ESIEE Paris – E3FI Carmelo Guarneri
Transformations
I. Transformations simples en dimension quelconque
Soient E un espace vectoriel sur ℝ
a. Homothéties
Définition :
On appelle une homothétie de rapport λ l'application f de E dans E définie par :
∀x∈E (f )(x)=λx Remarque
:
Si λ>0 alors f est un agrandissement ou une réduction.
Proposition :
La composée de deux homothéties de rapport μ et λ est une homothétie de rapport μ λ . Démonstration
:
Définition :
On appelle une symétrie centrale une homothétie de rapport -1.
Remarque
:
Une symétrie centrale est aussi appelée un retournement.
Proposition :
Les homothéties sont des isomorphismes.
L'application réciproque d'une homothétie de rapport λ est l’homothétie de rapport 1 λ . Démonstration
:
b. Symétrie orthogonale
Définition :
Soit F un sous-espace vectoriel de E.
On appelle une symétrie orthogonale par rapport a F l'application définie par :
∀x∈F (f )(x)=x et ∀x∈E ∀y∈F x.y=0⇒ f (x)=−x Remarque
:
Une symétrie orthogonale est involutive ie : f ∘f=Id . Proposition :
29
ESIEE Paris – E3FI Carmelo Guarneri Les symétries orthogonales sont des isomorphismes.
Une symétrie orthogonale a elle-même pour propre application réciproque .
c. Translations.
Définition :
On appelle une translation de vecteur v l'application f de E défini par :
∀x∈E (f )(x)=x+v
Proposition :
La composée de deux translations de vecteurs u et v est une translation de rapport u+v . Démonstration
:
Remarque
:
Les translations ne sont pas des applications linéaires.
II. Transformations dans le plan et matrices associée
On notera C (e1, e2) la base canonique de ℝ2
a. Homothéties
Soit u∈ℝ2 et h l’homothétie de rapport λ , on a h(
(
10)
)=(
λ0)
et h((
01)
)=(
λ0)
Donc la matrice de h sera : MatC , C(h) =
(
λ0 0λ)
= λ(
1 00 1)
= λI2b. Symétrie centrale
Soit u∈ℝ2 et h l’homothétie de rapport -1, on a h(
(
10)
)=(
−10)
et h((
01)
)=(
−01)
Donc la matrice de h sera
: MatC , C(h) =
(
−01 −10)
= −(
1 00 1)
= −I2c. Symétrie orthogonale
Matrice associée
:
Pour la symétrie par rapport à Vect(e1) dans ℝ3 :
(
01 −10)
d. Rotations
Dans un espace vectoriel de dimension 2, une rotation est une application linéaire qui fait
« tourner » un vecteur autour de l'origine, ce qui a pour effet de changer sa direction. Dans ce cas une rotation est caractérisée uniquement par son angle.
30
ESIEE Paris – E3FI Carmelo Guarneri Matrice associée
:
Pour la rotation d'angle θ :
(
cos(θ) −sin(θ) sin(θ) cos(θ))
III. Transformations dans l'espace et matrices associée
On notera C (e1, e2, e3) la base canonique de ℝ3
a. Homothéties
Soit u∈ℝ3 et h l’homothétie de rapport λ ,
on a h(
(
100)
)=(
λ00)
et h((
010)
)=(
0λ0)
h((
010)
)=(
0λ0)
Donc la matrice de h sera : MatC , C(h) =
(
λ00 0λ0 0λ0)
= λ(
1 0 00 1 00 0 1)
= λI3b. Symétrie centrale
Soit u∈ℝ2 et h l’homothétie de rapport -1, on a h(
(
10)
)=(
−10)
et h((
01)
)=(
−01)
Donc la matrice de h sera
: MatC , C(h) =
(
−01 −10)
= −(
1 00 1)
= −I2c. Symétrie orthogonale
Matrice associée
:
Pour la symétrie par rapport à Vect(e1, e2) dans ℝ3 :
(
1 00 10 0 −100)
d. Rotations en dimension 3 autour de l'axe (Ox)
Dans un espace vectoriel de dimension 3, une rotation est une application linéaire qui fait
« tourner » un vecteur autour d'une droite vectorielle qu'on appelle son axe, ce qui a pour effet de changer sa direction. Dans ce cas une rotation est caractérisée par son angle et par son axe de rotation.
Matrice associée
:
Pour la rotation d'angle θ et d'axe (Ox) :
(
10 cos0 sin0(θ)(θ) −sincos0(θ)(θ))
31
