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Contrôle n°3
Objectifs Suites (chp5)
o5_1 Modes de génération d'une suite numérique : Modéliser et étudier une situation à l'aide de suites. [Il est important de varier les approches et les outils.][L'usage du tableur et la mise en œuvre d'algorithmes sont l'occasion d'étudier en particulier des suites générées par une relation de récurrence].
o5_2 Sens de variation d'une suite numérique : Exploiter une représentation graphique des termes d'une suite.
f°de références (chp4)
o4_1 Fonctions de référence racine carrée et valeur absolue : Connaître les variations de ces deux fonctions et leur représentation graphique.[Aucune technicité dans l'utilisation de la valeur absolue n'est attendue]
o4_2 Sens de variation des fonctions u+k, u, √u, et 1 u
, u étant une fonction connue : Exploiter ces propriétés pour déterminer le sens de variation de fonctions simples. [l'étude générale de la composée de deux fonctions est hors programme]
o4_2 Sens de variation des fonctions u+k, u, √u, et 1 u
, u étant une fonction connue : Exploiter ces propriétés pour déterminer le sens de variation de fonctions simples. [l'étude générale de la composée de deux fonctions est hors programme]
Le barème est indicatif et peut être modifié.
Exercice n°1 [5 pts]
On donne les informations suivantes sur deux fonctions u et v : u est définie sur [1;6], est /t{croissante sur cet intervalle, u(1)=-1 et u(6)=2;décroissante sur cet intervalle, u(1)=2 et u(6)=-1;croissante sur cet intervalle, u(1)=-1 et u(6)=3;décroissante sur cet intervalle, u(1)=3 et u(6)=- 1;croissante sur cet intervalle, u(1)=-2 et u(6)=2;décroissante sur cet intervalle, u(1)=2 et u(6)=-2 ;croissante sur cet intervalle, u(1)=-1 et u(6)=4;décroissante sur cet intervalle, u(1)=3 et u(6)=-1}.
v est définie sur [1;6], est /t{croissante sur [1';'3], décroissante sur [3';'6], v(1)=1,v(3)=4 et v(6)=2;décroissante sur [1';'3], croissante sur [3';'6], v(1)=4, v(3)=1 et v(6)=5;croissante sur [1';'3], décroissante sur [3';'6], v(1)=2, v(3)=4 et v(6)=1;décroissante sur [1';'3], croissante sur [3';'6], v(1)=5, v(3)=2 et
v(6)=4;croissante sur [1';'3], décroissante sur [3';'6], v(1)=1, v(3)=5 et
v(6)=3;décroissante sur [1';'3], croissante sur [3';'6], v(1)=5, v(3)=2 et v(6)=4}. a. À partir de la lecture de l'énoncé, établir les tableaux de variations de u et v.
b. Déterminer le tableau de variations des fonctions suivantes, en indiquant clairement la propriété utilisée.
f=u+2 g=-3u h=√v i=1
v
o4_1 Fonctions de référence racine carrée et valeur absolue : Connaître les variations de ces deux fonctions et leur représentation graphique.[Aucune technicité dans l'utilisation de la valeur absolue n'est attendue]
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Exercice n°2 [5 points]
On considère la fonction f définie sur
ℝ*
par f(x) = /t{1;2;3;4;5} + 1|x|
1. Écrire f(x) sans les barres de valeur absolue, suivant les valeurs de x.
2. Démontrer que f est croissante sur ]–∞;0[ et décroissante sur ]0;+∞[.
3. Dresser le tableau de variations de f.
4. Résoudre l'équation f(x)=/t{6;7;8;9}.
o5_1 Modes de génération d'une suite numérique : Modéliser et étudier une situation à l'aide de suites. [Il est important de varier les approches et les outils.][L'usage du tableur et la mise en œuvre d'algorithmes sont l'occasion d'étudier en particulier des suites générées par une relation de récurrence].
o5_2 Sens de variation d'une suite numérique : Exploiter une représentation graphique des termes d'une suite.
Exercice n°3 [5 points]
Les questions 1 et 2 sont indépendantes.
1. Soit la suite (un) définie sur
ℕ
par : un=(n+µ)2. a. Calculer les quatre premiers termes de (un).b. Déterminer le sens de variation de la suite (un).
2. Soit la suite (vn) définie sur
ℕ
par : v0=–1 et vn+1=µvn+µ(n – 1). Déterminer les quatre premiers termes de (vn).Exercice n°4 [2 points]
Voici un algorithme :
1 VARIABLES
2 W EST_DU_TYPE NOMBRE
3 COMPTEUR EST_DU_TYPE NOMBRE 4 I EST_DU_TYPE NOMBRE
5 DEBUT_ALGORITHME 6 W PREND_LA_VALEUR -µ 7 AFFICHER "Entrez le rang :"
8 LIRE COMPTEUR
9 POUR I ALLANT_DE 1 A COMPTEUR 10 DEBUT_POUR
11 W PREND_LA_VALEUR W*µ+µ 12 FIN_POUR
13 AFFICHER "La valeur de W"
14 AFFICHER COMPTEUR 15 AFFICHER " est : "
16 AFFICHER W 17 FIN_ALGORITHME
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1. Si on donne à COMPTEUR la valeur 2, qu'obtient-on ? 2. Donner l'expression de la suite ainsi définie.
Exercice n°5 [2 points] [ROC]
Soit la fonction f définie sur [0 ;+∞[ par f(x)=√ x.
1. Démontrer que, quels que soient les réels a et b tels que 0a<b, on a : f(b) – f(a) = b – a
√b+√a
2. En déduire le sens de variation de f sur [0 ;+∞[.
Exercice n°6 [1 point + 2 points bonus]
Le plan est muni d'un repère orthonormé d'origine O. La courbe C est la représentation graphique de la fonction racine carrée.
A est un point de la courbeC . La perpendiculaire à l'axe des abscisses passant par le milieu M du segment [OA] coupe la courbeC en un point N et l'axe des abscisses en un point P.
Prouver que le rapport PM
PN est constant quelle que soit la position du point A sur la courbeC.
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