Commentaires sur la première formule du step 3 de ton cours sur les vf (p201) : Si ̅ est une mesure de probabilité sur , alors
∫ ( ) ̅( ) ∫ ( ( )) Avec
( ) { ̅(( )) } ( )
Première remarque : est la réciproque généralisée de la fonction ̅(( )) qui est croissante, continue
à gauche, et qui vérifie ( ) et ( )
Donc d’après le théorème de la réciproque, u est mesurable, croissante et continue à gauche.
Preuve : comme sur l’article de wikipédia sur les fonctions de répartitions, on peut commencer par traiter le cas où
est strictement croissante et continue. On prouve facilement que la fonction réciproque de est qui est donc aussi strictement croissante et continue.
Dans le cas général, on montre que est croissante donc mesurable, Puis que
( ) ( ) Et enfin que
̅({ ( ) }) ( )
Deuxième remarque : On définit en général la fonction de répartition de ̅ par
( ) ̅(( ])
On a et qui sont égales sauf sur leur ensemble de discontinuité qui est au plus dénombrable.
Troisième remarque : on peut définir la réciproque généralisée de définie sur ( ) par
( ) { ( ) } Dans ce cas, et sont continues à droite et croissantes.
Preuve : Elle est très bien faite dans l’article de wikipédia sur les fonctions de répartition.
A noter que est la fonction de répartition de que l’on montre grâce à l’ équivalence : ( ) ( ) Quatrième remarque : On a aussi la formule ∫ ( ) ̅( ) ∫ ( ( )) Donc ∫ ( ) ̅( ) ∫ ( ( )) ∫ ( ( )) Cinquième remarque :
̅ est la mesure de Lebesgue-Stieltjes associée à la fonction de répartition F (croissante et continue à droite), mais aussi à la fonction (croissante et continue à gauche).
On peut donc voir la formule précédente comme une formule de changement de variable.
Sixième remarque :
( ) { ( ) } { ( ) }
{ ( ) } { ( ) )} )
Comme ) est un fermé (borélien suffit), comme le processus est continu à droite (progressivement mesurable suffit), alors est un temps d’arrêt pour la filtration naturelle de
Septième remarque :
Le fait que ̅({ ( ) }) ( ) implique que ̅( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Avec la mesure de Lebesgue sur ] et la loi de probabilité de la variable aléatoire .
Comme l’ensemble des segments semi-ouverts où et ] ] est un Pi-système qui engendre les boréliens de alors les mesures et ̅ sont égales. Ainsi, la formule
∫ ( ( )) ∫ ( ) ̅( ) n’est autre que la formule de transfert bien connue en probabilités.
