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THÈSE
pour obtenir legrade de
Doteur de Grenoble INP
Spéialité :Mathématiques et Informatique
préparée aulaboratoireJean Kuntzmann
dans le adre de l'Éole Dotorale Mathématiques, Sienes et Tehnologies
de l'Information, Informatique
présentée et soutenue publiquement
par
Mathieu Coquerelle
le
Titre:
Calul d'interation uide-struture par méthode de vortex
et appliation en synthèse d'images
Diretrie de thèse: Marie-Paule Cani
Direteur de thèse:Georges-Henri Cottet
Jury
Mme. Valérie Perrier, Présidentedu jury
M. Bertrand Maury, Rapporteur
M. Jean-MihelDishler, Rapporteur
M. Antonio Susín Sánhez, Examinateur
Mme. Marie-Paule Cani, Diretriede thèse
M. Georges-Henri Cottet, Direteurde thèse
25 septembre 2008
Table des matières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
I Introdution 1 II De la simulation de uides et de ses appliations en synthèse d'images 9 1 Modèles d'éoulements et résolution numérique 11 1 Préambule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Modèle d'éoulement :formulationvitesse . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1 Équation de Navier-Stokes ompressible . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Équation de Navier-Stokes inompressible . . . . . . . . . . . 14
2.3 Vortiité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Préisions sur les diérents termes de l'équation de Navier- Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5 Conditions auxlimites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Modèle d'éoulement inompressible: formulationvortiité . . . . . . 20
3.1 Préambule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 Dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 Calulde lavitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4 Cas partiulier : 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4 Résolution des équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.1 Disrétisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2 Eulerienvs. Lagrangien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.3 ÉquationdeNavier-Stokes:formulationvitesse parméthodes de type diérenes nies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.4 ÉquationdeNavier-Stokesenformulationvitesseparméthode partiulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.5 Équations de Navier-Stokes en formulationvortiité et parti- ules Lagrangiennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.6 Équationde Navier-Stokesen formulationvortiité:méthode hybride partiules/grille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5 Méthodes pour la simulation de uides inompressibles en synthèse
d'images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.1 Formulationvitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.2 Méthode de typeALE et maillagesdynamiques . . . . . . . . 51
5.3 Formulationvitesse par méthode partiulaire. . . . . . . . . . 52
5.4 Méthodes de vortex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6 Bilan du hapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2 Modèlesdeuidesmultiphasiquesinompressiblesettransportd'in- terfae 59 1 Fluidesmultiphasiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1.1 Préambule/Dénition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1.2 Équations de Navier-Stokesen densité et visosité variable . . 60
1.3 Approximation de Boussinesq . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
1.4 Tension de surfae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2 Transportd'interfae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.1 Néessité de méthodes pour le transportd'interfae . . . . . . 64
2.2 Deux méthodes de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3 Transportd'interfae etuides multiphasiques en synthèse d'images . 70 3.1 Fluides multiphasiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.2 Méthodes pour letransport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4 Bilan du hapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3 Couplage uide-struture 81 1 Introdution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2 Strutures immergées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.1 Solide rigide àmouvementimposé . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.2 Membranes élastiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.3 Solide rigide :ouplage uide-strutureen formulation vitesse 91 3 Interations uide-struture en synthèse d'images . . . . . . . . . . . 93
3.1 Méthode ALE et maillagesdynamiques . . . . . . . . . . . . . 94
3.2 RigidFluids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.3 Solides déformables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.4 Vortex : méthode des panneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4 Bilan du hapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
III Méthodedevortiité pourle ouplageuide-struture 99 4 Méthode de vortiité pour la simulation de uides 101 1 Fluidemonophasique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
1.1 Préambule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
1.2 Rappeldes équationset des méthodes de résolution . . . . . . 101
1.3 Calul de la vitesse etéquation de transport . . . . . . . . . . 103
1.4 Méthodes de remaillageetfontions d'interpolation . . . . . . 112
1.5 Diusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
1.6 Appliation:simulationde fumée . . . . . . . . . . . . . . . . 116
2 Fluide à densitévariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2.1 Préambule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2.2 Reformulationde l'équation de vortiité . . . . . . . . . . . . 125
2.3 Transport de l'interfae par levelset . . . . . . . . . . . . . . 127
2.4 Appliation:simulationde uide biphasique . . . . . . . . . . 131
3 Bilan du hapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5 Couplage uide-struture pour les méthodes vortex 137 1 Introdution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
2 Modèle d'interation uide-soliderigide en formulationvortex . . . . 138
2.1 Présentation du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
2.2 Résolutiondes équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
2.3 Validation numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
2.4 Appliations en synthèse d'images . . . . . . . . . . . . . . . . 151
3 Modèle de ollision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
3.1 Dénitiondu modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
3.2 Remarquessur ladisrétisation . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
3.3 Appliations numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
4 Solides à membranes élastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
4.1 Problématique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
4.2 Approhe adoptée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
4.3 Disussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5 Bilan du hapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
IV Conlusion 175 A Compléments mathématiques 183 1 Leture du doument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
1.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
2 Outils mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
2.1 Numérique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
2.2 Shémas d'intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
2.3 Equation de lahaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
3 Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
3.1 Développement limité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Bibliographie 191
Introdution
jemesuisintéresséàlareprésentationdel'éoulementdeesderniersenformulation
vortex(ou tourbillon),pointdevuealternatifauxméthodes plustraditionnelles
orientées autour de aluls sur la vitesse; je reviendrai sur e hoix dans la suite
de e hapitre. Je me suis spéialement intéressé à l'interation de uides et de
strutures telles que des solides rigides etdes membranes élastiques, dans l'optique
d'appliationsdans le domainede la synthèse d'images.
De la néessité de simuler des uides
Les uides qu'ils soient liquides ou gazeux ont toujours été d'un intérêt
primordialpour l'Homme, ar ils onstituent une partie indispensable de son envi-
ronnement:l'airetl'eausontlesélémentsnéessairesàlasurvie.Dèsledébutdeson
histoire,l'Hommeaherhéàmieuxomprendreetàmaîtriseres élémentsquisont
bienplus omplexesetimprévisibles quelesobjetssolidesdontleomportementest
plus intuitif.Pour laonsommation,l'agriulture, l'hygiène etl'énergie, l'Homme a
eu besoinde développerl'hydrodynamiqueetdes tehnologiesablesan d'ahemi-
nerl'eauversleslieuxdevieoudeulture:l'irrigationilyaplusde8000ansenAsie,
l'aquedu(dans lequell'eau est aheminée sur plusieursentainesde kilomètres)au
début de l'empire Romain et le moulin (à eau ou à vent) ont été des avanements
signiatifsdans lamaîtrise des liquides. L'essor des liens ommeriaux aamené le
développement de la navigation qui a néessité la ompréhension des phénomènes
physiquesliésà lapousséed'Arhimèdemais aussi des fores exeréessur unevoile
permettant de faire avaner le navire. Plus réemment, ave l'avènement de l'aéro-
nautique s'est développée l'étude plus systématique des omportements physiques
liésàl'interationentrelesuidesetlessolides.Aujourd'hui,l'outilinformatiqueest
de plus en plus utilisé pour simuler les phénomènes physiques, ar il permet de ré-
duirelesoûtsimputésauxexpérimentations,dans lebut,par exemple,d'optimiser
laformed'uneailed'avionvialamodélisationdesphénomènesphysiques.Demême,
laprévisiondes phénomènes météorologiquesdemandelealul intensifde ladyna-
mique de l'atmosphère etdes oéans an de simuler le plus préisémment possible
la physique. L'étude des uides et la reherhe de nouvelles tehniques a don été
et est toujours d'une importaneapitale voire vitale pour ledéveloppement
de l'Homme.
L'étude mathématique du omportement des uides a été initiée il y a 300 ans
environ. Historiquement les premiers travaux sur les équations dérivant la dyna-
miquedesuidesontétéeetuésparLeonhardEulersurlesuidesparfaits(inom-
pressibles et non visqueux), basés sur leséquations fondamentales de la dynamique
d'Isaa Newton. Le prinipe est la onservation de la quantité de mouvement, qui
faitintervenirlavitesseduuide.ClaudeNavieretGeorgeStokessesontparlasuite
intéressés à la ompressibilité des uides ainsi qu'aux phénomènes de visosité. De
leurs travaux sont issues leséquations de Navier-Stokes (f.hapitre 1)aujourd'hui
uide,uneéhelle asseznedoitêtre onsidérée,enfontiondu problèmeétudié.La
résolution de es équations néessite don une forte puissane de alul, 'est pour-
quoi aujourd'hui enore de nombreux travaux ontinuent à améliorer la préision
ainsi quela rapiditédes aluls.Lehamp d'appliationsdans lareherhe aussi
bien quedans l'industrieoùsontnéessaires une résolutionpréise deséquations
est très vaste : par exemple la météorologie, les hantiers navals, l'aérodynamisme
(pour les avions et les voitures), l'énergie(pour les barages, éoliennes), l'astrophy-
sique (pour le mouvement d'amas stélaires) et même en biologie (pour l'étude du
omportementdes ellules,de l'éoulementsanguin).Lestehniquesdéveloppées ré-
emmentpour lealuld'interationentre unuideetdesobjetsrigidespermettent
aujourd'hui de aluler eaement etpréisémentl'éoulementautour d'obstales
deformequelonque,toutenonsidérantlesforeshydrodynamiquesappliquéesaux
solides.
D'unpoint de vueplus esthétique, les uidesont toujoursété aptivantsdu fait
de leur omplexitédynamique,ommeparexemple lafumées'éhapant d'unfeu ou
lesélaboussuresprojetéespar l'éoulementd'unliquiderenontrantrapidementun
obstale. C'estdon toutnaturellementquelaommunautéde lasynthèse d'images
s'est intéressée àlamodélisationdees phénomènes. Audépart,lesméthodes issues
des mathématiques appliquées étaient trop prohibitives en temps de alul. Elles
étaientégalementonsidérées ommetrès peu intuitivespour lesartistessouhaitant
intégrer es phénomènes dans leurs animations. En eet, le fait qu'un uide soit
diilement ontrlable (à la diérene du mouvement d'un personnage artiulé
par exemple) demande une ertaine maîtrisede la physique sous-jaente pour bien
hoisirles paramètresen fontionde l'eet visueldésiré, etainsi un nombre impor-
tant d'aller-retours est néessaire an d'obtenir un résultat nal satisfaisant.Cette
dernière déennie, ledéveloppementde méthodes rapidesetadaptées s'éloignant
parfois un peu de la résolution rigoureuse des équations d'éoulement du uide
onjointement à elui de mahines plus performantes, a permis d'intégrer es phé-
nomènes physiques omplexes dans le domaine an d'introduire des liquides (eau,
huîle) etdes gaz (pour lafumée) dans les jeux vidéos et leslms d'animation.
Que elasoit dansle domainedes mathématiquesappliquées ouelui de lasyn-
thèse d'images, lasimulationde uides,et plus partiulièrement l'interation de e
dernier ave des objets rigides ou déformables, est un problème très étudié du fait
des nombreuses appliations existantes dans l'industrie. La demande de méthodes
préises et performantes permettant la simulation de phénomènes omplexes fait
qu'aujourd'hui de nombreux travaux de reherhes ontinuent à faire progresser la
réponse à un problème vieux de plusieurssièles.
Commeje l'aiévoquépréédemment,lasimulationdeuideest unequestionqui
aétéetestenoreaujourd'huitrèsétudiée.Laomplexitédesphénomènesphysiques
apparaissantdansl'éoulementd'unuidenéessiteunedisrétisationimportantede
l'espaean de apturer au mieux la dynamiquedu uide, notamment en présene
d'obstales et/ou de fortes turbulenes. De plus, les équations à résoudre sont elles
même diilesar elles sont non linéaires.De es deux diultés émergele besoin
dedévelopperdes méthodesstableseteaes ande résoudreleséquationsleplus
rapidementpossible,touten onservantlapréision,primordialedanslaplupartdes
appliations industrielles. Dans le domaine de la synthèse d'images, les tehniques
d'animationde uidesdéveloppées initialementontsouventmisentre parenthèsesla
rigueurdanslarésolution de ladynamiquepour favoriser lasimpliitéd'intégration
dans un programme et de manipulationdu uide, ainsi qued'augmenter la élérité
du temps de alul, ritère important pour l'animateur. Dernièrement, ave l'avé-
nementde mahines plus puissantes, lestravaux sesontrefoaliséssur larésolution
plus préisedes équations, en mettantl'aentsur l'aspet loalisé des phénomènes
visibles en appliquant des tehniques de type hiérarhiques et/ou adaptatifs four-
nissent un moyen de gagnerdu temps en seonentrant sur lesrégionsturbulentes,
oùlapréisionest requise.Aussi,desméthodesde typehybrideEulerien-Lagrangien
sontaujourd'huisouvent adoptées an de palierertaines diultés lors de laréso-
lution des équations.
La manièredontsont résolues leséquations est le pointlef de laréussite d'une
méthode. Pluspréisément,danslepointdevueadoptépour larésolutionde elles-
i, qu'il soit Lagrangien quand on suit une partiule du uide, Eulerien quand on
s'intéresse à lavitesse en un point xe, oubien hybride, la disrétisation des équa-
tionsvainduiredes erreursetimposerdesontraintesspéiques.EnLagrangien,le
maillagesous-jaentissu de ladisrétisationdes équations vadevenir très irrégulier
lors de fortes déformations dûes à l'aspet turbulent du uide. Les aluls seront
alors moinspréis. Pour lepointde vue Eulerien,larésolution des équationsse fait
sur un maillage simple et xe, e qui simplie généralement la plupart des aluls,
mais,par exemple,l'équationde transportde lavitesse (f.premierhapitre)etdes
quantités onvetées par leuidesont soumisesàune ontraintede stabilitéimpor-
tantesurlepasdetempsetdemandel'utilisationde méthodesadaptéespourtraîter
le terme non linéaire de l'équationde onservation de quantité de mouvement. Les
méthodes de type hybride omme les méthodes Arbitrary Lagrangian-Eulerian
permettentquant-àellesde palieren partieleproblème dedistortiondemaillage
desméthodes Lagrangiennesenadaptantlarésolutiondeséquationssurunmaillage
struturésedéformantave leuide.Cestehniques sont partiulièrementadaptées
au problème d'interation uide-struture. Seulement elles-i restent, en pratique,
diiles à mettre en oeuvre, surtout en présene d'obstales à forme omplexe,
du fait de la néessité de générer et onserver un maillage ouvrant orretement
l'espae. Le hoix du type de disrétisation inue don de manière majeure sur la
résolutiondes équationsetpose enonséquene desproblèmes partiuliersàhaque
