Dynamique du point matériel

MSPI2 Janson de Sailly

Dynamique du point matériel

Chap 20

Table des matières

1 Lois de Newton 1

1.1 Principe d’inertie ou première loi de Newton . . . 1

1.2 Principe fondamental de la dynamique ou seconde loi de Newton . . . 2

1.3 Loi des actions réciproques ou troisième loi de Newton. . . 3

2 Forces usuelles en mécanique 3 2.1 Force gravitationnelle . . . 3

2.1.1 Définition . . . 3

2.1.2 Lien avec le poids . . . 3

2.2 Force électromagnétique . . . 3

2.2.1 Force électrique . . . 3

2.2.2 Force magnétique . . . 4

2.3 Forces de rappel d’un ressort. . . 4

2.4 Tension d’un fil . . . 5

2.5 Force de contact solide-solide . . . 6

2.6 Poussée d’Archimède . . . 7

2.7 Force de frottements fluides . . . 8

1 Lois de Newton

1.1 Principe d’inertie ou première loi de Newton

Il existe des référentiels privilégies appelés référentiels galiléens dans lesquels un point matériel M isolé, c.à.d.

soumis à aucune action mécanique, est soit au repos, soit animé d’un mouvement rectiligne uniforme. Il s’agit de la première loi de Newton aussi nommé principe d’inertie. Un point non isolé mais soumis à plusieurs actions qui se compensent est dit pseudo-isolé et respecte le principe d’inertie. Par conséquent, un référentiel est galiléen si le principe d’inertie s’y applique. En pratique, cette définition est inutile car invérifiable... En pratique, on dispose souvent d’un référentiel de référence que l’on considère galiléen et on cherche à savoir si un autre référentiel l’est également. Pour cela, il suffit de montrer que ce référentiel est en translation rectiligne uniforme par rapport au référentiel galiléen de référence. Ainsi :

Un référentiel est galiléen s’il est en translation rectiligne uniforme par rapport à un autre référentiel galiléen.

Il ne faut pas confondre translation rectiligne et translation circulaire. Pour bien les différencier, envisageons un référentielRd’origine O muni d’un repère d’espace et un référentielR⁰ d’origine O⁰ muni d’un référentiel d’espace.

– translation rectiligne deR⁰par rapport àR: les axes deR⁰restent parallèles à ceux deRet la trajectoire de O⁰ dansRest une droite ;

– translation circulaire deR⁰ par rapport àR⁰ : Les axes deR⁰restent parallèles à ceux deRet la trajectoire de O⁰dansRest un cercle.

Pour fixer les idées, on donne deux exemples : la cabine d’une grande roue (à gauche) est en translation circulaire par rapport au sol alors que la voiture (à droite) est en translation rectiligne.

x⁰ y⁰

O’

x⁰ y⁰

O’

x y O

Translation circulaire

O x

y

x⁰ y⁰ O⁰

Translation rectiligne

Un référentiel rigoureusement galiléen n’existe pas (par définition) mais on peut souvent considérer certains réfé- rentiels comme approximativement galiléens.

On rencontre souvent les référentiel suivants :

– Référentiel héliocentriqueR_S : l’origine est le centre S du Soleil et les trois axes pointent vers des étoiles loin- taines supposé fixes. On le suppose galiléen.

– Référentiel géocentrique R_G : l’origine est le centre T de la Terre et ses trois axes sont les même que ceux du référentiel héliocentrique. Il est en translation elliptique (souvent considérée circulaire) par rapport au référentiel héliocentriqueR_S. Le mouvement de T dansR_S est plan et ce plan se nomme plan de l’écliptique.

Ce référentiel n’est pas galiléen mais on peut le considérer approximativement galiléen pour une expérience de durée très inférieure à l’année.

– Référentiel terrestreR_T: l’origine est le centre T de la Terre et ses trois axes sont fixes par rapport à la Terre.

R_Test en rotation par rapport au référentiel géocentriqueR_GL’axe de rotation est incliné de 23° (par rapport à la normale au plan de l’écliptique)¹. Ce référentiel n’est pas galiléen mais on peut le considérer approxima- tivement galiléen pour une expérience de durée très courte par rapport au jour.

S• R_S

A• •P

T• R_G Axe de rotation deR_T

Plan de l’écliptique Rem : le point A correspond à l’aphélie : c’est l’hiver dans l’hémisphère nord et l’été dans l’hémisphère sud. Le point P correspond au périhélie : c’est l’hiver dans l’hémisphère sud et l’été dans l’hémisphère nord. Contrairement à une idée reçue, l’hiver (dans l’hémisphère nord) a lieu quand le Soleil est au plus proche de la Terre.

1.2 Principe fondamental de la dynamique ou seconde loi de Newton

On considère un point matériel M de masse m dans un référentiel galiléen R. Le Principe Fondamental de la Dyna- mique (PFD) ou aussi nommée seconde loi de Newton s’écrit :

d#«p dt =#«

F_ext

#«F_extest la somme des forces extérieures appliquées sur M et #«p est la quantité de mouvement de M. En mécanique classique :

#«p = m#«v Si la masse m est constante²:

md#«v

dt = m#«a =#«

F_ext Si #«

F_ext= #«

0 alors #«a =#«

0 et donc #«v =cte. Le mouvement est donc rectiligne uniforme. On retrouve ainsi le principe# « d’inertie.

En mécanique relativiste, la relation d#«p dt =#«

F_extreste valable mais #«p ,m#«v . En mécanique relativiste : #«p =γm#«v où γest le facteur de Lorentz :

γ= 1 r

1 –v² c²

1. Très souvent, on ne tient pas compte de l’inclinaison de 23°. Cette axe incliné précesse (comme une toupie) avec une période de 26 000 ans.

2. Sauf indication contraire, on considère la masse constante.

1.3 Loi des actions réciproques ou troisième loi de Newton

On considère deux points M₁et M₂en interaction. La troisième loi de Newton est la suivante :

#«F₁→2= –#«F₂→1 et #«F₁→2∧M# «₁M₂=#«0

• M₁

• M₂

#«F₂→1 #«

F₁→2

2 Forces usuelles en mécanique

2.1 Force gravitationnelle

2.1.1 Définition

On considère deux particules matérielles M₁et M₂de masse m₁et m₂:

• M₁ (m₁)

• M₂ (m₂) r

e#«_r

• M₁

• M₂

#«F₂→1 #«

F₁→2

L’interaction gravitationnelle entre M₁et M₂s’écrit :

#«F₁→2= –#«

F₂→1= –Gm₁m₂ r²

#«e_r= –G m₁m₂ k# «

M₁M₂k³

# « M₁M₂

G est la constante de gravitation universelle : G = 6,67.10^–11m³.kg^–1.s^–2. 2.1.2 Lien avec le poids

Nous allons admettre que, par symétrie sphérique, pour un point M non situé à l’intérieur de la Terre, cette dernière est équivalente (en terme d’interaction gra- vitationnelle) à une masse M_T ≈6.10²⁴kg placée en son centre T. Ainsi, si on considère un point M de masse m à la surface de la Terre (rayonR_T≈6400 km), la force d’attraction gravitationnelle exercée par la Terre sur la masse m est :

#«F = –GM_Tm R²

T

#«e_r #«e_r=

# « TM k# « TMk

T•

• M

#«F

On peut écrire :

#«F = –GM_Tm R²

T

#«e_r= m#«g

où#«g est l’accélération de la pesanteur. Sa norme est : k#«gk= g = GM_T

R²

T

≈9,81 m.s^–2 Ce raisonnement n’est pas valable pour un point M à l’intérieur de la Terre.

2.2 Force électromagnétique

2.2.1 Force électrique

On considère une charge q₁placée en M₁sur une charge q₂placée en M₂.

#«F₁→2= –#«

F₂→1= q₁q₂ 4πr²

#«e_r =_r0

• M₁ (q₁)

• M₂ (q₂) r

#«e_r

où₀est la permittivité du vide :₀≈8,85.10^–12F.m^–1.(en F.m^–1) est la permittivité du milieu dans lequel évolue les charges. Le facteur (sans unité ni dimension)_rest nommé permittivité relative et dépend du milieu. On peut retenir les valeurs suivantes :_r(vide) = 1,_r(air)≈1,_r(eau)≈80.

On peut détailler le sens de la force :

• M₁

• M₂

#«F₂→1 #«

F₁→2

q₁et q₂de signes opposés

• M₁

• M₂

#«F₂→1 #«

F₁→2

q₁et q₂de mêmes signes On peut réécrire la force différemment :

#«F₁→2= q₂ q₁ 4πr²

#«e_r

| {z }

#«E₁(M₂)

= q₂#«

E₁(M₂)

#«E₁(M₂) est le champ électrique créé par la particule 1 en M₂. Le champ électrique s’exprime généralement en V.m^–1. De manière plus générale, s’il existe un champ électrique extérieur #«

E , la force exercée par le champ sur une charge q placée en M est :

#«F = q#«

E

#«E

• M (q > 0)

#«F #«

• E M (q < 0)

#«F

Le champ#«

E n’est pas le champ crée par la charge q.

2.2.2 Force magnétique

La force magnétique exercée par un champ magnétique extérieur #«

B (crée par d’autres charges en mouvement) sur une charge q placée en M et se déplaçant à la vitesse#«v est :

#«F = q#«v∧#«

B Le champ magnétique s’exprime en Teslas (T).

2.3 Forces de rappel d’un ressort

Si on considère une masse M accrochée à un ressort, la force exercée par le ressort sur M est (loi de Hooke) :

#«F =±k (`–`₀)#«e_x

O•

x M

`

• k est la constante de raideur du ressort (en N.m^–1)

• `la longueur du ressort (en m)

• `₀a longueur à vide du ressort (en m). Il s’agit de la longueur du ressort si aucune masse n’y est attachée c.à.d.

lorsque #«

F =#«

0 .

• #«e_xest un vecteur unitaire colinéaire à l’axe du ressort.

Pour choisir le signe, il faut toujours s’adapter à la situation d’étude. Par exemple, sur le schéma, on choisit le signe

"–" car si`>`₀, la force de rappel est dirigée selon –#«e_x. Rem :`–`₀est nommé élongation.

Exemple : on considère un ressort accroché au plafond. On attache une masse m à l’autre bout.

O•

M z

z

#«g

`= –z

On applique le PFD à la masse m dans le référentiel terrestre supposé galiléen :

m#«a = m¨z#«e_z= m#«g + k (`–`₀)#«e_z= –mg#«e_z+ k (`–`₀)#«e_z= mg#«e_z+ k (–z –`₀)#«e_z ce qui donne donc

¨z + k mz = –k

m

`₀+mg k

On reconnait un oscillateur harmonique de pulsation propreω₀= rk

m. On pose`<sub>eq</sub>=`₀+mg

k et on obtient : z(t) = A cos(ω₀t) + B sin(ω₀t) –`_eq

On remarque que la longueur à l’équilibre`<sub>eq</sub>est plus grande que`₀, ce qui est logique car il faut compter le poids de la masse !

2.4 Tension d’un fil

La tension#«

T (M,t) d’un fil est la force exercée en M à l’instant t par la partie située à gauche de M sur la partie située à droite (ou l’inverse).

gauche droite

M•

#«T (M,t)

On admet que pour un fil inextensible, sans masse et sans frottement (sauf indication contraire, le fil sera toujours considéré inextensible, sans masse et sans frottements), la norme de la tension ne dépend pas de M. Autrement dit la norme T de la tension d’un fil inextensible, sans masse et sans frottement est uniforme le long du fil :

k#«

T (M,t) k

Exemple 1 : on considère deux masse reliées par un fil parfait et une poulie. La force exercée par le fil sur m₁ est #«

T₁. La force exercée par le fil sur m₂est #«

T₂. On constate que #«

T₁, #«

T₂(les vecteurs sont orthogonaux !). En revanche T₁=k#«

T₁k= T₂=k#«

T₂k.

m₁

m₂

#«T₂

#«T₁

Exemple 2 : on considère un masse m au bout d’un fil de longueur `attachée au plafond (pendule simple). On suppose que le fil reste toujours tendu. On applique le PFD à la masse m dans le référentiel terrestre supposé galiléen :

m#«a =#«

T +#«

P = T_r#«e_r+ mg (cosθ#«e_r– sinθ#«e_θ) où#«

P est le poids de m et #«

T la force exercée par le fil sur m. On se place en coordonnées polaires :

# «

OM =`#«e<sub>r</sub>=⇒#«a = –`θ˙²#«e_r+`θ¨#«e_θ

Par conséquent, le PFD selon#«e_θdonne :

θ¨+g

`sinθ= 0

ce qui dans le cadre des "petits" angles donne une équation d’oscillateur harmonique θ¨+g

`θ= 0 O

y

`

x θ

M #«e_r

#«eθ

#«T

#«P

2.5 Force de contact solide-solide

On considère une masse en contact avec un support, la réaction du support #«

R est la force exercée par le support sur la masse. On la décompose ainsi :

#«R =#«

N +#«

T

• #«

N est la réaction normale

• #«

T est réaction tangentielle

#«T

N#«

#«R

Si on néglige les frottements avec le sol : #«

T = #«

0 . La masse quitte le sol lorsque #«

R =#«

0 . Il s’agit de la condition de décollage.

• Première loi de Coulomb sur le frottement solide : la masse ne glisse pas sur le support tant que T < f_sN

• Seconde loi de Coulomb sur le frottement solide : si la masse glisse alors T = f_dN

f_s > 0 est le coefficient de frottement statique et f_d> 0 le coefficient de frottement dynamique. Ils dépendent des matériaux utilisés pour la masse M, du sol et de l’état du sol (sec, mouillé, graissé....). Dans la majorité des cas :

f_s>f_d

Si les deux coefficients sont "proches" (f_s≈f_d), on considère souvent, pour simplifier, que f_s= f_d et sera donc noté simplement f.

Application : on considère un système en équilibre sur un plan incliné. A l’équilibre (dans le référentiel lié au sol galiléen) :

#«0 =#«

N +#«

T +#«

P = N_y#«e_y+ T_x#«e_x+ mg

sinα#«e_x– cosα#«e_y











0 = N_y– mg cosα 0 = T_x+ mg sinα

L’équilibre dure tant que T < f_sN =⇒–T_x< f_sN_yet donc :

mg sinα< mg cosα=⇒tanα< f_s=⇒α<α_lim= arctan(f_s)

Si l’angleαdépasse sa valeur limiteα_lim, la masse se met à glisser. Cette expérience simple permet, en mesurant l’angleα_limde mesurer f_s.

x y

α N#«

#«T

#«P

×

2.6 Poussée d’Archimède

Le principe d’Archimède est le suivant :

Tout corps plongé dans un ou plusieurs fluides au repos subi de la part du ou des fluides une force dirigée dans le sens opposé au poids et égale en norme au poids du volume de fluides déplacés Application : détermination du volume immergé d’un iceberg³

Figure1 – Photographie de Ralph A. Clevenger L’iceberg est à l’équilibre (dans un référentiel lié à la surface de l’eau supposé galiléen) :

#«0 =#«π_eau+#«π_air+#«

P

On note V le volume total de l’iceberg et V_imle volume immergé et on projette selon un axe ascendant : 0 =ρ_eauV_img +ρ_air(V – V_im) g –ρ_glaceVg =⇒0 = V

ρ_air–ρ_glace

+ V_im(ρ_eau–ρ_air) Commeρ_airρ_glaceetρ_eau, on a :

0≈–Vρ_glace+ V_imρ_eau=⇒ V_im

V =ρ_glace ρ_eau =0,9

1 = 90 % 90 % du volume de l’iceberg se trouve donc sous l’eau !

3. Il s’agit en réalité d’un photomontage. Le haut est un iceberg photographié en Antarctique, le bas un iceberg photographié en Alaska et le ciel est photographié en Californie. En effet, une telle photo est impossible, parce que dans le cadre d’une prise de vue authentique, la densité de l’eau nuit à la visibilité et empêche de voir à une telle distance le bloc de glace plongé dans l’océan .Cependant, les proportions de la photo sont correctes.

2.7 Force de frottements fluides

On considère un objet en mouvement à la vitesse#«v dans un fluide au repos. La force exercée par le fluide sur l’objet est :

#«F =#«

F_P+#«

F_T – #«

F_Pest la force de portance. Elle est orthogonale à #«v ; – #«

F_Test la force de trainée. Elle est colinéaire à #«v . Cette année, nous considérerons que la portance est nulle :

#«F_P=#«

0 On retient souvent deux grands modèles pour#«

F_T:

• modèle "faibles vitesses" :

#«F_T= –λ#«v λ= cte > 0

• modèle "fortes vitesses" :

#«F_T= –λ⁰v#«v λ⁰= cte > 0 λetλ⁰ sont des constantes positives mais dépendantes de l’objet et du fluide.

Rem : la notion de "faibles" ou "fortes" vitesses est floue⁴mais assez intuitive si on raisonne sur un exemple précis.

Pour une voiture, par exemple, 10 km.h^–1est une faible vitesse alors que 200 km.h^–1est une forte vitesse.

Rem : si le fluide est en mouvement, il faut prendre en compte la vitesse de l’objet par rapport au fluide, c.à.d.#«v –#«v_f où#«v_fest la vitesse du fluide.

Application : vitesse limite atteinte par une bille de rayon R lors d’une chute dans un fluide.

On applique le PFD à la bille dans le référentiel terrestre (supposé galiléen) : md#«v

dt =#«

P +#«π+#«

F_T – Le poids#«

P s’écrit #«

P = m#«g =4π

3 R³ρ#«g oùρest la masse volumique de la bille.

– La poussée d’Archimède #«π s’écrit #«π= –4π

3 R³ρ_f#«g oùρ_fest la masse volumique du fluide.

– La force de trainée #«

F_Ts’écrit #«

F_T= –6πηR#«v oùηest la viscosité du fluide (en Pa.s).

On peut donc réécrire le PFD :

d#«v dt +

#«v m 6πηR

=

1 –ρ_f ρ

#«g

On pose :

τ= m 6πηR

#«v`=τ

1 –ρ_f ρ

#«g On a donc :

d#«v dt +

#«v τ =

#«v`

τ =⇒#«v =#«

Ae^–t/τ+#«v` En posant #«v (0) = #«

0 , on a #«

A = –#«v`ce qui donne :

#«v =#«v`

1 – e^–t/τ

En régime permanent, c.à.d. tτ:#«v =#«v`. La mesure de#«v`permet notamment de mesurer la viscosité du fluide.

4. Bien entendu, il est possible de donner un critère beaucoup plus précis (à l’aide du nombre de Reynolds) mais cela dépasse le cadre du programme de MPSI.