N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
J.-H. V INCENT
Question sur la théorie des fractions continues
Nouvelles annales de mathématiques 1re série, tome 8 (1849), p. 292-295
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QUESTION SUR LA THÉORIE DES FRACTIONS CONTINUES;
PAR M. J.-H. VINCENT, Professeur au lycée Monge.
Soit— une fraction irréductible-, les deux termes^de la fraction -— auront k pour commun diviseur le plus grand, c'est-à-dire que l'opération du plus grand com- mun diviseur donnera, dans une des divisions successives, k pour diviseur et zéro pour reste. D'où il résulte que, si l'on représente par a un nombre très-petit par rapport à Je, la fraction sera l'une des réduites de la fraction
km -h a
~~kn
Ne s'ensuit-il pas que la division partielle qui donnera cette réduite donnera en même temps a pour reste, puis- qu'en faisant a = o, on reproduirait la réduite?
Réponse : NON.
En effet, supposons la réduite — précédée de ces deux
m' m"
autres -r? T ) on aura n' n
m = m!q -+- /M", n = n'q -+- n" ;
d'où
m m'q-\-m"
n n'' q -+- n"
Pour reproduire — , il suffit de tenir compte du reste correspondant à q; soient /' ce reste et die diviseur : on aura
m
'( + t \ +
m»
m\.
m'
rkm -f- a \ d) d kn """
i
ou plutôt
/ , n'r\ I , mn'\
km -+- a nul -f- m'r \ n J \ n ) kn nd -+- n' r / n'r
[d H ce qui fait voir, d'abord, que
r
n
Ensuite, quant à la quantité
elle se
donc
transforme en
nm'
km m —
— mn' n
•4-a mn
n
_^ i
n
km±~
kn k
donc
r //
d'où
vSoit pour exemple,
/// z=z 8 , /* • = 5 , X n r 6 o o , y. - - 3 ;
d'où
4/72-4-a 5283 8.660 + 3
hn 33oo On trouve, en opérant,
5a85 ,983
I
33oo 13i 7
1
1
1983
666
2
T
I
1317 651
3
2
1
666
i5
5 3
i5
651
8 5 d'où
rf=65i, / = i 5 , m ' = 5,
Vérification :
l 5 .
8.65i
= 3.
3 1+7^i 5
5^i5 5 6 5 i + 3.i5:
3.i5 i5
"5
3.
9) + 3 _ 8.66o + 3 + 9) ~ 5.66o
Note. Le célèbre Sauveur ( J) [* J est le premier qui ait donné une base scientifique à l'acoustique musicale; et ce qu'il y a de fort singulier, c'est que ce physicien avait la voix fausse et l'oreille fausse. On dit même qu'il était sourd.
Aussi s* est-il appliqué à transporter l'appréciation des sons, de l'oreille à l'œil, en permettant de compter à vue le nombre absolu de vibrations des corps sonores. Sa dé- couverte fondamentale peut s'énoncer ainsi : Deux corps sonores faisant entendre simultanément deux sons cor-
p ] N e o n H u l , a l a M e c h r , m o l t on }-jib.
respoiidanls à des nombres entiers u et u' de vibrations dans le même temps t] k étant le plus grand commun divi- seur de u et u\ il se produit un troisième son correspon- dante un nombre k de vibrations pendant le même temps t.
C'est à tort qu'on attribue cette expérience à Tarlini, qui n'a fait que la reproduire, peut-être sans la connaître. 11 s'ensuit que, connaissant ce nombre k et le rapport rela- tif m : n des deux sons, les nombres absolus des vibra- tions des deux corps pendant le temps t sont km et kn.
Cette méthode d'évaluer les nombres absolus de vibra- tions, due à Sauveur, a été perfectionnée, il y a une quin- zaine d'années, par un nommé Sclieibel, manufacturier de soieries à Crevé!t, en Prusse. M. le professeur Vin- cent, connu du public géomètre et dans le mojide savant par d'importants travaux sur la musique grecque, s'est proposé d'éclaircir par des considérations théoriques la méthode de Scheibel, et il a été amené à résoudre quelques questions sur les fractions continues : celle que Ton vient de lire, et encore une autre, proposée dans le«
Nouvelles banales, et résolue par M. \achette (t. "VII, p. i3). Pour mieux se préparer à comprendre le Mémoire de Férudit professeur, on fera bien de lire dans la Bio- graphie Universelle les articles SAUVEUR et TÀIITINI, tous les deux dus à Prony.
