MF2 : Écoulement d'un fluide en régime stationnaire

ATS ATS

Jules Ferry

MF2 : Écoulement d'un fluide en régime stationnaire

MF2

Introduction : en ATS, la prédiction de l’évolution en MF est basée sur un raisonnement énergétique : le 1^er principe de la thermodynamique en système ouvert (ou 1^er principe industriel). Par le chapitre T6, on sait déjà faire et l’étude est menée en partie IV.

Nouveautés :

• pour la description du fluide, on introduit, en partie I, un champ vectoriel (le champ des vitesses) et les opérateurs mathématiques associés (rotationnel et divergence) qui seront nécessaires en EM ;

• les parties II et III définissent les débits ainsi que les lois physiques associées (dont les analogies seront nécessaires au chapitre T8 et en EM).

I. Description d'un fluide en mouvement

1. Description Lagrangienne (non étudiée en ATS)

En description Lagrangienne, on étudie l’évolution spatio-temporelle d’une particule fluide comme un système fermé : mécanique « normale » telle qu’étudiée au chapitre M2. On applique la 2ème loi de Newton à la particule fluide pour prédire son mouvement (on obtient l’équation de Navier-Stokes).

Problème : cette prédiction est trop délicate mathématiquement. L’étude énergétique en système ouvert (1^er principe industriel) est beaucoup plus simple.

2. Description Eulérienne

On cherche à décrire l’écoulement dans sa globalité : en tout point M fixe de l’espace, on définit ⃗v(M , t) : le champ de vecteur vitesse !

Exemple : représentation du vent à la météo

De la même manière, on définit les champs scalaires dont on a déjà parlé en MF1 : p(M ,t), μ (M , t) et T(M , t).

L’ensemble de ces champs constituent les grandeurs   eulériennes et suffisent à la description du fluide (variables d’état thermodynamique + ⃗v). Elles sont définies sur un système ouvert mésoscopique, centré en

M , fixe dans le référentiel d’étude.

Remarque : on supposera T uniforme au sein du fluide : le but est d’étudier la MF et non la thermodynamique (ou la convection qui est la combinaison des 2).

3. Ligne et tube de courant

Afin de pouvoir représenter rapidement un champ de vecteur, on dessine des lignes de champ (ou ligne de courant pour le champ des vitesses).

Définitions :

• Une ligne de courant est une courbe tangente à ⃗v(M , t) en chacun de ses points, à l’instant t , et orientée dans le sens de ⃗v (une ligne de colorant par exemple).

• Un tube de courant est une surface engendrée par un ensemble de lignes de courant s’appuyant sur un contour fermé.

Visualisation des lignes de courant : Tube de courant :

Remarque : pour que les lignes de courant soient définissables, il faut un écoulement laminaire (par opposition à un écoulement turbulent). On se place en écoulement laminaire.

Écoulement laminaire : Écoulement turbulent :

4. Écoulement stationnaire (ou régime stationnaire)

Un écoulement est stationnaire (ou permanent) si l’ensemble des champs eulériens ne dépendent pas du temps en tout point M fixe : ∂ ⃗v

∂t=⃗0 ; ∂μ

∂t =0 ; …

Remarque : attention, il y a évolution spatiale ⃗v(M₁)≠⃗v(M₂) a priori.

5. Écoulement rotationnel (important pour EM)

Aparté : pour étudier l’évolution spatiale d’un champ scalaire, on étudie son gradient (cf MF1). De la même manière, pour étudier l’évolution spatiale d’un champ vectoriel (ici ⃗v ), on étudie son rotationnel et sa divergence, 2 opérateurs mathématiques introduits ici.

La connaissance de ces opérateurs sera primordiale en EM.

a) Exemples

b) Opérateur rotationnel ⃗rot

On définit l’opérateur mathématique ⃗rot_M(⃗v) qui caractérise la direction, le sens et l’intensité de la rotation du champ en tout point de l’espace ! Il forme donc lui-même un champ vectoriel.

Cet opérateur peut être calculé dans les différents systèmes de coordonnées (cf fiche d’analyse vectorielle) ; on utilise toujours celles adaptées à la géométrie du problème.

Remarque : comme il s’agit d’une dérivée spatiale, ‖⃗rot(⃗v)‖ s’exprime en (m.s⁻¹).m⁻¹=s⁻¹. Terminologie de la mécanique des fluides :

• ω =⃗⃗ rot(⃗v) est appelé vorticité ;

• Ω=⃗ 1

2⃗rot(⃗v) est appelé vecteur tourbillon.

Définition  :   l’écoulement   est   dit   irrotationnel  si  ∀ (M , t),⃗rot⃗v=⃗0 ;   sinon   l’écoulement   est   dit rotationnel.

c) Circulation du champ vectoriel le long d’un contour Définitions : 

• On appelle  circulation d’un champ vectoriel (ici ⃗v(M , t))  le long du contour orienté  C (vous choisissez l’orientation), la grandeur à t :  Γ(⃗v , C)=

∫

P∈C

⃗v(P , t).⃗dl_P  où ⃗dl_P est le déplacement élémentaire de P , le long de C, dans le sens d’orientation choisi.

• On dit que le champ vectoriel est à circulation conservative si ∀(C_f, t),Γ(⃗v , C_f)=0 où C_f  est un contour fermé.

d) Lien entre Γ(⃗v , C_f) et rot⃗ ⃗v

Théorème de Stokes : quel que soit le champ vectoriel étudié (ici ⃗v(M , t)), on montre l’égalité suivante à tout instant : 

∮

P∈C_f

⃗v(P , t).⃗dl_P=

∬

Q∈S

⃗rot_Q(⃗v).⃗dS_Q , où S s’appuie sur C_f et est orientée dans le sens de          C_f, par la règle du tire-bouchon.

Si l’écoulement est irrotationnel, le champ des vitesses est donc à circulation conservative !

Attention, il peut y avoir des cas très particuliers où les lignes de champ se referment à l'infini : flux du rotationnel à travers S

6. Écoulement divergent (important pour EM) a) Exemple

Exemple d'écoulement divergent :

b) Opérateur divergence div

On définit l’opérateur mathématique div_M(⃗v) qui caractérise dΦ (⃗v , dS_f)

dτ_M (« le petit flux du champ des vitesses, traversant une petite surface fermée mésoscopique, par unité de volume ; ce volume étant le volume renfermé par dS_f »).

Cet opérateur peut être calculé dans les différents systèmes de coordonnées (cf fiche d’analyse vectorielle).

Remarque : comme il s’agit d’une dérivée spatiale, div(⃗v) s’exprime en (m.s⁻¹).m⁻¹=s⁻¹.

Définition  :   l’écoulement   est   dit   non   divergent  si  ∀ (M , t),div(⃗v)=0 ;   sinon   l’écoulement   est   dit divergent.

c) Flux d’un champ vectoriel à travers une surface orientée Définitions : 

• On   appelle  flux   d’un   champ   vectoriel (ici ⃗v(M , t))  à   travers   la   surface   orientée  S  (vous choisissez l’orientation), la grandeur à  t :   Φ(⃗v , S)=

∬

P∈S

⃗v(P , t).⃗dS_P   (où  ⃗dS_P=dS_P⃗u_n(P)  avec dS_P  la surface élémentaire autour de  P   et  ⃗u_n(P), le vecteur unitaire orthogonal à   dS_P  et orienté dans le sens de S choisi).

• On dit que le champ vectoriel est à  flux conservatif  si  ∀(S_f,t),Φ(⃗v , S_f)=0  où  S_f   est une surface fermée.

Remarques :

1. On verra que Φ(⃗v , S) n’est rien d’autre que le débit volumique à travers S ! (en m³.s⁻¹ … ).

2. Pour calculer Φ facilement, on prend S orientée en direction et en sens avec ⃗v (ou ⊥ ⃗v … ).

d) Lien entre Φ(⃗v , S_f) et div(⃗v)

Théorème d’Ostrogradski  : quel que soit le champ vectoriel étudié  (ici ⃗v(M , t)), on montre l’égalité suivante à tout instant : 

∯

P∈S_f

⃗v(P , t).⃗dS_P=

∭

Q∈V

div_Q(⃗v).dτ_Q , où V  est le volume renfermé par S_f et S_f  est orientée vers l’extérieur.

Si l’écoulement est non divergent, le champ des vitesses est donc à flux conservatif !

7. Exemples (TD)

Ce paragraphe est le seul savoir faire avec les opérateurs divergence et rotationnel en MF.

Pour les 4 écoulements suivants proposés, déterminez : 1. Graphiquement si

◦ la divergence de ⃗v est nulle, positive ou négative ;

◦ le rotationnel de ⃗v est nul ou sinon sa direction et son sens.

2. Retrouvez les résultats par le calcul (on utilisera la fiche d’analyse vectoriel).

II. Débits

1. Débit volumique a) Définition

Le débit volumique à travers une surface orientée S est le volume de fluide qui traverse S par unité de temps :  D_v=dV

dt  en m³.s⁻¹. b) Lien avec Φ(⃗v , S)

Propriété : le débit volumique à travers la surface  S  est le flux du champ des vitesses à travers cette même surface  D_v=Φ(⃗v , S) .

Démonstration :

On considère une surface élémentaire orientée ⃗dS_P en P .

Le volume de fluide d V , qui traverse ⃗dS_P, pendant l’intervalle de temps dt , est le volume du cylindre bleu : d V=⃗dS_P.⃗v(P , t)dt(=dS‖⃗v‖cosθdt).

Donc le petite débit volumique d_PD_v traversant ⃗dS_P est d_PD_v=⃗v(P , t).⃗dS_P. Le débit volumique traversant la surface orientée S est donc D_v=

∬

P∈S

d_PD_v=

∬

P∈S

⃗v(P ,t).⃗dS_P.

Cas particulier : si ⃗v(P , t) est uniforme sur S et si ⃗dS_P est colinéaire à ⃗v et dans le même sens, alors D_v=v S où v=‖⃗v‖.

2. Débit massique

a) Définition (rappel T6)

Le débit massique à travers une surface orientée S est la masse de fluide qui traverse S par unité de temps :  D_m=dm

dt  en kg.s⁻¹.

b) Vecteur densité de flux de masse  j⃗_m(M , t)

Comme précédemment, on considère une surface élémentaire orientée ⃗dS_P en P.

Le volume de fluide d V , qui traverse ⃗dS_P, pendant l’intervalle de temps dt , est d V=⃗dS_P.⃗v(P , t)dt donc la masse qui traverse ⃗dS_P durant dt est dm=μ (P ,t).d V=μ (P ,t).⃗dS_P.⃗v(P , t)dt.

Donc le petite débit massique d_PD_m traversant ⃗dS_P est d_PD_m=μ (P , t).⃗v(P ,t).⃗dS_P.

⃗dS_P

P ^{⃗v(P , t)}

‖⃗v‖dt

θ

θ θ

dV=dV '

dScosθ

⃗v

Le débit massique traversant la surface orientée S est donc D_m=

∬

P∈S

μ (P , t).⃗v(P , t).⃗dS_P=Φ(μ ⃗v , S).

Définition  : on appelle  vecteur densité de flux de masse  (ou vecteur densité de courant de masse), le champ vectoriel  j⃗_m(M , t)=μ (M , t).⃗v(M , t)  (‖ ⃗j_m‖ s’exprime en kg.m⁻².s⁻¹)

Propriété  : le débit massique à travers la surface  S  est le flux du vecteur densité de flux de masse à travers cette même surface  D_m=Φ(μ ⃗v , S) .

Propriété générale en Physique : on peut toujours exprimer un débit à travers une surface comme étant le flux d’un champ vectoriel à travers cette même surface (utile juste pour la construction du chapitre T8).

Remarque : dans le cas général, il n’y a pas de lien direct entre D_m et D_v. 3. Cas particulier d’un écoulement incompressible

a) Définition

Un écoulement est dit incompressible si μ (M , t) est uniforme : μ (M , t)=μ (t). Remarque : c’est le cas :

• si le fluide est un liquide : il s’agit d’une phase condensée donc le fluide est incompressible μ =cte ;

• si on étudie l’écoulement d’un gaz subsonique et sans compresseur ni détendeur ni turbine.

b) Lien entre D_m et  D_v

Si l’écoulement est incompressible, D_m(t)=

∬

P∈S

μ (P , t)⃗v(P , t).⃗dS_P=μ

∬

P∈S

⃗v(P , t).⃗dS_P=μD_v(t). En écoulement incompressible,  D_m=μD_v . incompressible

III. Écoulement stationnaire et incompressible

1. Conservation de la matière en régime stationnaire (démo à connaître)

Bilan local de conservation de la matière en régime stationnaire :  div( ⃗j_m)=0 . Démonstration :

On considère une surface fermée S_f, délimitant un volume V , supposé fixe dans le référentiel d’étude. On appelle m(t) la masse contenue dans V à l’instant t . Principe   de   conservation   de   la   matière appliqué à V entre t et t+dt :

m(t+dt)−m(t)=masse entrant dans le système entre t et t+dt ! Soit m(t+dt)−m(t)=−D_m/Sf.dt

m(t+dt)−m(t)=−

(

^∯

⃗j_m(M , t).⃗dS_M

)

En régime stationnaire, m(t+dt)=m(t) donc

∯

M∈Sf

⃗j_m(M , t).⃗dS_M=0 : ⃗j_m est à flux conservatif en régime stationnaire.

Par le théorème d’Ostrogradski,

∯

M∈Sf

⃗j_m(M , t).⃗dS_M=

∭

Q∈V

div_Q( ⃗j_m)dτ_Q=0. Cette relation étant vérifiée ∀V , il vient div( ⃗j_m)=0 .

Remarque : le bilan local de conservation de la matière en régime non stationnaire est ∂μ

∂t +div( ⃗j_m)=0 . Démo : on reprend (1) avec m(t)=

∭

Q∈V

μ (Q ,t)dτ et m(t+dt)=

∭

Q∈V

μ (Q , t+dt)dτ donc m(t+dt)−m(t)=

∭

Q∈V

(μ (Q , t+dt)−μ (Q , t))dτ =₍₁₎−

(

^∯

⃗j_m(M , t).⃗dS_M

)

=−

( ^∭

div_Q( ⃗j_m)dτ_Q

)

∭

Q∈V

[

]

S_f m(t)

2. Régime stationnaire + écoulement incompressible a) Bilan local de conservation de la matière

En écoulement incompressible, div( ⃗j_m)=div(μ (M ,t).⃗v(M ,t))=div(μ.⃗v(M , t))=μ. div⃗v.

Donc le bilan local de la conservation de la matière, en  écoulement stationnaire et incompressible  est div⃗v=0  : l’écoulement est non divergent !

b) Propriétés

Le théorème d’Ostrogradski donne

∭

Q∈V

div_Q(⃗v)dτ_Q=

∯

P∈S_f

⃗v(P ,t).⃗dS_P=0 ou D_v/Sf=0 :

le champ des vitesses est à flux conservatif lors d’un écoulement stationnaire et incompressible (à savoir démontrer).

Conséquences : En écoulement stationnaire et incompressible,

1. Loi des nœuds    : le débit volumique divergeant d’un nœud de canalisation est nul :

2. Loi des branches    : le débit volumique se conserve dans un tube de courant (et donc a fortiori dans une canalisation) :

Remarques :

1. Pour la loi des branches D_v1=D_v2, si on considère de plus que le champ des vitesses est uniforme sur les sections, alors v₁S₁=v₂S₂. Si S₂>S₁ alors v₂<v₁ !

C’est ce qui permet d’avoir une idée de ‖⃗v‖ sur une cartographie de lignes de courant.

2. Si l’écoulement est stationnaire mais pas incompressible, la loi des nœuds et la loi des branches sont vérifiées uniquement pour le débit massique.

3. Il y a une analogie très grande avec l’électrocinétique dans le cadre de l’ARQS (cf EM2).

D_v1 Σ

D_v2

D_v3 D_v4

D_v1+D_v2+D_v3+D_v4=0

D_v1

D_v2

tube de courant ou canalisation

D_v1=D_v2

S₁ S₂

IV.Étude énergétique des écoulements parfaits dans une conduite

Définition  : on parle d’écoulement parfait  lorsque les  frottements fluides sont négligeables (contre les parois et au sein du fluide) ET qu’il n’y a pas d’échange thermique (Q=0).

2. Étude énergétique (cf T6)

Premier principe industriel pour une écoulement parfait et stationnaire entre l’entrée et la sortie : D_m

(

)

{

.

3. Relation de Bernoulli

a) Énoncé

Pour un écoulement parfait, stationnaire et incompressible, sans pièce mobile, le long d’une ligne de courant, la relation de Bernoulli est vérifiée :  p₂+1

2μv₂²+μg z₂=p₁+1

2μv₁²+μg z₁ .

Remarques :

1. On rajoute parfois l’hypothèse « irrotationnel » mais elle n’est pas nécessaire si on relie le point 1 et le point 2 par une ligne de courant (ce qu’on dessinera toujours pour définir 1 et 2).

2. Pas de contradiction avec la RFSF en fluide incompressible. En effet, si

◦ v₁=v₂=0 ;

◦ p₁=p₀ et z₁=0 ;

◦ p₂=p(z) et z₂=z ;

alors on obtient p(z)+μg z=p₀, soit p(z)=p₀−μg z. b) Démonstration (?)

On considère l’écoulement parfait et stationnaire, dans une conduite sans pièce mobile, donc le premier principe industriel : Δh+Δe_c+Δe_p=0 avec

{

⁽

⁾

.

H=U+pV donc h=u+p

μ soit Δh=Δu+Δ

(

)

Par T1, U=U(T , V) donc u=u(T ,μ) avec

{

μ =cte car écoulement incompressible d’où Δu=0 et Δh=Δ

(

)

Il vient Δ

(

)

(

)

e (1)

s (2) conduite

pompe ou turbine

c) Définition de la charge du fluide en un point M

La relation de Bernoulli n’est rien d’autre qu’un principe de conservation de l’énergie volumique du fluide entre un point 1 en amont de l’écoulement et un point 2 en aval de l’écoulement, lorsque les frottements fluides sont négligeables.

Définition  :   C_M=p_M+1

2μ v²_M+μ g z_M   est  appelée   charge   du   fluide   en     M   ,   homogène   à   une   énergie volumique (J.m⁻³) ou une pression (Pa).

d) Exemples : cf TD ex 1, 2 & 3

La relation de Bernoulli permet, entre autres, de démontrer le théorème de Torricelli (ex1), l’effet Venturi (ex2) ainsi que le fonctionnement d’un tube de Pitot (ex3).

4. Perte de charge

a) Loi de Bernoulli modifiée

Si l’écoulement n’est pas parfait, alors les frottements fluides ne sont pas négligeables (W=WF⃗_P+Wf⃗_f où nous avons toujours négligé Wf⃗_f en thermodynamique) et il y a dissipation énergétique même sans pièce mobile : le 1^er principe industriel devient D_m

(

)

Pour un écoulement stationnaire, incompressible, sans pièce mobile, tel que Q=0, le long d’une ligne de courant, il vient : Δ_1→2

(

)

(

)

f

D_v <0 . Soit C₂−C₁<0.

Définition : on appelle perte de charge, la charge perdue entre 1 et 2 du fait des frottements fluides (i.e.

l’énergie   volumique   dissipée   par   frottements   fluides),   on   la   note  ΔP_charge12=C₁−C₂

(

)

s’exprime en J.m⁻³ ou en Pa .

Conclusions : 

1. Lorsque l’écoulement est stationnaire, incompressible, sans pièce mobile mais non parfait, on utilise la relation de Bernoulli modifiée :  p₂+1

2μ v₂²+μ g z₂=p₁+1

2μv₁²+μg z₁−ΔP_charge12 .

2. Lorsque l’écoulement est stationnaire, incompressible, avec pièce mobile (de puissance indiquée P_i  entre  1  et  2)   et   non   parfait,   on   utilise   la  relation   de   Bernoulli   modifiée :

p₂+1

2μv₂²+μg z₂=p₁+1

2μv₁²+μg z₁+ P_i

D_v−ΔP_charge12 .

b) Perte de charge régulière (ou linéique cf TPT) Allure du champ des vitesse ⃗v , dans une conduite, sur une section droite S, si les frottements fluides le long de la canalisation ne sont pas négligeables.

On parle d’écoulement de Poiseuille, on retiendra que la perte de charge régulière est proportionnelle à la longueur de canalisation entre 1 et 2.

Remarque : suivre les documents de l’énoncé.

En général, les données sur une perte de charge régulière sont de la forme : ΔP_{charge L}=K L

dμ v²

2 où K est un nombre sans dimension qui dépend de la viscosité du fluide et de la rugosité de la canalisation, d est le diamètre de canalisation et v est la vitesse moyenne du fluide.

Illustration du phénomène :

c) Perte de charge singulière (cf TPT)

La canalisation présente une singularité (un coude par exemple) ; il y aura alors une perte de charge due à cette singularité présente entre 1 et 2, on parle de perte de charge singulière.

Remarque : suivre les documents de l’énoncé.

En général, les données sur une perte de charge singulière sont de la forme : ΔP_charge=Kμv²

2 où K est un nombre sans dimension qui dépend de la singularité et v est la vitesse moyenne du fluide au niveau de la section réduite. Les valeurs prises par K sont :

dissipation énergétique le long de la canalisation : perte de charge proportionnelle

à la longueur L de canalisation.

Propriété : la perte de charge totale entre 1 et 2 est la somme des pertes de charge situées entre 1 et 2