Sur les fractions continues algébriques

B ULLETIN DE LA S. M. F.

R. DE M ONTESSUS

Sur les fractions continues algébriques

Bulletin de la S. M. F., tome 30 (1902), p. 28-36

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- 28

SUR LES FRACTIONS CONTINOES ALGÉBRIQUES;

Par M. R. DE MONTESSUS.

Je rappelle, en modifiant un peu là forme, quelques notions dues à M. Padé.

Considérons un Tableau de fractions rationnelles USi Ui U| Uji US

V8' Y Î ' vîj" vg' '"' v0/ " * '

uji ui u? mi ^IJ ?

V^ V } ' Vi" Vi' ' "? VA' " * ' U$ U} UJ U| Uî

v?' v î ' vi'- vT ' • •? vf» • • •>

Uî U;, l^ U| U?

Vç' Vç" Vç' Vç' " ' ^ Vg'

où U", V^ sont des polynômes en a?, respectivement de degré n et p, choisis de manière que le développement en série de la

U"

fraction — '/»

îjn

(l) —— =SQ^S^X^..^Sn^pXnJI-y^-\X^P^•^^.X^^Î^..

ft

ail pour termes de degrés inférieurs à n -f-/? + i les termes d^une

- 29 — série illimitée donnée y,

y == SQ -4- Si X -(-. . . -+- Sft X1 1 -h . . ., ^o 7^ 0.

Cela permet de supposer que le terme constant de U" est .?o et que le terme constant de V^ est l'unité.

U'¹

Une fraction — du Tableau est dite normale^ s'il n'existe aucune autre fraction ayant pour numérateur un polynôme de degré n et pour dénominateur un polynôme de degré p dont le développement coïncide dans ses n -^- p -+- i premiers termes avec la série y .

Nous supposons que la série y donne lieu à un Tableau de fractions normales. La condition nécessaire et suffisante pour qu'il en soit ainsi est que tous les déterminants Ajpy Qo, q = o, î ,

2, 3, ...)

SP-+-l s? * • • sp-^-i—f/

sp-^-î sp-^i • • • sp+î—(^

^<7=

"p+l+f/ "P-+-<y Sp-^-i

soient différents de zéro.

Une suite quelconque de fractions du Tableau,

(2) Ui

V,-

U2

V;-

u, vr

( ^y

chacune étant plus avancée que les précédentes -— est plus

T T W \ ^ ^ n

avancée que —^c- si p 4- n > m + y), définit une fraction continue

" w /

appartenant à l'une des deux catégories suivantes : I. Si

U i = = a i , V i = = i , Ut== ^aî-t-as, V^ == i^

aiU(~2+^(U(-i= U,,

a, V^s 4- ai V,-i = V, ( i = 3 , 4 , 5 , . . . ) , les fractions — sont les réduites successives

ai, ai+ a^

ai ^

(Ïî

02 a^

a?

— 30 de la frac lion continue

«2 CÏ\+

03 -+- — ^t

«4 ' ^ - 4 - — — —

II. Si

Ui=ai, Vi==ai, U2==aia2, V2 == ^i ^î-i-o^

a,U,-2+CT/U/-i=U/, a,V.-2+a,V,-i=V,,

les fractions — sont les réduites successives —1» ——i—

\i Oi ûti (tt -h —

de la fraction continue a2

ai ai- ^tt2

«i-h -—«3

de sorte que V étude d'une suite de réduites telles que (2) revient à l'étude d'une fraction continue.

La réciproque est vraie : Vétude d'une fraction continue revient à l'étude d'une suite de réduites.

Toute suite illimitée de réduites, chacune plus avancée q u e les précédentes,

Ui Us U/

V^ V;" • • " VT ' * ' '

ou toute fraction continue, représente une fonction. Cette suite converge en même temps que la série

(-,)^^^^^^^^^^^^^^^.

(s ) v,, v p+i v ,,-+-i v p^-î v y-i v q (A<=U^iV,-U/V,--i),

dont l'étude, assez compliquée, se simplifie si les numérateurs A/

sont des monômes entiers en x

A(== C i X "1 (Ci const., m entier et positif).

Cette simplification a lieu si les réduites de la suite considérée sont toutes consécutives, c^est-à-dire si, en posant

\^_^î U.-M _ uy

v / - v ^ v^i \î,'

- 31 - on a, soit

/ ? - + - / < - + - ! = q 4- //?,

/?-»-/i4-2=<74- m.

soit

En effet, si, dans ce cas, (C) est le cercle de la convergence de la série de puissances

{ S " ) (-- l)A,,-n -h (—— l)2A,,+2+. . . - + - ( — — l^Xp+y-r-. . . ,

la suîte des réduites converge dans le cercle (C), sauf aux points qui seraient des zéros pour une INFINITÉ de polynômes Vy,. Nous disons une infinité, parce que dans l'élude de la valeur prise par la fonction définie par la suite de réduites en un point d'affixe a nous convenons de supprimer les réduites de rang fini —j où V n a le point a pour zéro. //

Si les polynômes Vp tendent vers un polynôme limite V^ la fonction représentée par la suite

^ v! u/!

Vo' V t * "t > V,/ * * '

doit être regardée comme ayant pour pôles les zéros de V se trouvant dans le cercle de convergence.

Ces considérations et ce fait bien connu qu'il est possible de déduire d'une série une fraction continue convergente parfois dans une aire ou la série ne l'est pas, et réciproquement, conduisent a la question suivante : Une suite de réduites consécutives d'un Tableau de fractions normales définit'clle une fonction iden- tique à la fonction définie par la série qui a donné naissance au tableau et y dans l'affirmative, la fraction continue corres- pondant à la suite prolonge-t-elle la série en dehors de son cercle de convergence? Je vais montrer que certains résultats, dus à M. Hadamard, permettent de résoudre cette question dans le cas d'une suite de réduites consécutives

U? U/, Uj U/î

v^ vy' vç' ' * * ' vg'

faisant toutes partie d'une même ligne horizontale d^un Tableau de fractions normales.

— 32 —

\. Si Von pose

V& == i - By^r + B?^-.. .4- (—ly-B^-h...+ (- 1)^^,

u7"

la condition imposée à la fraction — cTavoir pour les m + p

premiers termes de son développement en série les m -+-p pre- miers termes de la série ^

oo

^SnX^

0

nécessite que B ^ , . • • i B"* vérifient le système d'équations

/ .9,,,-l-t — B7^ /, S,n + • . . -+- (— 1 , 'î B;î;,, S,n-p+i == 0, ( 2 ) ... ...

( S,n+p — l^Y; /. Sm^p-l -r-. . . 4- (— 1 )^ B{^ ,, S,n = 0.

M. FIadamard, recherchant un polynôme P(^) tel que le produit d'une série donnée f{x) par ce polynôme soit une série conver- gente dans un cercle de rayon supérieur au cercle de convergence de f{x)^ a montré que, si les modules des pôles ai, ag, ..., <x.p, a^.,, ... de la fonction représentée par la série

00

^Sn^

0

vérifient les inégalités

(3) |ai^|a^...^]a,J<|^^|a^|^..,

les coefficients W- tendent, quand m croît indéfiniment vers des limites B/^ telles que

V / - i ^ V { ; , = f , - ^ V . - " ) ... f i - ^ ) , ,«=< \ ^ / \ 0.2 / \ • a/,/

chaque pôle multiple devant être compté pour autant de pôles simples qu'il entre d'unités dans son degré de multiplicité.

Au contraire, si

|ai|^|^|^...1|aJ==ia^|^|a^|^...,

il se peut que les quantités B^ tendent vers des limites qui ne soient plus les fonctions symétriques des affixes des pôles ai, ..., y.p et même ne tendent vers a u c u n e limite.

± Si les inégalités (3) sont vérifiées, il est y prévoir que le cercle de convergence de la série (.y") a pour rayon |a^. |. lu, en effet, posant

on a

Uy=:.s-u-4-Cï.,,/,4-...-C^.,.,,/

•^-'-K^,,.^,

A^=U?-IVJ;-^V^.,-(.,+CÎ., ^4-...+C^...^,^-^

x [ t — K ? . / ^ -+-... -t-(—i^H;5.,,;r^j - (.?.) -1- C^. „ .y H-... 4- C/;.,/ .r/< )

X 1 ' ~ ^ï;/; ^ -i-... -i- (- i)^ B;Î7,J .r//1, et A^ se réduisant à un terme monôme, puisque les réduites sont consécutives

A^==(-i^iC^,J^,;.r/^,

car le terme de degré X'^P est irréduclible, comme unique de son espèce.

Or les coefficients C^ ont pour expressions

^,m ^l—H?;^,

^, /// = ^ - ^/. // ^ 4- B^. ,, .ç.,,

(^ C{;.^ =.^- Bï/./.•^-l-i-...+(—I^I^/^^.

c^/.,^ == A'//-h/. — BÏ', pfip+A-1 -r-. . . -h (— l ^ B^A'/,.

C&,,,/ = ^ — Bi",,.y,,,-i4- . .-4- (— l)^B;^.v,,^,

de sorte que Péliminalion de B^, ..., K^ entre les équations du système (a) et la dernière équation du système (3) nous donne

s^n—^pn,„| A'w-i ... .v^-,,

•^-+-1 .V/,/ ..'. .s-,,/_,^i .... .^ ^ o ,

d\)ù

'""^

•^4-1 .V,//. . . . A-,,/_,,.^

€{;,,„/ = •y//t-4-^ A'^^-! ' " ^,, S m !{m-\ . .. •s-/,/-,,4 i

•^-+-1 .v/// . .. .s-,//_,,^,

•'///+-//—1 A / / / - + ^ _ 3 ... .v^

X X X .

- 34 -

Q u a n t a By,^, le système ( 2 ) nous donne, au signe près,

^w-M ^//i ... .Çw-p-n

^m-\-î ^w-t-l • • • S,)t—p-{-3

Tïm ^ -4- 1 sm-^-p S,n^-p-\ . . . ^//i-f-l

1 ^//i ^/w—l • • • •fm—p+l

^m+1 ^//(

•^

On a donc

s^t •ç/ï—l • • • ^n—p

sn+^. sn • « . ^—p-n

» /» _ _i_ sn-^-l sn^-f^—i • • « 5/t

^Y^ — _!: ——————————————————————————————————-—

s^t—q sn—î • • • ^n—p

^/i ^/z—l • • • Sn—p+t

^n+p—î ^n-^-p—S • • • Sft—i

Si l'on pose n —p = A-, il s'agit donc de déterminer le rayon de convergence de la série

sk S/c^ . . . Sfc^-p

^A'-M ^k-t-2 • • • •SA•-^-/>-^-1

-1 -• •••• - ••••••

\1 1 s^f) s/>'-^p+t ' ' ' Sk^p ^r-^i-

^à S/, .^4-1 . . . Sh-^-p-1 J

t =q

Sk+\ sk+î • • • S/,+p

Sk-+p—l S/e+p-^ . . . 5A-h2//-2

où q est un nombre fini bien déterminé et invariable.

Dans la question du polynôme P(.r), M. Hadamard a trouvé, lui aussi, ces rapports de déterminants. Écrivant avec lui

sm sm•Jr•\ • • • Stu-^-p

D ^sm-^-l ^//i-»-è • • • sm-^-p—l m. p ==

s^n-^-p s^n-^-p-{-^ ^m-^-îp

— 3^> —

nous avons à chercher le rayon de convergence de la série

k=»

V< ^k p , 2; DT——^-D^-i1 A==<7

On sait que ce rayon a pour expression

p— y i

= lirai ;—_

|D^-l| ^ = e o ^ D ^ _ J '

Mais, si les inégalités (3) sont vérifiées, on sait aussi que y/D|/^|

a pour limite -————————,. Le rayon de convergence de la série s"

j 2 i , a^,. . .,a^_nj •' <-»

est donc bien [a^, [.

3. Si, pour une valeur déterminée XQ de la variable x, les

\jk ^jk

suites -^> — (Â-== i , 2, ...) tendent l'une et l'autre vers des limites déterminées, ces limites sont IDENTIQUES.

Il suffit de démontrer que si ^, d'une part, et L^, de Paulre,

" h"

tendent vers des limites finies et déterminées, la différence de ces réduites tend vers zéro.

Remarquons, pour cela, que |^o|<|^+,|, car les réduites

^j/c

^» convergentes seulement dans le cercle de rayon |a^,|, sont supposées convergentes au point d'affixe XQ^ et que la différence

^ U^i

vg v^

peut s'écrire, comme le montre un calcul simple, X——^X'^P^ ( À — p 4-1= h}.

VPVP+l TTr————

' A ' À - ^h^-

II suffit donc de montrer que

D/^

- — — — ^ • ^ + 1 ( X = X ^ )

uh p—l

tend vers zéro quand k, c'est-à-dire A, croît indéfiniment. 11 en est

bien ainsi, car la série

D

/',/' y^,,+i

2 ^

^-

de rajon de convergence |a^^.J, est convergente au point .ro, puisque, nous l'avons fait observer,

ko|< |a,,-n|.

4. Tl ressort de ces considérations fêtant donnée une série de Taylor représentant une fonction f(x) dont tes p pôles les plus rapprochés de l'origine sont intérieurs à un cercle (C) lui-même intérieur aux pôles suivants, chaque pôle multiple élant compté pour autant de pôles simples qu'il existe d'unités dans son degré de multiplicité, la fraction continue déduite de la ligne horizontale de rang p du Tableau de M. Padé, ce Tableau élant composé de réduiles normales, représente la fonc- tion f{x) dans un cercle de rayon \^p^.\\, où a^.i est l'affixe du pôle le plus rapproché de l'origine parmi tous ceux qui sont extérieurs au cercle (C),

Si tous les pôles ont des modules différents, les fractions continues correspondant aux lignes horizontales représentent toute la fonction ; s'il existe simplement des discontinuités dans l'ensemble linéaire des modules des pôles, les fractions continues correspondant à des lignes horizontales convenablement choisies représentent encore la fonction.

Si tous les pôles sont simples, la, représentation a lieu dans des cercles d'autant plus grands que la ligne horizontale choisie est plus éloignée dans le Tableau. S'il y a des pôles multiples, il y a stationnement, en ce sens que plusieurs lignes horizontales consécutives représentant la fonction ont le même rayon de convergence. S'il y a enfin un point singulier essen- tiel, le stationnement se prolonge indéfiniment, aucune des fractions continues considérées ne représente la fonction en dehors du cercle sur la circonférence duquel se trouve le point singulier essentiel le plus rapproché de l'origine,