T RAVAUX D IRIGÉS EC

(1)

T RAVAUX D IRIGÉS EC

₃

b

Exercice 1 :Comportement deCetLen RP et à l’instant initial.

Que vaut l’intensité du courant dans les différentes branches àt= 0⁺sachant qu’on ferme l’inter- rupteurK àt= 0dans les deux premiers circuits alors qu’on l’ouvre àt = 0dans le dernier?

Même question en régime permanent.

-

E^û

û

i

K

R

ÿ

ù

iR

R

ÿ

ù

iC

C

Circuit 1

-

E^û

û

i

K

ÿ

R₂

ù

iL

L

ÿ

ù

iC

C

R1

Circuit 2

/ û

η

ú

i

ÿ

R₂

C

ø

iC

ÿ ù

iL

L

R1

ÿ

K

ÿ

Circuit 3

Pour déterminer les conditions initiales , on représente chaque circuit àt = 0⁻ puis àt = 0⁺ en tenant compte de la continuité de la tension aux bornes des condensateurs et de l’intensité du courant dans les bobines.

• uC(0⁻) = uC(0⁺) = U0 ⇒, le condensateur est équivalent à un générateur idéal de tension U0 (un interrupteur fermé dans le cas usuel oùU0 = 0: condensateur déchargé).

• iL(0⁻) = iL(0⁺) = I0 ⇒, la bobine est équivalente à un générateur idéal de courantI0 (un interrupteur ouvert dans le cas usuel oùI0 = 0: pas de courant dans la branche).

Pour le régime permanent, on remplace les condensateurs par des interrupteurs ouverts (iC = C.^du_dt^C = 0) et les bobines par des interrupteurs fermés (uL=L.^di_dt^L = 0).

Une fois les circuits simplifiés, on utilise les lois étudiées lors du chapitre précédent.

Circuit 1

-

E^û

û

i

K

R

ÿ

ù

iR

R

ÿ

ù

iC

C

t= 0⁻,uC(0⁻) = 0

-

E^û

û

i

K

R

ÿ

ù

iR

R

ÿ

ù

iC

C

t= 0⁺,uC(0⁺) = 0

-

E^û

û

i

K

R

ÿ

ù

iR

R

ÿ

ù

iC

C

t→ ∞,iC(∞) = 0

Àt = 0⁺, le résistor de droite est court circuité, aucun courant ne le traverse etiR(0⁺) = 0. On se retrouve avec un circuit équivalent à une seule maille et la loi de Pouillet donnei(O⁺) =iC(0⁺) =

E R.

Pour t → ∞, aucun courant ne traverse le condensateur, iC(∞) = 0. On se retrouve à nouveau avec un circuit équivalent à une seule maille et la loi de Pouillet donne cette foisi(∞) =iR(∞) =

E 2R.

(2)

Circuit 2

-

E^û

û

i

K

ÿ

R2

ù

iL

L

ÿ

ù

iC

C

R1

t= 0⁻,uC(0⁻) = 0,iL(0⁻) = 0.

-

E^û

û

i

K

ÿ

R2

ù

iL

L

ÿ

ù

iC

C

R1

t= 0⁺,uC(0⁺) = 0,iL(0⁺) = 0.

-

E^û

û

i

K

ÿ

R2

ù

iL

L

ÿ

ù

iC

C

R1

t→ ∞,iC(∞) = 0,uL(∞) = 0.

Àt = 0⁺, le résistor R2 est dans une branche ouverte, on a donc iL(0⁺) = 0, on se ramène à un circuit équivalent à une seule maille et d’après la loi de Pouillet,i(0⁺) =i_C(0⁺) = _R^E

1.

En régime permanent, c’est le condensateur qui est équivalent à un interrupteur ouvert (iC(∞) = 0), on se ramène à un circuit équivalent à une seule maille et d’après la loi de Pouillet on a cette foisi(∞) =iL(∞) = _R₁^E_+R₂.

Circuit 3

/ û

η

ú

i

ÿ

R2

C

ø

iC

ÿ ù

iL

L

R1

ÿ

ù

η

K

ÿ

t= 0⁻,iL(0⁻) = 0,uC(0⁻) = 0

/ û

η

ú

i

ÿ

R2

C

ø

iC

ÿ

ù

iL

L

R1

ÿ

K

ÿ

t= 0⁺,uC(0⁺) = 0,iL(0⁺) = 0.

/ û

η

ú

i

ÿ

R2

C

ø

iC

ÿ

ù

iL

L

R1

ÿ

K

ÿ

t→ ∞,uL(∞) = 0,iC(∞) = 0.

Pour t < 0⁻, K est fermé et la partie située à droite du générateur de courant est court circui- tée : tout le courant passe parK fermé et toutes les intensités et tensions sont nulles à droite du générateur.

Àt= 0⁺,iL(0⁺) = 0et le générateur imposei(0⁺) = iC(0⁺) =η.

En régime permanent,iC(∞) = 0etiL(∞) =i(∞) =η.

Exercice 2 :Détermination rapide de la réponse d’un circuit On considère les quatre circuits suivants :

-

E^û

r

ÿ

C ^û

u_C

ÿ

R

Circuit 1

/ û

η

ÿ ú

i_C

C

ÿ

R

Circuit 2

/ û

η

ÿ ú

i_L

L

ÿ

R

Circuit 3

-

E ^û

r

ÿ

L ^û

u_L

ÿ

R

Circuit 4 Pourt <0,E etηsont nuls et pourt>0, ils sont constants.

Àt= 0⁻, les condensateurs sont déchargés et les bobines ne sont parcourues par aucun courant.

Déterminer les réponsesuC(t),iC(t),iL(t)etuL(t).

Plutôt que de se lancer dans les calculs, on peut essayer de se ramener à un circuit étudié en classe en utilisant les transformations Thévenin↔ Norton. On pourra en déduire l’équation dif- férentielle et en déduire l’expression cherchée en tenant compte des conditions initiales.

(3)

Circuit 1

-

E^û

r

ÿ

C ^û

uC

ÿ

R

↔

/ û

E r

ÿ

r

ÿ

R

ÿ

C ^û

uC

↔

-

ETh^û

rTh

C ^û

uC

On se ramène au circuit du cours avec les mêmes conditions initiales d’oùuC(t) = ETh[1−e⁻^τ^t] avecE_Th = _R+r^RE etτ =R_Th.C oùR_Th = _R+r^Rr .

Circuit 2

/ û

η

ÿú

iC

C

ÿ

R

↔

-

ETh^û

R

ú

iC(t)

C ^û

uC

On se ramène au circuit du cours avec les mêmes conditions initiales d’où iC(t) = C.^du^C_dt^(t) = ^E_R^The⁻^τ^t avecETh =Rηetτ =RC.

Circuit 3

/ û

η

ÿú

iL

L

ÿ

R

↔

-

ETh^û

R

ú

iL(t)

L

On se ramène au circuit du cours avec les mêmes conditions initiales d’où iL(t) = ^E_R^Th[1−e⁻^τ^t] avec E_Th = Rη et τ = _R^L.

Circuit 4

-

E^û

r

ÿ

L ^û

uL

ÿ

R

↔

/ û

E r

ÿ

r

ÿ

R

ÿ

L ^û

uL

↔

-

ETh^û

rTh

L ^û

uL

On se ramène au circuit du cours avec les mêmes conditions initiales d’où uL(t) = L^di(t)_dt = ETh[e⁻^τ^t]avecETh = _R+r^RE etτ = _r^L_Th oùrTh = _R+r^Rr .

Exercice 3 :Réponse d’un circuitRC à un échelon de tension.

-

E^û

R

ÿ

C ^û

u

ú

i(t)

K

R

Soit le montage représenté ci-contre. Pourt < 0, le circuit est en régime permanent, c’est à dire que le générateur de tension est allumé depuis longtemps etK ouvert depuis longtemps.

On fermeK àt= 0.

1. Donner les valeurs initialesi(0⁻),i(0⁺)et la valeur finale i(∞)dei(t).

2. Détermineri(t).

3. Tracer son allure.

1. Représentons (ci-dessous à gauche) le circuit juste avant t = 0⁻ c’est à dire en régime permanent et avecKouvert. Le condensateur est alors équivalent à un interrupteur ouvert.

On voit clairement quei(0⁻) = 0.

(4)

-

E^û

ú

0

R

ÿ

C ^û

u

ú

0

K

R

àt= 0⁻

-

E^û

ú

i(∞)

R

ÿ

C

ú

i(∞)

K

R

àt→ ∞

-

E^û

ú

i+iC

R

ÿ

ù

iC

C ^û

u

ú

i(t)

K

R

Pour détermineri(0⁺), on doit utiliser une grandeur qui ne peut pas subir de discontinuité : la tensionuaux bornes du condensateur.

Àt= 0⁻, une loi des mailles donneE−R.0−u= 0d’oùu(0⁻) =E. Àt= 0⁺,Kest fermé, le condensateur est en parallèle avec le résistorRtraversé parid’oùu(0⁾=Ri(0⁺).

On en déduitu(0⁻) =E =u(0⁺) =R.i(0⁺)⇒i(0⁺) = ^E_R : on a discontinuité dei(t)àt= 0.

Pour fini, quandt → ∞le circuit est à nouveau en régime permanent, C est équivalent à un interrupteur ouvert mais cette fois,K est fermé (ci-dessus au centre).

On se ramène ainsi à un circuit à une maille et la loi de Pouillet donne directementi(∞) =

E 2R.

2. Pour détermineri(t)on commence par établir l’équation différentielle du circuit (premier ordre)

Pour introduire le minimum d’inconnues, on commence par écrire la loi des nœuds sur le circuit (figure ci-dessus à droite). La loi des mailles donneE−R(i(t) +iC(t))−Ri(t) = 0en posanti_C(t)l’intensité qui traverse le condensateur. On a une équation eni(t)mais il reste iC(t)que l’on exprime en fonction dei(t) en remarquant que commeR (traversé par i(t)) est en parallèle avecC, on au(t) =Ri(t)aveciC(t) =C.^du(t)_dt =RC^di(t)_dt .

En reportant dans la loi des mailles, on établitE−2Ri(t)−R²C^di(t)_dt = 0 ⇒ ^di(t)_dt +^2i(t)_RC = _R^E2C

et sous la forme canonique, ^di(t)_dt +^i(t)_τ = _2Rτ^E avecτ = ^RC₂ .

La solution de cette équation est de la formei(t) =A.e⁻^τ^t +_2R^E (on remarque que la solution particulière correspond au régime permanent).

i(t)

t

E R E 2R

τ On détermine enfin la constante A en utilisant la condition

initiale : i(0⁺) = Ê_R = A+ _2RÊ d’oùi(t) = _2RÊ [1 +e⁻^τ^t] avec τ = ^RC₂ .

3. On trace l’allure dei(t)en précisant la valeur initiale, l’asymptote et la tangente à l’origine (qui coupe l’asymptote en t = τ).

b

Exercice 4 :Charge puis décharge

On considère un circuitRC série branché à un générateur de tension idéal de f.é.m.E0. Àt = 0, on allume le générateur qui était éteint depuis longtemps. Au bout d’un temps t₁, on éteint le générateur (on admettra alors que la tension à ses bornes devient nulle).

Numériquement :R = 1,00kΩ; C = 5,00µF;t1 = 15s etE0 = 2,0V.

1. Comment interpréter « qui était éteint depuis longtemps » en terme de conditions initiales pour la tensionuaux bornes du condensateur?

2. On s’intéresse à la charge du condensateur. Établir l’équation différentielle à laquelle obéit la tension aux bornes du condensateur et la résoudre complètement (c’est-à-dire en tenant compte des conditions initiales). On fera apparaitre une constante de tempsτ.

3. Tracer le graphique correspondant.

(5)

4. Comparert1 etτ. Sans calculatrice, que vautu(t⁻₁)?

5. Déterminer la fonctionu(t)pourt > t1 et tracer le graphique correspondant. On fera tout particulièrement attention aux conditions initiales.

1. complètement déchargé grâce/à cause de sa résistance de fuite. tension nulle.

2. cf coursu˙ + ¹_τu= ¹_τE0avecτ =RC.u(06t 6t1) =E0(1−exp(−t/τ) 3. cf cours.

4. τ ≪t1. On en déduit que l’on a atteint le régime permanent et donc queu=E0.

5. il faut ici être prudent car la condition initiale est en t1 6= 0. u˙ + _τ¹u = 0. L’équation est homogène et la solution générale est Ae^−t/τ. On utilise les conditions initiales : u(t1) = E₀ ⇒ Ae⁻^t¹^/τ = E₀ d’où A = E₀e^t¹^/τ et finalementu(t) = E₀e⁻^(t⁻^t¹^)/τ. La courbe est la même que dans le cours mais décalée det1vers la droite.

b

Exercice 5 :Étincelle de rupture Soit le circuit représenté ci-contre.

-

E ^û

ÿ

K

ÿ

R

ø

u(t)

ú

i(t)

L

r

1. Quelle est la valeur de l’intensitéi(0)dans le circuit sachant que le courant est établi depuis longtemps et K fermé ?

2. On ouvreKàt= 0.

Détermineri(t)et tracer son allure.

Que se passe-t-il siRdevient très grande ? 3. Détermineru(t)et tracer son allure.

Que se passe-t-il siRdevient très grande ?

1. Pour déterminer la valeur initiale dei(t), on représente le circuit àt= 0⁻, c’est à dire avec K fermé et en régime permanent. On peut alors remplacer la bobine par un interrupteur fermé (circuit ci-dessus) et Quelle est la valeur de l’intensitéi(0)dans le circuit sachant que le courant est établi depuis longtemps etKfermé ?

-

E ^û

ÿ

K

ÿ

R

ø

u(0⁻)

ú

i(0⁻)

L

r

àt= 0⁻

-

E ^û

ÿ

K

ÿ

R

ø

u(t)

ú

i(t)

L

r

àt

-

E ^û

ÿ

K

ÿ

R

ø

u(t)

ú

i(t)

L

r

pourt→ ∞

Le résistor étant court circuité, on a simplementi(0⁻) = ^E_r.

L’intensité du courant qui traverse une bobine ne peut pas subir de discontinuité, on a donci(0⁺) =i(0⁻) = ^E_r.

2. On ouvre K à t = 0, l’application de la loi des mailles donne alors (circuit ci-dessus au centre)E−Ri(t)−L^di(t)_dt −ri(t) = 0 ⇒ ^di(t)_dt + ^i(t)_τ = ^E_L avecτ = _R+r^L

(6)

On vérifie au passage que la solution particulière correspond au régime permanent (K ouvert etLassimilable à un interrupteur fermé : circuit ci-dessus à droite).

On détermine la constante A en utilisant la condition initiale : i(0⁻) = ^E_r = i(0⁺) = A +

E

R+r ⇒A= Ê_r −_R+rÊ eti(t) = _R+rÊ + (Ê_r − _R+rÊ ) exp(−_τ^t)avecτ = _R+r^L .

On trace l’allure dei(t)en précisant la valeur initiale, l’asymptote et la tangente à l’origine.

i(t)

t

E R E R+r

τ

PourR ≫r i(t)

t

E r

E R+r τ

PourR≫r u(t)

t

RE r ↑

RE R+r

SiR→ ∞,τ →0etipasse très rapidement de ^E_r à_R+r^E →0, on tend vers une discontinuitéτ deidans la bobine.

3. On a simplementu(t) = Ri(t) = _R+r^RE + (^RE_r − _R+r^RE) exp(−_τ^t) avec τ = _R+r^L et si R → ∞, u(0⁺) = ^RE_r → ∞, une très grande tension apparaît aux bornes de l’interrupteur, cela peut conduire à l’apparition d’une étincelle (dite "étincelle de rupture") lors de l’ouverture d’un circuit inductif.

Exercice 6 :Mesure d’une résistance par la méthode de “perte de charge”.

Pour mesurer une résistance R élevée de plusieurs mégaohms, on réalise le montage électrique ci-dessous oùC est un condensateur réel de résistance de fuiteRf non représentée sur la figure, on donneC = 10µF.

"

ÿ0

C,R_f

ÿ

R

ÿ

2

ÿ

V

ÿ

1

-

U₀^û

• On abaisse l’interrupteur double en position 1 ; lorsque le condensateur est chargé, le voltmètre numérique V (supposé parfait) indique la tensionU0 = 6,00V.

• On ouvre l’interrupteur (position intermédiaire); au bout du tempst1 = 20s, le voltmètreV indiqueU1 = 5,10V.

• On charge de nouveau le condensateur sous la tension U0(interrupteur dans la position 1) puis on l’abaisse brus- quement dans la position 2 ; au bout du tempst2 = 20s, le voltmètre indiqueU2 = 4,60V.

1. En déduire les valeurs de la résistance de fuiteR_f du condensateur et de la résistanceR.

2. Dans la dernière expérience, déterminer à quel instant le condensateur est déchargé de la moitié de son énergie initiale ?

Le condensateur réel est équivalent à un condensateur idéal de capacité C en parallèle avec un résistor de résistanceRf.

1. Tant que l’interrupteur est en position 1, on charge le condensateur.

(7)

C

ÿ

ù

i

Rf

ÿ

ø

0 A

V

û

uC(t)

On prend l’origine des temps au moment où on ouvre l’interrupteur, le circuit est alors en régime libre et équivalent à celui repré- senté ci contre.

Le condensateur se décharge dansRf avec la constante de temps τ =RfC.

On peut retrouver l’équation différentielle à l’aide d’une loi des

mailles (le voltmètre étant parfait, aucune intensité ne le traverse) :R_f.i(t)−u_C(t) = 0avec i(t) =−C.^du_dt^C^(t) d’où ^du_dt^C^(t) + ^u^C_τ^(t) = 0.

La solution estu_C(t) = A.e⁻^τ^t et par continuité deu_C(t), u_C(0⁻) = U₀ = u_C(0⁺) = Ad’où finalementu(t) =U0.e⁻^τ^t. L’énoncé nous indique qu’àt1 = 20s,uC(t =t1) =U1 =U0.e⁻^t1^τ

⇒τ = ^t¹

ln^U0_U1 =R_fCet finalement,R_f = ^t¹

Cln^U0_U1 ≃12,3MΩ.

ÿ

C

ÿ

Rf

ÿ

ø

0 A

ÿ

V

ÿ

û

uC(t)

R

↔

C

ÿ

ù

i

R_eq

ÿ

ø

0 A

V

û

uC(t)

Si on bascule l’interrupteur en position 2 après avoir rechargé le condensateur, on se ramène au circuit re- présenté ci-contre.

Après association des deux résistors en parallèle, on se ramène au cas précédent etR_éq = ^t²

Cln^U0_U2 ≃ 5,2MΩavec _R¹

éq = _R¹ +_R¹

f d’oùR ≃19,4MΩ.

2. L’énergie E_C(t) contenue dans un condensateur aux bornes duquel la tension est u_C(t) s’exprime sous la formeEC(t) = ¹₂CuC(t)².

On cherchet3tel que ^E_E^C^(t³⁾

C(0) = ¹₂ ⇒2×¹₂CuC(t3)² = ¹₂CU₀² ⇒uC(t3) = ^√¹₂U0avecuC(t3) =U0.e⁻

t3 τéq

avecτéq =Réq.C = ^RR_R+R^f^C

f. On en déduitt3 =τéqln√

2 = ^RR_R+R^f^C

f ln√

2≃26,0s.

Exercice 7 :Charge d’un condensateur à courant constant i

t I0

T 0

/

ú

i

C ^û

u_C

Le générateur de courant supposé parfait fournit le courant correctionrésenté sur la figure.

Le condensateur est initialement déchargé.

1. Calculer et tracer l’allure de la tensionu(t) aux bornes du condensateur.

2. Comparer l’énergie fournie par le générateur et l’énergie reçue par le condensateur.

1. Sit6T,u= Î_C⁰tett >T,u= Î_C⁰T. 2.EG= Î⁰²_2C^T² etEC =EG.

Exercice 8 :Décharge d’un condensateur dans un autre condensateur

À l’instantt = 0, l’interrupteur K ferme le circuit où le condensateur de gauche a été préalable- ment chargé sous la tensionU0 et le condensateur de droite identique est déchargé.

On appelleq1(t)etq2(t)les charges respectives des condensateurs à l’instantt(voir dessin).

On choisit le sens positif pour le courant indiqué sur la figure.