Devoir_cours_9 Nom : Prénom : TSI2 1)

Devoir_cours_9 Nom : Prénom : TSI2

1) Donner le théorème de Bernoulli le long d’une ligne de courant dans le cas d’un écoulement stationnaire et non conservatif d’un fluide parfait et incompressible (on note le travail massique indiqué 𝑤𝑖 échangé avec les parties mobiles de la machine rencontrée). On donnera le nom et l’unité de tous les paramètres introduits.

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Une pompe P alimente un château d’eau à partir d’un puits à travers une conduite de rayon unique R= _𝜋¹⁰⁰_1/2 mm. L’écoulement est stationnaire, parfait et l’eau est incompressible. L’eau est initialement au repos dans le puits.

On donne :

- les altitudes : Z2=5 m, Z1= - 5 m, - les pressions P1=P2=1 bar ;

- la vitesse débitante dans la canalisation v = 10 m/s, - l’accélération de la pesanteur g=10 m/s2

.

2) Calculer le débit volumique Dv de la pompe en l/s.

3) Calculer la puissance indiquée Pi de la pompe.

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4) Dessiner l’allure du profil du champ vectoriel des vitesses d’un fluide en écoulement dans une canalisation cylindrique de section constante. On distinguera le cas d’un fluide réel en écoulement laminaire et le cas d’un fluide parfait (sans viscosité)

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5) On considère l’écoulement stationnaire de l’eau d’un fleuve. L’eau est assimilée à un fluide incompressible et parfait s’écoulant uniformément avec une vitesse horizontale 𝑣 par rapport à la rive. On place un tube en verre coudé et on appelle 𝑧 la hauteur de la colonne d’eau qui s’établit dans ce tube. On note 𝑔 l’intensité du champ de pesanteur terrestre.

Exprimer la vitesse de l’écoulement en fonction des données du sujet. /2

Soit 𝑠(𝑡) la sortie d’un système physique et 𝑒(𝑡) l’excitation éventuelement imposée à son entrée. Ce système est du second ordre et est caractérisé par sa pulsation propre 𝜔0 et son coefficient d’amortissement 𝑀 :

𝑑²𝑠 𝑑𝑡²+ 2𝑀𝜔0

𝑑𝑠

𝑑𝑡+ 𝜔02𝑠 = 𝜔02𝑒

6) On a 𝑠(𝑡 = 0) = 𝑠0, 𝑠^′(0) = 0, 𝑒(𝑡) = 0 et 𝑀 = 0. Donner l’expression de la solution 𝑠(𝑡). Donner une interprétation physique de 𝜔0.

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7) On a 𝑠(𝑡 = 0) = 𝑠0, 𝑠^′(0) = 0, 𝑒(𝑡) = 0 et 𝑀 < 1. Donner l’expression de la solution 𝑠(𝑡). Donner une interprétation physique de 𝑀 ainsi que de la pulsation 𝜔𝑎= 𝜔₀√1 − 𝑀².

8) Identifier la courbe susceptible de décrire chacune des situations ci- dessous :

a) 𝑠(𝑡 = 0) = 0, 𝑠^′(0) = 0, 𝑒(𝑡) = 1 et 𝑀 < 1.

b) 𝑠(𝑡 = 0) = 1, 𝑠^′(0) = 0, 𝑒(𝑡) = 0 et 𝑀 = 1.

c) 𝑠(𝑡 = 0) = 1, 𝑠^′(0) = 0, 𝑒(𝑡) = 0 et 𝑀 > 1.