∑ ∑ Statique - Application Analytique

Statique - Application Analytique

Mécanique ^Synthèse

1 Théorèmes :

1.1 Principe fondamental de la statique (PFS) :

Un système matériel (S) est en équilibre par rapport à un repère galiléen si et seulement si la somme des actions mécaniques (AM) extérieures appliquées au système matériel (S) est nulle.

Traduction vectorielle :

∑ ^R

^ext/S

^{= 0}

la somme des résultantes d’AM extérieure au solide S est nulle.

∑ ^M

^B,ext/S

^{= 0}

la somme des moment d’AM extérieure au solide S appliqués au même point quelconque B est nulle.

1.2 Actions mécaniques réciproques : Toute AM implique l’existence d’une autre AM qui aura :

• Même norme,

• Même direction

• Sens contraire

1.3 Simplification plane des problèmes de statique :

Afin de simplifier un problème dans un plan d’étude, les deux conditions suivantes doivent être remplies :

• Symétrie géométrique par rapport à un plan,

• Symétrie des AM par rapport à un plan,

Dans ce cas précis, pour chaque torseur d’AM, on pourra :

• Supprimer la composante de résultante hors du plan

• Supprimer les composantes de moment sur le plan Exemple :

On simplifie les AM suivantes dans les plans

( x , y )

^,

( x , z )

^et

( y , z )

^.

AM d’origine Simplifiée sur ) , (x y

Simplifiée sur ) , (xz

Simplifiée sur ) , (yz

12 12 12 2 / 1 , 12 12 12 2 /

1 ;

M M M M M M M

N M L M Z Y X R

12 12

12

0 0

;

0 _M

M M

N Y X

0 0

;

0 ₁₂

12 12

M M

M

M Z

X

0 0

;

0 ₁₂

12 12

M

M M

L

Z Y

2 Problème corrigé :

2.1 Enoncé :

On donne la schématisation du mécanisme ci-dessous.

On suppose que la pièce à usiner exerce un effort de 2500 N sur le levier 4.

Le diamètre du piston 3 est de Ø3 = 52 mm.

Le système est plan

( x , y )

On veut déterminer la pression hydraulique sur le piston 3.

2.2 Stratégie :

• Isoler le levier 4 pour déterminer l’action mécanique 3/4 en B,

• Isoler le piston 3 pour déterminer l’action fluide/3 en E,

• Déterminer la pression hydraulique.

2.3 On isole le levier 4 :

2.3.1 Bilan d’Actions Mécaniques Extérieures (BAME) :

• En D, liaison ponctuelle de normale

( D , y )

entre pièce et 4 :

0 0 0 et 0 0

4 / , 4 4

/ Dp Dp

p

Y M

R

d’après énoncé,

0 2500

0

4 /

R

p

• En C, liaison pivot d’axe

( C , z )

entre 0 et 4 :

0 et

₀₄

04 4 / 0 , 04 04 04 4 /

0 C

C C C C C

M L M Z Y X R

simplification (x,y),

0 0 0 et 0

4 / 0 , 04

04 4 /

0 C C

C

M Y X R

• En B, liaison ponctuelle de normale

( B , y )

entre 3 et 4 :

0 0 0 et 0 0

4 / 3 , 34 4 /

3

Y

B

M

B

R

2.3.2 Expression des moments résultants au même point :

On choisit toujours le point qui possède le plus d’inconnue dans le BAME. Ici, il s’agit du point C.

•

2500 047 . 0

plane) ation (simplific 0

plane) ation (simplific 0

4 / 1 4 ) / , (

4 ) / , (

4 ) / , ( 4 / 4 / ,

×

−

=

×

−

=

=

=

=

p z p

C y p C

x p C p C p C

R d R M

R M

R M R M M

donc :

5 . 117

0 0

4 / ,

−

p

M

C

•

34 4

/ 3 2 4 / ) 3 , (

4 / ) 3 , (

4 / ) 3 , ( 4 / 3 4 / 3 ,

053 . 0

plane) ation (simplific 0

plane) ation (simplific 0

z B C

y C

x C C C

Y R

d R M

R M

R M R M M

×

=

×

=

=

=

=

donc :

34 4

/ 3 ,

053 . 0

0 0

B C

Y M

×

2.3.3 PFS sur 4 isolé :

A l’équilibre, la somme des AME sur 4 est nulle.

• Théorème de la résultante :

∑ ^R

^ext/4

^{= 0}

^donc

^R

^3/4

^{+ R}

^p/4

^{+ R}

^0/4

^{= 0}

Sur x : XC04 + 0 + 0 = 0 Sur y : YB34 + 2500 + YC04 = 0

Sur z : Equation nulle, car simplification dans le plan (x,y).

• Théorème du moment :

∑ ^M

^c,ext/4

^{= 0}

^donc

^M

^C,3/4

^{+ M}

^C,p/4

^{+ M}

^C,0/4

^{= 0}

Sur x : Equation nulle, car simplification dans le plan (x,y).

Sur y : Equation nulle, car simplification dans le plan (x,y).

Sur z : 0.053 x YB34 – 117.5 + 0 = 0

2.3.4 Equations et résolution :

Le PFS nous donne donc le système d’équation :

qui comporte 3 équations et 3 inconnues, donc soluble.

2.4 On isole le piston 3 :

On procède de la même manière pour l’étude statique du piston 3.

Le PFS nous donne donc le système d’équation : en remarquant que Y_B43 = - Y_B34 = - 2217,

2.5 Détermination de la pression hydraulique : On utilise la relation F = p.S

Après application à notre cas,

. 4

2 3 3 /

p πφ

E

_fluide

=

^avec

0 2217 0

3 3

/ _Ef

=

fluide

Y E

Donc :

2 3

3

4

/

πφ

fluide

E p

= ×

Après application numérique,

( 52 10 ) ^{1044454 pa 10,4 bar}

2217 4

3 2

= =

×

= × π

−

p

4 0

Piston 3

x y

A B C

D

E Pièce

0 53 47 CD−

− 0

7 53 CB−

en mm

1 2

A

2/1 A

A

1/2

A

1/2

= - A

2/1

x y C

D

0 53 47 CD−

− 0

7 53 CB−

R

p/4

R

3/4 B d1 = 0.047 d2 = 0.053

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

−

=

=

= 4717 2217

0

04 34

04

C B

C

Y Y

X

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

=

−

×

= + +

= 0 5 . 117 053

. 0

0 2500

0

34 04 34

04

B C B

C

Y Y Y

X

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

=

= +

= 0

0 0

03 3 43

03

A Ef B

A

N Y Y

X

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

=

= +

−

= 0

0 2217

0

03 3 03

A Ef A

N Y X

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

=

=

= 0 2217

0

03 3

03

A Ef

A

N Y

X