∑ Statique - Application Analytique

Statique - Application Analytique

Mécanique ^Synthèse

1 Théorèmes :

1.1 Principe fondamental de la statique (PFS) :

Un système matériel (S) est en équilibre par rapport à un repère galiléen si et seulement si la somme des actions mécaniques (AM) extérieures appliquées au système matériel (S) est nulle.

Traduction torsorielle :

{

/

} { } = ⁰

∑

^M

^τ

^{ext s} la somme des torseurs d’AM extérieure au solide S appliqués au même point M est égale au torseur nul.

1.2 Actions mécaniques réciproques : Toute AM implique l’existence d’une autre AM qui aura :

• Même norme,

• Même direction

• Sens contraire

1.3 Simplification plane des problèmes de statique :

Afin de simplifier un problème dans un plan d’étude, les deux conditions suivantes doivent être remplies :

• Symétrie géométrique par rapport à un plan,

• Symétrie des AM par rapport à un plan,

Dans ce cas précis, pour chaque torseur d’AM, on pourra :

• Supprimer la composante de résultante hors du plan

• Supprimer les composantes de moment sur le plan Exemple :

On simplifie le torseur d’AM suivant dans les plans

( x , y )

^,

( x , z )

^et

( y , z )

^.

Torseur d’origine Simplifié sur ) , (x y

Simplifié sur ) , (xz

Simplifié sur ) , (yz

{ }

M R M

M M

M M

M Z N

M Y

L X

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

12 12

12 12

12 12 2 /

τ

1

M R M

M

M N

Y X

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

12 12

12

0 0 0

M R M M

M Z M X

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

0 0

0

12 12 12

M R M

M

M Z Y

L

⎪ ⎭

⎪ ⎬

⎫

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

0 0 0

12 12

12

2 Problème corrigé :

2.1 Enoncé :

On donne la schématisation du mécanisme ci-dessous.

On suppose que la pièce à usiner exerce un effort de 2500 N sur le levier 4.

Le diamètre du piston 3 est de Ø3 = 52 mm.

Le système est plan

( x , y )

On veut déterminer la pression hydraulique sur le piston 3.

2.2 Stratégie :

• Isoler le levier 4 pour déterminer l’action mécanique 3/4 en B,

• Isoler le piston 3 pour déterminer l’action fluide/3 en E,

• Déterminer la pression hydraulique.

2.3 On isole le levier 4 :

2.3.1 Bilan d’Actions Mécaniques Extérieures (BAME) :

• En D, liaison ponctuelle de normale

( D , y )

entre pièce et 4 :

{ }

R Dp D

p Y

⎪ ⎭

⎪ ⎬

⎫

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

=

0 0

0 0 0

4 4

τ

/ d’après énoncé,

{ }

R D

p

⎪ ⎭

⎪ ⎬

⎫

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

=

0 0

0 2500

0 0

4

τ

/

• En C, liaison pivot d’axe

( C , z )

entre 0 et 4 :

{ }

C R C C

C C

C Z M Y

L X

⎪ ⎭

⎪ ⎬

⎫

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

=

04 0

04 04

04 04 4 /

τ

0 après simplification

( x , y )

^,

{ }

R C

C

C

Y X

⎪ ⎭

⎪ ⎬

⎫

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

=

0 0

0 0

04 04 4 /

τ

0

• En B, liaison ponctuelle de normale

( B , y )

entre 3 et 4 :

{ }

R B B

Y

⎪ ⎭

⎪ ⎬

⎫

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

=

0 0

0 0 0

34 4 /

τ

3

2.3.2 Déplacement de tous les torseurs au même point :

On choisit toujours le point qui possède le plus d’inconnue dans le BAME. Ici, il s’agit du point C.

• Déplacement de

{ } τ

p/4 de D en C (moyen mnémotechnique : « BABAR ») :

{ }

p R p

D p C

p C

p R D

p D

p

M M CD R

R M

R

⎪⎭

⎪ ⎬

⎫

⎪⎩

⎪ ⎨

⎧

× +

= =

⎪⎭

⎪ ⎬

⎫

⎪⎩

⎪ ⎨

= ⎧

4 / 4

/ , 4 / ,

4 / 4

/ ,

4 / 4

τ

/ Donc :

{ }

R C

p

⎪

⎭

⎪ ⎬

⎫

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

−

=

5 . 117 0

0 2500

0 0

4

τ

/

• Déplacement de

{ } τ

3/4 de B en C (moyen mnémotechnique : « BABAR ») :

{ }

p R B C C

B R

B

M M CB R

R M

R

⎪⎭

⎪ ⎬

⎫

⎪⎩

⎪ ⎨

⎧

× +

= =

⎪⎭

⎪ ⎬

⎫

⎪⎩

⎪ ⎨

= ⎧

4 / 3 4 / , 4 / 3 ,

4 / 3 4

/ 3 ,

4 / 3 4 /

τ

3 Donc :

{ }

B R B

C

Y

Y ⎪ ⎭

⎪ ⎬

⎫

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

×

×

=

− 34 3 34

4 / 3

10 53 0

0 0 0

τ

2.3.3 PFS sur 4 isolé :

A l’équilibre, la somme des AME sur 4 est nulle.

{

_/4

} { } =

0

∑

^C

^τ

^{ext , donc} _C

^{{ }} τ

3/4

+

_C

{ } τ

_p/4

+

_C

{ } { } τ

0/4

= ⁰

• Théorème de la résultante :

∑ ^R

^ext/4

^{= 0}

^donc

^R

^3/4

^{+ R}

^p/4

^{+ R}

^0/4

^{= 0}

Sur x : XC04 + 0 + 0 = 0 Sur y : YB34 + 2500 + YC04 = 0

Sur z : Equation nulle, car simplification dans le plan (x,y).

• Théorème du moment :

∑ ^M

^c,ext/4

^{= 0}

^donc

4

0

/ 0 , 4 / , 4 / 3

,

+

_Cp

+

_C

=

C

M M

M

Sur x : Equation nulle, car simplification dans le plan (x,y).

Sur y : Equation nulle, car simplification dans le plan (x,y).

Sur z : 53 x 10^-3 x YB34 – 117.5 + 0 = 0 2.3.4 Equations et résolution :

Le PFS nous donne donc le système d’équation :

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

=

−

×

×

= + +

=

−

117 . 5 0

10 53

0 2500

0

34 3

04 34

04

B C B

C

Y Y Y

X

qui comporte 3 équations et 3 inconnues, donc soluble.

Résolution :

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

−

=

=

= 4717 2217

0

04 34

04

C B

C

Y Y

X

2.4 On isole le piston 3 :

On procède de la même manière pour l’étude statique du piston 3.

Le PFS nous donne donc le système d’équation :

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

=

= +

=

0 0 0

03 3 43

03

A Ef B

A

N Y Y

X

en remarquant que YB43 = - YB34 = - 2217,

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

=

= +

−

=

0 0 2217

0

03 3 03

A Ef A

N Y X

Résolution :

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

=

=

= 0 2217

0

03 3

03

A Ef

A

N Y

X

2.5 Détermination de la pression hydraulique : On utilise la relation F = p.S

Après application à notre cas,

. 4

2 3 3 /

p πφ E

_fluide

=

^avec

0 2217 0

3 3

/ _Ef

=

fluide

Y E

Donc :

2 3

3

4

/

πφ

fluide

E p

= ×

Après application numérique,

( 52 10 ) ^{1044454 pa 10,4 bar}

2217 4

3 2

= =

×

= × π

−

p

4 0

Piston 3

x y

A B C

D

E Pièce

0 53 47 CD−

− 0

7 53 CB−

en mm

1 2

A

2/1 A

A

1/2

A

1/2

= - A

2/1