T RAVAUX D IRIGÉS EC

(1)

T RAVAUX D IRIGÉS EC

₂

b

Exercice 1 :Ponts diviseurs de tension

Utiliser les formules des diviseurs de tension pour déterminer la tensionUaux bornes deR3dans les montages suivants.

-

E ^û

R1

ÿ

R2

ÿ

R3

û

U

Circuit 1

-

E ^û

R1

ÿ

R2

ÿ

R3

ÿ

R₄

ÿ

û

U

Circuit 2

Pour utiliser les formules des diviseurs de tension, il faut se ramener à ce type de ponts. On doit donc faire apparaître des résistors en série (parcourus par le même courant).

-

E^û

R1

ÿ

R2

ÿ

R3

û

U

Circuit 1

↔ -

E^û

R1

Réq

û

U

-

E^û

R1

ÿ

R2

ÿ

R3

ÿ

R4

ÿ

û

U

Circuit 2

↔ -

E^û

R^′_éq

Réq

û

U

Circuit 1 :u= _R^R^éq

éq+R1E avecRéq = _R^R²^R³

2+R3

⇒u= _R ^ER²^R³

1R2+R2R3+R1R3

Circuit 2 :u= _R_éq^R_+R^éq′

éqE avecRéq = _R^R₂²_+R^R³₃ etR^′_éq = _R^R₁¹_+R^R⁴₄ ⇒u= _R₂_R₃_(R^ER₁_+R²^R₄³_)+R^(R¹₁^+R_R₄⁴_(R⁾₂_+R₃₎

b

Exercice 2 :Ponts diviseurs de courant

Utiliser les formules des diviseurs de courant pour déterminer l’intensité du courantI qui tra- verseR3dans les montages suivants.

On pourra noterG_i = _R¹_i la conductance du résistorR_i.

/ û

η

ÿ

R1

ÿ

R2

ÿ

ù

I

R3

Circuit 1

/ û

η

R4

ÿ

R1

ÿ

R2

ÿ

ù

I

R3

Circuit 2

-

E ^û

R4

ÿ

R1

ÿ

R2

ÿ

ù

I

R3

Circuit 3

Pour utiliser les formules des diviseurs de courant, il faut se ramener à ce type de ponts. On doit donc faire apparaître des résistors en parallèle (soumis à la même tension).

• Circuit 1 : on a directement un pont diviseur de courant etI = _G₁_+G^G³₂^η_+G₃.

• Circuit 2 : la présence deR4 ne modifie en rien la valeur du courant ηqui alimente le pont.

On a donc égalementI = _G₁_+G^G³₂^η_+G₃.

• Circuit 3 : on doit transformer le circuit pour faire apparaître le courant qui alimente le pont :

-

E ^û

R⁴

ÿ

R¹

ÿ

R²

ÿ

ù

I

R³

Circuit 3

↔ / û

E R4

ÿ

R⁴

ÿ

R¹

ÿ

R²

ÿ

ù

I

R³

(2)

On a ainsiI = _G₁_+G₂^G_+G³ ₃_+G₄_R^E₄ = _G₁_+G^G³₂^G_+G⁴^E₃_+G₄ Exercice 3 :Ponts diviseurs de tension

Dans les quatre circuits suivants, écrireU en fonction deU1 ouU2 et des résistances à l’aide de ponts diviseurs de tension.

R¹

ÿ

R²

R3

R4

ÿ

R5

R6

û

U1

û

U2

ú

Circuit 1 U

ÿ

R¹

ÿ

R2

R3

ÿ

R4

ÿ

R5

û

U1

û

U2

ø

Circuit 2 U

ÿ

R¹

R2

R3

R⁴

ÿ

R5

R6

R⁷

û

U2

û

U1

û

U

Circuit 3

ÿ

R¹

ÿ

R²

ÿ

R3

ÿ

R⁴

û

U2 ^û

U

ø

U1

Circuit 4

Par définition, un pont diviseur de tension est constitué de résistors parcourus par le même courant (en série sur la même branche).

On cherche donc une telle association sur les différents circuits proposés.

À défaut, on associe des résistors pour obtenir un pont diviseur de tension.

• Circuit 1 :R2,R3 etR4 sont en série.U2 est la tension aux bornes de l’ensemble etU est celle aux bornes deR₂. On en déduit directementU = _R ^R²

2+R3+R4U₂.

ÿ

R1

ÿ

R⁶

ÿ

R⁴

ÿ

R⁵

û

U¹

û

U²

ø

Circuit 2’ U

• Circuit 2 : en associantR2 etR3, on se ramène au circuit 2’ pour lequel R1, R6 = R2//R3 et R4 sont en série. U1 est la tension aux bornes de l’ensemble etUest celle aux bornes deR1. Comme par ailleursU etU1

sont en opposition, on en déduitU =− ^R¹

R1+R6+R4U₁ avecR₆ = _R^R²^R³

2+R3.

• Circuit 3 :R1,R2,R3etR4sont en série.U2est la tension aux bornes de l’ensemble et U est celle aux bornes deR3. On en déduit directement U = _R₁_+R₂^R_+R³ ₃_+R₄U2.

R5

R⁶

û

U2

û

U

ø

U1

Circuit 4’

• Circuit 4 : on associe R₁//R₂ = R₅ et R₃//R₄ = R₆ pour obtenir le circuit 4’. Ainsi, R5 et R6 sont en série.U2 est la tension aux bornes de l’ensemble etU est celle aux bornes deR5. On en déduitU = _R₅^R_+R⁵ ₆U2

avecR5 = _R^R₁¹_+R^R²₂ etR6 = _R^R₃³_+R^R⁴₄.

b

Exercice 4 :Mesure de la résistance de sortie d’un GBF

On a représenté un générateur de tension réel par son équivalent Thévenin (E,r). On cherche à mesurerr, la résistance interne de ce générateur, sa force électromotrice étantE connue.

-

E

r

ÿ

û

ÿ û

U

K

R

1. Dans un premier temps, on mesure U, la tension à ses bornes lorsque l’interrupteurK est ouvert. Quelle est, en fonction des données, la valeur de la tension U0 mesurée ? Le voltmètre est parfait.

2. On ferme ensuiteK.Rest un résistor de résistanceR variable.

Quelle est, en fonction des données, la valeur de la tension U mesurée ?

3. Pour quelle valeur de R obtient-on U = ^U₂⁰? En déduire une méthode de mesure de r.

Quelle est l’ordre de grandeur de la valeur mesurée sur les GBF utilisés en TP?

(3)

-

E

r

ú

I

ÿ

û

ÿ

û

U

K

R

1. Premier temps :Kest ouvert,I = 0et une loi des mailles donneE−r×0−U = 0⇒U =U0 =E.

Le voltmètre indique donc la force électromotrice (ou tension à vide du générateur : aucun courant débité).

2. Deuxième temps :K fermé,ret R sont traversés par le même courant et la formule des ponts diviseurs de tension donne directementU = _R+r^R E = _R+r^R U0.

3. On obtientU = ^U₂⁰ ⇒ ^R

R+rU0 = ^U₂⁰ ⇒R =r.

Pour mesurer r en TP, on mesure la fem du GBF à l’aide du voltmètre (idéal) qu’on branche directement à ses bornes (par exemple, E = U0 = 2,0 V). On place ensuite un résistor R de résistance variable (boite à décade) à ses bornes comme indiqué sur la figure. Le voltmètre, placé aux bornes deR indiqueU = _R+r^RU⁰ 6 U₀ et on modifieR jusqu’à obtenirU = ^U₂⁰ (par exemple 1,0 V). On a alorsr =Ret il suffit de lire la valeur de la résistance de la boite à décade.

L’ordre de grandeur est de 50Ω.

Exercice 5 :Mesure de la résistance d’entrée d’un voltmètre

Soit le montage représenté ci-contre. Le voltmètre réel peut être est modélisé (figure de droite) par un résistor de résistanceRV (résistance d’entrée).

- û

E

R

K

V

û

U

- û

E

R

K

RV

û

U 1. L’interrupteurKest tout d’abord fermé.

Quelle est la valeur de la tension affi- chée par le voltmètreU =U0?

2. On ouvre ensuiteK, quelle est la valeur indiquée si le voltmètre est équi- valent à un résistor de résistanceRV ?

Exprimer alorsU en fonction deE,RetRV. Que devient ce résultat si le voltmètre est idéal, c’est à dire équivalent à un résistor de résistance infinie ?

3. Pour quelle valeur deRa-t-onU = ^U₂⁰? En déduire une méthode de mesure deRV.

4. En pratique, pour un voltmètre numérique, on se contentera plutôt d’obtenirU = ₁₀⁹ U0. Expliquer pourquoi.

1. SiKest fermé, le résistorRest court-circuité, la tension à ses bornes est nulle et une loi des mailles (sens horaire) donneE −0−U = 0⇒ U = U₀ = E : le voltmètre affiche la valeur de la force électromotrice du générateur.

- û

E

R

ø

0 V

R_V

û

U0

Kfermé

- û

E

R

K

R_V

û

U

K ouvert

- û

E

R

ø

0 V

K

ú

0 A

R_V → ∞

û

U

Kouvert, voltmètre idéal.

2. Comme K est ouvert, R et RV sont en série, on reconnaît un pont diviseur de tension et U = _R+R^R^V_VE = _R+R^R^V_VU0inférieur àU0 : on observe une chute de tension quand on fermeK. Dans le cas où le voltmètre est idéal,R_V → ∞etR+R_V ≃R_V d’oùU = _R+R^R^V_VU₀ ≃ ^R^V

RVU₀ = U0 : on retrouve la valeur initiale.

(4)

3. On résoutU = ^U₂⁰ ⇒ ^R^V

R+RVU0 =U0 ⇒R=RV.

La méthode de mesure de R_V est alors la suivante : on utilise une alimentation stabilisée délivrant la tension E et on construit le circuit représenté en utilisant une boite de résis- tances variables (boite à décades par exemple) pourRV. On fermeKpour mesurerU0 =E (le voltmètre indique 2,0 V par exemple). On ouvre ensuite K et on fait varier R jusqu’à ce que le voltmètre indique U = ^U₂⁰ (1,0 V par exemple). On n’a plus qu’à lire la valeur affichée sur la résistance variable car on aRV =R.

4. En pratique, pour un voltmètre numérique,RV est très grand (de l’ordre de 10 à 100 MΩ) alors que les boites à décade utilisées en TP ont une valeur maximale de 1 MΩ.

On n’obtiendra pas une diminution de U d’un facteur deux au voltmètre mais de 10 % : U = ₁₀⁹ U0dès queR= ^R₉^V.

Exercice 6 :Mesure de la résistance d’entrée d’un ampèremètre

- û

E

R0

ÿ

K

R

ÿ

ú

I

A

On considère le montage représenté ci-dessous avec R une ré- sistance variable. On gardera toujoursR ≪R₀.

1. Lorsque l’interrupteurKest ouvert, quelle est l’intensitéI0me- surée par l’ampèremètre si on suppose qu’il est équivalent à un résistor de résistanceRA≪R0?

2. K est maintenant fermé.

(a) Montrer que le courant débité par le générateur est quasiment égal àI₀.

On rappelle queR ≪ R₀ et on supposera l’ampèremètre équivalent à un résistor de résistanceRA≪R0.

(b) Pour quelle valeur deR, l’intensité du courant mesurée vaut-elle ^I₂⁰ ? (c) En déduire une méthode pour mesurerRA.

3. Quelle est l’utilité de prendreR0 ≫RetRA?

1. Premier temps :K ouvert, l’ampèremètre est équivalent à un résistor de résistanceR_A ≪ R0.

On a affaire à l’équivalent d’un circuit à une seule maille (K ouvert) et par utilisation de la loi de Pouillet,I =I0 = _R₀_+R^E _A ≃ ^E

R0.

- û

E

R0

ÿ

K

R

ÿ

ú

I0

R_A

Kouvert

- û

E

R0

ú

I₀^′

ÿ

K

R

ÿ

ú

I

R_A

K fermé

↔

- û

E

R0

ú

I₀^′

R_éq

Kfermé, circuit équivalent.

2. K est maintenant fermé.

(a) SoitI₀^′ le courant débité par le générateur. En associantRetRAmontés en parallèle en un résistor de résistanceRéq = _R+R^RRÂ_A, on peut écrire I₀^′ = _R₀_+RÊ _éq (loi de Pouillet) mais commeRetRAsont très inférieurs àR0,R_éq ≪R0etI₀^′ ≃ Ê

R0 =I0

(b) Circuit ci-dessus au centre, on reconnaît un pont diviseur de courant et l’ampèremètre est traversé par le courantI = _G^G_A_+G^A I₀^′ ≃ ^G^A

GA+GI0 = _R_A^R_+RI0etI = ^I₂⁰ siR =RA.

(5)

(c) En TP, pour mesurer RA, on construit le circuit à l’aide d’une alimentation stabilisée (E = 2,0V par exemple), d’un résistor de résistance connue (R0 = 1kΩpar exemple), d’une résistance variable (boite à décade) et de l’ampèremètre.

On mesureI =I0 pourK ouvert (2 mA par exemple) puis on fermeK et on modifieR jusqu’à obtenirI = ^I₂⁰ à l’ampèremètre (1 mA par exemple).

3. Le fait d’utiliser R0 très grand par rapport aux autres résistances du circuit permet de transformer l’alimentation stabilisée en série avec R0 en l’équivalent d’un générateur de courant idéal.

Exercice 7 :Voltmètre réel

On considère le montage ci-dessous dans lequelRest une résistance variable.

Le voltmètre V mesure la tension aux bornes deR.

/ û

η

ÿ

R ^û

U

ÿ

V

1. Quelle est la tension U0 affichée si le voltmètre est idéal (c’est à dire si sa présence ne modifie en rien les grandeurs électriques pré- sentes dans le circuit.)

2. On considère maintenant que le voltmètre est modélisé par un ré- sistor de résistanceRV (sa résistance d’entrée).

(a) Quelle est la tensionU affichée par le voltmètre ?

(b) À partir de quelle valeur deRla tension affichée par le voltmètre s’écarte-t-elle de plus de 5 % deU0?

1. Si le voltmètre est idéal, aucun courant ne le parcourt (IV = _R^U

V

→ 0), le résistor est donc traversé par le courantηet la tension à ses bornes en convention récepteur estU =R.η.

2. Le voltmètre est modélisé par un résistor de résistanceR_V (sa résistance d’entrée).

/ û

η

ÿ

R ^û

U

ÿ

ú

IV

V

↔

/ û

η

ÿ

R ^û

U

ÿ

ú

IV

RV

(a) Cette fois, seule la partieI =η−IV < η du courant η traverse R. La tension à ses bornes est donc U = RI avec I =

G

G+GVη= _R^R_V^V_+Rηd’après la formule des ponts diviseurs de courant. On a donc U = _R+R^RR^V

Vη = _R+R^R^V

VU₀ et on vérifie que U →U0 siRV ≫R.

(b) CommeU = _R+R^R^V

VU₀ < R.η=U₀, la seule présence du voltmètre perturbe la mesure.

On cherche la valeur deR à partir de laquelle l’écart relatif est supérieur à 5 % telle que ^|U−U_U ⁰^| avecU = ^U+U₂ ⁰ et2.^|U−U_U+U⁰₀^| = 2.^U_U+U⁰^−U₀ >5%⇒2._1+U/U^1−U/U⁰₀ > ⁵

100 ⇒ ¹⁻

RV R+RV

1+_R+^RV_RV > ⁵

200 ⇒ ^R

2RV+R > ¹

40

soit40RV >2RV +Ret finalement,R > ₃₉²R ≃ ^R^V

20.

SiRprend une valeur supérieure à un vingtième deRV, l’erreur n’est plus négligeable.

Pour un voltmètre numérique,RV est au moins égale à 10 MΩce qui limiteRen environ 500 kΩ.

Exercice 8 :Application des théorèmes généraux

(6)

-

E1 ^û

R₁

ÿ

ù

I

R

ÿ

û

η

/

ÿ

R2

- û

E₂

A

B Calculer l’intensité I du courant qui traverse R

dans le circuit suivant, en utilisant successivement.

1. Les lois de Kirchhoff (on se contentera d’un système d’équations).

2. La loi des nœuds en terme de potentiels.

3. La simplification du circuit. On pourra utiliser le fait que les deux modèles de

générateurs réels (Thévenins (E,R)et Norton(η,R)) sont équivalent à condition de poser η=E/R.

-

E1 ^û

û

I1

R1

ÿ

ù

I

R

ÿ

û

η

/

ÿ

R2

- û

E2

û

I−I1−η

A

B

1. Lois de Kirchhoff : on pose I1 l’intensité du courant débitée par le générateur de tension idéalE₁ et on applique directement la loi des nœuds en C pour limiter le nombre d’inconnues : on lieu d’introduireI2l’intensité du courant débitée parE₂, on écritI₂ =I−I₁−ηsur cette branche. On a alors 2 inconnues (I1 etI2) et il suffit décrire deux lois des mailles.

Comme on ne connaît pas la tension aux bornes du générateur de tension η, il serait mal- adroit de prendre une maille passant par ce dipôle. On travaillera donc sur la maille de gauche (maille (1) passant par e1, R1 et R) et la maille (2) passant par E2, R et R2. En les orientant dans le sens horaire pour (1) et trigonométrique pour (2), on écrit :

( E₁−R₁I₁−RI = 0 E2−RI−R2(I−I1− système de deux équations à deux inconnues dont on peut extraireI.

2. On peut également utiliser la loi des nœuds en terme de potentiels. Pour cela, on commence par poser un nœud à la masse (on fixe ainsi l’origine des potentiels électriques). Prenons par exemple VB = 0.

On a alorsI = ÛÂB_R = ^VÂ^−V_R ^B = ^V_RÂ.Tout le problème est ainsi de trouver l’expression deVA. Pour cela, on applique la loi des nœuds en termes de potentiels enA:

0−VA+E1

R1

+0−VA

R +η+0−VA+E2

R2

= 0 ⇒VA=

E1

R1 +η+^E_R²

2

1

R1 +_R¹ +_R¹₂ ⇒I = R2E1+R1E2+R1R2η RR1+R1R2 +RR2

3. La première méthode à envisager doit être la simplification du circuit :

-

E1

û

R¹

ÿ

ù

I

R

ÿ

û

η

/

ÿ

R²

- û

E2

A

B

↔ /

û

E1

R1

ÿ

R¹

ÿ

ù

I

R

ÿ

û

η

/

ÿ

R²

/

û

E2

R2

A

B

↔ /

û

ηN

ÿ

Réq

ÿ

ù

I

R

AvecηN = ^E_R¹₁ +η+_R^E¹₁ et _R¹

éq =G_éq =G1+G2 = _R¹₁ +_R¹₂ et par utilisation de la formule des ponts diviseurs de tension,I = _G+G^G

éqηN = _1/R+1/R^1/R₁_+1/R₂[^E_R¹₁ +η+^E_R¹₁].

Exercice 9 :Loi des nœuds en terme de potentiels