Chapitre 3 : Étude de fonctions et fonctions usuelles.
Notation : Pour l’ensemble de ce cours I désigne un intervalle de R.
1 Attendus
• Savoir déduire d’une lecture graphique d’une représentation graphique de fonction(s) : ses variations (et son tableau de variation), les solution d’une équation (fpxq “a), d’une inéquation (fpxq ąaou fpxq ągpxq) , les positions relatives des différentes courbes...
• Déterminer par le calcul les positions relatives de deux courbes. https://youtu.be/EyxP5HIfyF4.
• Déterminer les variation d’une fonction par l’étude du signe de fpbq ´fpaq avec aďb.https://youtu.
be/TWbjEeiZXnw
• Connaitre les propriétés des fonctions de référence :https://youtu.be/qJ-Iiz8TvZ4,https://youtu.
be/O61rmOdXg9I,
• Décomposer une fonction (qui s’y prête) en fonctions usuelles.
• Utiliser cette décomposition pour l’étude d’inégalités.
• Utiliser cette décomposition pour l’étude des variations de la fonction.
2 Variation de fonctions.
2.1 Définition
Soit f une fonction définie définie sur I à valeurs réelles (c’est-à-dire : f : I Ñ R ) On dira de f qu’elle est :
• croissante sur l’intervalle I, si pour tout a, b P I tel que a ď b alors fpaq ď fpbq. Avec les quantificateurs :
@a, bPI, aďbñfpaq ďfpbq
• décroissante sur l’intervalle I , si pour tout a, b PI tel que aď b alors fpaq ěfpbq. Avec les quantificateurs :
@a, bPI, aďbñfpaq ěfpbq Définition 1
Méthode 1. Concrètement : pour démontrer qu’une fonction est croissante ou décroissante sur I, on prend a, bPI et on étudie le signe defpbq ´fpaq. Si sur l’intervalle I, on a "toujours":
• fpbq ´fpaq ě0 alors f est croissante surI.
• fpbq ´fpaq ď0 alors f est décroissante sur I.
2.2 Propriété.
Soit f une fonction définie définie surI à valeurs réelles (c’est-à-dire :f :I ÑR) Si f est :
• croissante sur l’intervalle I, alors aďbôfpaq ďfpbq.
• décroissante sur l’intervalleI , alorsaďbôfpaq ěfpbq.
Proposition 1
Démonstration 1. Soit a, bPI. Si on aaďbetfpaq ěfpbq alorsf n’est pas croissante donc si f croissante sur l’intervalleI, alors aďbôfpaq ďfpbq.
Idem pourf décroissante.
3 Fonctions carrées.
3.1 Définition.
On appelle fonction carrée la fonction :
r0;`8rÑR xÞÑx2 Définition 2
3.2 Variations.
x
x2
´8 0 `8
`8
`8
0 0
`8
`8
Démonstration 2. .
• Si 0ďaďb alors
$
&
%
0ďa2ďab pEn multipliant par aq et
0ďabďb2 pEn multipliant par bq
. Donc 0ďa2 ďb2 . Donc la fonction carré est croissante surr0;`8r.
• Siaďbď0 alors
$
&
%
a2ěabě0 pEn multipliant par aă0q et
aběb2 ě0 pEn multipliant par bă0q
. Donca2 ěb2 ě0 . Donc la fonction carré est décroissante surr0;`8r.
4 Fonctions racines carrées.
4.1 Définition.
On appelle fonction racine carréela fonction :
r0;`8rÑR xÞÑ?
x Définition 3
4.2 Variations.
x
?x
0 `8
0 0
`8
`8
Démonstration 3. Puisque 0ďa1 ďb1 ô a12 ď b12 (la fonction carrée étant croissante) en posant a“ ? a1 et b“?
b1 obtient ? aď?
bôaďb. D’où la croissance de la fonction racine.
4.3 Position relative des représentations : fonction racine, fonction linéaire gpxq “ x et fonction racine.
Si 0ďxď1 Si 1ďx Inégalité 0ďx2 ďxď?
x 0ď?
xďxďx2 Position C?x{Cx{Cx2 Cx2{Cx{C?x Proposition 2
Démonstration 4. Si 0ďxď1 alors :
• 0ďx2 ďx (par multiplication parx).
• Par ailleurs la fonction racine étant croissante surr0;`8ron a 0ďxď1ñ0ď?
xď1 Puis par multiplication par ?
x, on obtient
0ďxď? x Même méthode de démonstration pourxě0.
On a Cx2 etC?x symétrique par rapport à la première bissectrice (c’est-à-direCx) Proposition 3
Démonstration 5. On remarque que siMpx,?
xq PC?x alors si Mp?
x, xq PCx2 et inversement.
5 Fonction valeur absolue
5.1 Définition.
Soit un points Mpxq sur la droite réel repéré par pO,~iq. Alors la distanceOM est noté |x|. Remarque 1. On constate que :
• si xě0 alors |x| “x.
• si xď0 alors |x| “ ´x(l’opposé).
Pour déterminer la valeur absolue, on prend la "valeur positive" du nombre.
Définition 4
5.2 propriétés.
Soient deux réels x et y, on a les propriétés suivantes :
‚ |x| ě0 ‚ |x| “ | ´x| ‚
?x2“ |x|
‚ |x| “ |y| ôx“y ou x“ ´y ‚ |xy| “ |x| ˆ |y| ‚ |x y| “ |x|
|y| (poury‰0)
‚ |x| “0ôx“0 Proposition 4
Démonstration 6. les démonstrations sont immédiates en considérant la valeur absolue comme la "valeur posi- tive".
5.3 Distance entre deux points.
Soient deux points Mpxq etNpyq ur la droite réel repéré parpO,~iq. Alors M N “ |y´x|. Proposition 5
Démonstration 7. Si 0ďxďy alorsM N “y´x“ |y´x|. Sixď0ďy alorsM N “OM`ON “y` |x| “y´x“ |y´x|. Et ainsi on étudie tous les cas.
Inégalité triangulaire :Soit x ety deux nombres réels. On a :
|x`y| ď |x| ` |y|
Proposition 6
Démonstration 8. SiMp´xq etNpyq. On a M N ďOM`ON (d’où l’appellation "inégalité triangulaire") 5.4 Fonction valeur absolue.
x
x2
´8 0 `8
`8
`8
0 0
`8
`8
6 Parité d’une fonction.
Soit f une fonction définie surR (ou sur un intervalleI) "symétrique" par rapport à 0) alors :
• On dit quef est paire, si pour tout x (de Rou deI suivant les cas) fp´xq “fpxq.
• On dit quef est impaire, si pour tout x (deRou de I suivant les cas) fp´xq “ ´fpxq. Définition 5
Soit f une fonction définie surR (ou sur un intervalleI) "symétrique" par rapport à 0) alors :
• Sif est paire alorsCf est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
• Sif est impaire alorsCf est symétrique par rapport à l’origine.
Proposition 7
Démonstration 9. Suivant les deux cas :
• Sif est paire alors, pour xPI on a fpxq “fp´xq donc pour les deux points de Cf d’abscisses respectifs x et ´x on a les coordonnées px, fpxqq et p´x;fpxqq. Ils sont donc symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
• Sif est impaire alors,pourxPI on afp´xq “ ´fpxqdonc pour les deux points deCf d’abscisses respectifs xet ´x on a les coordonnées px, fpxqqetp´x;´fpxqq. Ils sont donc symétrique par rapport à l’origine.
Remarque 2. Les fonction valeur absolue et carrée étant paire, leur représentation graphique sont symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
7 Décomposition de fonctions en fonctions de référence.
7.1 Exemple.
Exemple 1. Soit la fonctionfpxq “ ´2
?x2`1 ´3, on a la décomposition : xÞÑx2
xÞÑx`1
xÞÑ? x
xÞÑ 1 x
xÞÑ ´2x
xÞÑ ´3 7.2 Utilisation : inégalité et variation.
Voir séance du lundi 15 octobre.
8 Sens de variation des fonctions u ` k, λu , ?
u et 1 u .
Si u est une fonction définie sur I (en "un morceau"),k etλdésignant deux réels (non nul), alors :
• la fonction u`kconserve les mêmes variations.
• la fonction λu:
— conserve les mêmes variations siλą0.
— Inverse les variations deu si λă0.
• La fonction?
u conserve les mêmes variations.
• La fonction 1
u avec upxq ‰0 pour tout x de I, inverse les variations de u.
• La fonctionu2 :
— conserve les mêmes variations siuą0 surI.
— Inverse les variations deu si uă0 surI.
Proposition 8
