Sur une généralisation de la théorie des fractions continues algébriques

B ULLETIN DE LA S. M. F.

G. H ^UMBERT

Sur une généralisation de la théorie des fractions continues algébriques

Bulletin de la S. M. F., tome 8 (1880), p. 191-196

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191 -

Sur une généralisation de la théorie des fractions continues algébriques; par M. G. Humbert.

(Séance du 21 mai 1880.)

I. Dans une lettre à M. Fachs, publiée dans le Journal de Crelle, M. Hermite a donné les résultats suivants :

Soient n -+-1 quantités .To? «x*n .^2, .. ., Xn et n polynômes entiers en *r, de degré w, Pô, Pi, . • •, P//.

Considérons l'expression

E(.r)r=P,log^-^-f-PJog^^+...+PJog•Ï^——w.

X —— .LQ .L —— .VQ .V —— XQ

Cette expression est égale à un polynôme entier de degré m—i, plus une fonction, qui, ordonnée par rapport aux puissances décroissantes de JT, commence par un terme en -:

E(..)=H,,-.(..)4-^+$+....

m

Les polynômes P<, P a , . . . , ?„ renferment (w4-i)/» coefficients ; on pourra, en disposant de ces coefficients, faire disparaître dans E(.r)les termes en

i i i

y y " " ^t x^ ^+1)^-1'

On aura ainsi (7714-1)71—i équations homogènes entre les (77î-t- i)n inconnues.

Ce problème est une généralisation de celui qui conduit à la théorie des fractions continues algébriques.

M. Hermite, dans le cas cité, a montré que les polynômes P< (a:), ..., P^(a:) satisfont à une équation différentielle linéaire de degré (n + i), dans laquelle le coefficient d'une dérivée, y*, est un polynôme de degré (EA; de plus, une (n 4-1)^® solution de cette équation est la fonction

PJog'^-^ 4- • . . 4- P>g^-^ ~n^i (.r).

iC ^~~ XQ X ~—— ••*•'()

II. On peut donner des résultats analogues pour des fonctions plus générales que les logarithmes qu'a considérés M. Hermite.

Je définirai ces fonctions de la manière suivante.

Soient n 4- i quantités XQ, x^ ..., Xn^ rangées, si elles sont réelles, par ordre de grandeur croissante, et A(.r) le polynôme

A ( . r ) = = ( . r — .roK^—^i).. - ( • < • — ^ ) .

Soient G(x) un polynôme quelconque de degré (n —i) et K.(.r) une fonction définie par l'équation

K ^ ) _ _ G ( . r ) K ( ^ ) A ( . r ) '

Cela posé, les fonctions introduites au lieu des logarithmes de M. Hermite sont les suivantes :

_ ^ K ( 3 ) d.

^-J_ A ( . 3 ) . r - 35

••!:

TTT}',^~

— 193 — K ( ^ ) est évidemment de la forme

K[z ) == A (.r - .r^o (.r - .r, )^ . . . (^ - .r,J^.

Les intégrales précédentes n'auront de sens que siK-(.r) s'annule par les valeurs XQ^ x^ ..., Xn de la variable; ou, si

^o^Of ^i^0» • • • ' ^/t^0-

Je supposerai cette condition remplie; alors les polynômes de degré m, P< (.r), Pa^), • •. i P/i(.r), seront déterminés par la con- dition que l'expression

P ^ - h - P ^ 2 ^ . . . + P ^ »

ordonnée suivant les puissances décroissantes de .r, ne contienne pas de termes en -9 -g» • • •? .„,...„ . •

r ^ y.ï ^(//i-t-i^t—i

III. Si l'on suppose

G(.r)=A'(.r),

on a

K ( . r ) = = A ( . r ) .

Nos fonctions deviennent

f"1 flz .r-.r,

^== ( — — — — ^ — l0^ — — — — - » J^ .r — 3 CT .r — .z-o

r' 7 " ^ , ^-.^

^= / î——;=- 10^^—.——

J^_^>r — 3 "c — •2'/î-l

Ce ne sont pas tout à fait celles de M. Hermite, qui donne aux logarithmes de sa formule le même dénominateur (.r—.^o); mais la forme que j'adopte a l'avantage d'introduire des polynômes P<, PS, ..., P/î qui jouissent de la propriété d'avoir toutes leurs racines réelles, et comprises respectivement entre

.ro et x^ .ri et x^ ..., .^_i et x^

pourvu, toutefois, que 0:0, J^n ..., «r/i soient réels. Les polynômes de M. Hermite n'ont pas la même propriété.

On peut donner de ce théorème la démonstration suivante.

vin. i3

~ m -

IV. Delà définition des polynômes P< (^), ... on déduit, comme on le fait dans la théorie des fractions continues algébriques, les relations fondamentales,

/••^TT" / _ \ /f^Tr / \

X.^^-'-"

--^..,^'-"""——

f ¹ ^-w.,,^...^f' ^K —w^=»,

^.rn V / ^•r,,-! v /

ç à^p^^)^^!)/^^^...-^ r "^[^p^j^jsc^D^-^^^o,

On peut résumer ces formules en une seule,

f ^l^Pl(^)^(^l^_2(^)^+...+ F '^P^^n^^o^^^^o,

Jx^ At^) J^. A^3;

en désignant par îl^n+^n^^^} un polynôme quelconque en z, au plus de degré [m + i)7i — 2.

Cette propriété des polynômes P < ( ^ ) , Pa^)? • • • suffît pour démontrer le théorème énoncé.

Je remarque d^abord que la fonction —^— ne peut changer de signe entre XQ et x^, entre x\ et 0:2, • .., ^'/^i et x,,.

Soient maintenant

^•ii PI) • • • ? ^i l68 racines de Pi(.^) comprises entre .-r^ et .^1,

«a, p^, . . ,, \ » PS^) » ^1 ^ •^,

v-n. ^n. . • ., ^/< » P^ (•r) ^ ^t-l et •r»-

Chacun de ces groupes se compose d'un nombre quelconque de racines, nombre inférieur à m cependant.

Posons

PI M = (^ — «i).... (.r — Ai )%i(.r),

P , , ( . r ) = ( . r - a , J . . . ( . r - A j ^ ( ^ ) .

Si les fonctions /j, ^2» • • • ? X// ^se réduisent à des constantes, le

- 195 -

théorème est démontré ; sinon, il y aura au moins une de ces fonc- tions qui sera du premier degré ou d'un degré supérieur.

Par suite, le degré du produit

( — — ^ ) ( ^ - P , ) . . . ( 3 - ^ ) ( 3 - a , ) . . . ( 3 - ^ ) . . . ( 3 ~ a J . . . ( . - ) . J

ne pourra pas surpasser mn — i.

Or on a

S^C ^l ï^ ^pl ^ ^{^} ^ ⁺¹ ^ ² ( ^z )^ ^==o •

Nous pouvons prendre

n ( ^ l ) ^ ( ^ = = ( ^ — — ^ ) ( 3 - P i ) . . . ( , 3 - ^ ) . . . ( 3 ~ 7 , j 0 ( 2 ) ;

©(•z) sera au moins de degré

( m -+-1 ) n — 2 — mn -+-1 ==. n — i.

Le produit P< {z^Tl^m^^i (^) sera alors de la forme /i^)^),

ft ( z ) ne changeant pas de signe entre XQ et x^ ; de même

P..(S) "(^1)^(2) =./;,(Z)©(3),

fn(z) ne changeant pas de signe entre .r,,_i et Xn.

Prenons maintenant

©(3)=(^-3)S(^-z)S...(.r,^~3)S.-,,

6 < , £ i , . . . , e/t^i étant égaux à o ou à -+• i.

On peut évidemment les supposer tous égaux à i, puisque @ ' ( z ) est au moins de degré n— i.

L'intégrale f ^(z)QÇz)dz a un signe indépendant des va-

r'^

J^ leurs des quantités e.

/».Cs

La seconde intégrale f f^{z)Q{z)dz aura pour €i== o un

*/.r,

certain signe et pour e, === i le signe contraire, quelles que soient, d'ailleurs, les valeurs des autres quantités c.j, £3, . . . , ?„_,.

— 196 —

Donc, en choisissant la valeur de 5i, cette intégrale aura même signe que la première.

/»;r,

La troisième intégrale f f^(z)Q(z)dz aura de même pour

•/x^

£ a = = = o un certain signe, pour 62==! le signe contraire, quelles que soient les valeurs des e qui suivent.

On pourra donc encore choisir 63 de manière à lui donner même signe qu'à la première.

En continuant ce raisonnement, on voit qu'on pourra donner aux n—i intégrales qui suivent la première le même signe qu'à cette première.

Il est donc impossible que la somme de ces intégrales soit nulle.

Ainsi, en supposant que les polynômes P < ( ^ ) . . ,P,,(.r) n'ont pas toutes leurs racines réelles et comprises respectivement entre XQ et « r i , . . «,^/î^i et Xni on arrive à une absurdité; il faut donc conclure que cette proposition est vraie et que, par suite :

THÉORÈME.— L'un quelconque des polynômes P, P^(.r), a toutes ses racines réelles et comprises entre .r^_i et Xy..