comme les données aux limites concernent la vitesse tangentielle

\i·t

sur la cavité, la

...

^~

vitesse nonnale v · n sur 1 'aile, le champ de vitesse complexe W(z) au point M d'affixe z est engendré par :

1) Une répartition de doublets tangentiels sur la cavité (DA UBC) de densité P.. tM'

2) Une répartition de sources sur 1 'aile (AB) de densité ^~M'

3) Une répartition de tourbillons sur l'aile (AB) de densité Y'M' celle-ci ayant pour but de créer l'effet de portance

4) Plus un puits ponctuel QF placé en F milieu du segment CD : son rOle étant d'assurer la nullité du débit de fluide â l'intérieur du contour

{DABC).

Le champ de vitesse ainsi créé en un point M.(z) n'appartenant pas au contour (DABC) s'écrit d'après (2,4) :

___ w_ ( z_)

=-

-¹

f

(~.-iy.)e -icx ' dz' M _

2 7r M M Z-z'

1

J

^{dz' QF}

+ 2., P.tM• ( z -z')z+ ~ ^{-z----z-F-1 ( 2 '10)}

(AB) ( DA U SC)

Lorsque M vient sur le contour (DABC), nous le considérons comme apparte- nant au domaine fluide ( ^~e) et infiniment voisin de ce contour (cf. Figure 1). Dans les notations du paragraphe II.1 ce point correspond au point M+. En utilisant alors les relations (2,5) et (2,6), 1 'évaluation de la vitesse tangentielle et normale en un point M+ de (DABC) se formule comme suit :

(2,11)-

Pour M E: ( DA U BC )

- iat

W { z) e . M= ^-1

f< . )

^{a- ,- 1 ,} e ⁱ (cxM-CXM•) - dz' + - -1

f

^{e icxM dz'} --

2..,. M YM z-z' 2-rr fLtM' (z -z')z

(AB) (DA,BC)

2 t'tM dfLtM + QF eiCXM

7r ~SM 2 ^dSM 2 7r Z -zF ( 2 ^t 12)

En utilisant la condition (1,14) l'introduction de la surface libre ne présente pas de difficultés : celle-ci est rendue possible grâce à la méthode des images (cf Annexe 2), qui consiste à associer à la distribution des singularités répartie sur le contour (DABC), une distribution adéquate répartie sur le contour symétrique par rapport à l'axe

OX,

(D'A'B'C') (Figure 3).

y

D' w'

val -·

( ~e) - 0

- - -

D

( a7Si)

FIGURE 3

x

Dans notre cas, la vitesse·complexe associée est :

::::

w (

^z)

_{= - -}

¹

f _-

(O"'M'"'" ÎyM•) e Î<X ' ï Mdz - 1 - -1

f

- fLt ^dÏ' - - ^QF

2rr z-z' 27T M'(z-z')z 27T

1 ( 2, 13·)

(AB) (DA,BC) .

L'écoulement en présence de la surface libre est donc équivalent à l'écou-

1 erne nt en mi 1 i eu infini de domaine ( 1) e ) dont 1 es frontières sont 1 es deux contours (DABC) et (D'A'B'C'). En un point M n'appartenant pas aux contours, la vitesse com- plexe s'écrit alors :

-

^::::

W (z)

=

^{W (z) +}

^{w (}

^z)

-

^::::

W étant donné par (2,10) , W par (2,13).

Le champ de vitesse complexe VV ainsi construit assure donc la vérifi- cation de 1 'équation de Laplace relative à la fonction potentiel dans (

dDe)

(rela- tion (1,4) ), la condition de surface libre (relation (1,14) ) et les conditions à

l'infini (relation ( 1,18)).

::::

Lorsque le point M vient sur le contour (DABC) le champ VV(z) est parfai- tement défini, car dans ce cas le point courant des intégrales qui le constituent se déplace sur le contour symétrique (D'A'B'C') ; en ce point nous pouvons donc écrire les relations analogues à (2,11) et (2,12) que nous résumons par l'expression suivante :

= ^{W(z)e Î<XM +W(z)e :::: Î<X M} Pour M E: (.DA BC) _{( 2' 14)}

:::: - i~

Dans l'expression (2,14), W(z) est donné par la relation (2,13), W(z)e M

est donné par la relation (2,11) si le point M appartient ^à l'aile (AB), par la relation (2,12) si le point M appartient à la cavité (DA U BC).

Dans ces expressions, l'intensité du puits QF n'est pas indépendante de la distribution de sources O"'M' , en effet, le débit du fluide intérieur au contour devant être nul, il faut que

a. ^{= -} f ""•'

^{ds ••}

(AB)

( 2,15)

Nous avons des conditions de continuité à satisfaire aux points A et B à la frontière aile-cavité ; ces conditions se traduisent par :

( 2,19)

( 2,20)

t le non contournementdu fluide aux points A et B, ce qui implique :

'Y _

0 . lorsque M-A ( 2, 16 )

M et M- B

t il faut d'autre part assurer en ces points la sortie tangentielle du fluide à l'aile, c'est-à-dire

(v· '11)

A ⁼

- -

^V(IJ·nA

-

^(2,17)

<7·iîlB ⁼

-

v(IJ·nB (2,18)

~ et ~ désignant respectivement les normales extérieures au contour (DABC) aux points A et B.

II.3 -EQUATIONS INTEGRALES

En utilisant les expressions (2,11), (2,12) et (2,14) la réalisation des conditions aux limites (1,5) et (1,11) conduit ainsi aux deux équations :

lf {

1.f( , )

Î(O<M-Q(M,) dz'

1 f

eÎ<XMdz' QF eÎO<M

<.Jm - · ( j , - I V , e - + - - ^LL + - - - -

-2.,r- M 'M z-z' 27T rtM' (z-z') 2 27T z-zF

(AB) .. (DA,BC)

+

~

^{l z 1 e1}" ' • } -t- ; • = - 1

V:,

¹

Ï·.n:

^{Pour ME:( AB)}

J

¹

f( , -)

Î(O<M-()(M,) dz' 1

f

eiO<Mdz' QF ei<XM jte r-27T IJM,-I'YM' e z-z'-;- 27T fLtM' (z-z')2+ 27T z-zF

(AB) (DA,BC)

+

W (

^{z) e i} <XM } - ._S

~tM

^{. = 1}

V:

^{1 ( E M}

{1:K-

^Ï:

t:)

Pour ME: ( DAU BC ) 7T ^~SM

Remarquons que dans les deux équations (2,19) et (2,20), si le contour (AB) de l'aile est parfaitement défini, celui de la cavité (DA

u

BC) est une inconnue du problème ; or la résolution de ces équations nécessite la connaissance de cette géométrie.

Dans un premier temps nous supposons que la forme de cavité est connue ; alors toutes les grandeurs relatives à la géométrie du contour (DABC) sont connues et les inconnues du problème deviennent :

t la distribution superficielle de sources IJM' sur (AB)

~ la distribution superficielle de tourbillons 'YM' sur (AB)

~ la distribution superficielle de doublets tangentiels fLt ,sur (DA u BC)

~

la quantitê

X=~

^M

cêde

l'intensité du puits QF n'étant pas une inconnue grace

a

la relation (2,15).

Les équations permettant de résoudre le problême sont d'aprês ce qui pré-

~ 1 'équation (2,19) pour M ~ (AB) qui traduit la condition de glissement sur 1 'aile

~ l'équation (2,20) pour M ~(DA U BC) qui traduit la condition de pression sur la cavité

~ les équations (2,17) et (2,18) traduisent la sortie tangentielle du fluide aux points A et B de 1 'aile

• les conditions (2,16) traduisant le non contournement du fluide aux points

A et B.

Ces considérations montrent que la résolution du problême nécessite une modification des inconnues ; pour cel!, utilisant le fait qu'il n'y- a pas unicité de la répartition des singularités dans la création d'un même potentiel (cf§ II.1), il nous est permis de faire un choix sur la distribution de tourbillons

Prenons alors une loi du type

( 2' 21 )

f ( sM') étant une fonction de l'abscisse curvi 1 igne respectant f (sA )

=

f ( s 8 )

=

0;

dans ce cas les conditions (2,16) sont automatiquement satisfaites, la distribution YM' se réduisant à la seule inconnue y•.

Utilisant alors les relations (2,15, (2,21), (2,11), (2,12), (2,13), nous pouvons donner une autre expression de (2,14), à savoir:

Pour M~(AB)

1

f [- :::::::: - -]

=

2^{'7T o-M' H}5(z,z')dz'+H5^(z,z')dz'

- (AB)

[

i

~s<

^{z l}

J

T O"'M

2

+ 2 ^'7T

( 2,22}

(^~.... ' ._...,.

-V • t ) --+-1-(-V ' n )

M M

+

2

¹

^;f~-'t .. ^[H

⁰(z,z'ldz'+H₀(z,Z'ldZ'] +

y•[ ^f(~•l

+<i>1T(zl]

Pour M~ ( DA U SC) (DA • SC) ___________________ _

(V-"fl • _,. ⁱ (V·

iil•

=

2

1_,; J ^O'.,[H

⁵ (z ,z'l dz' + H₅ ( z ,Z'l ctZ']

(AB)

1

f ["" , :::::::: - -] [

²

^{~ 0 (z)J}

^{i dfLtM} ... ""

+ 2.:,: f-LtM. Ho ( z,z ) .dz' +Ho ( z,z') dz' + f-LtM - 7T.6.sM + 2 7T --...

2

^dsM +Y 'ir'zT(zl (2,23)

(DA,BC)