TRANSFORMATIONS ET TRIANGLES
I_ Transformations du plan 1. La symétrie centrale
Définition : O est un point fixé. L’image d’un point M par la symétrie de centre O est un point M’ tel que O est le milieu de [MM’].
=
Le seul point invariant est le point O.
N
O M
Construire M’ = So(M) N’ = So(N) d' = So((MN)) 2. La symétrie axiale
Définition : est une droite fixée. L’image d’un point M par la symétrie axiale d’axe est un point M’ tel que est la médiatrice du segment [MM’].
Tous les points de la droite sont invariants par la symétrie axiale d’axe .
M
N
Construire M’=S(M) N’= S(N) d' = S((MN))
3. La translation
Définition : est un vecteur fixé. L’image d’un point M par la translation de vecteur est un point M’ tel que =
Si aucun point n’est invariant.
N
M
Construire M’= Tu (M) N’= Tu(N) d' = Tu((MN)) 4. La rotation
Définition :O est un point fixé et un angle orienté fixé. L’image d’un point M par la rotation de centre O et d’angle est le point M’ tel que OM = OM’ et = .
Le seul point invariant est le point O.
On pose = 30° et C le cercle de centre M et de rayon 3 cm
O
M
Construire M’= R(o,) (M) C’= R(o,)(C)
1 Isométrie
Les symétries centrales, axiales, les translations et les rotations sont des isométries c’est à dire qu’elles conservent les distances.
Si A A’ et B B’, alors AB = A’B’
Les symétries centrales, axiales, la translation et la rotation possèdent les propriétés suivantes :
2 Conservation de l’alignement
Trois points alignés ont pour images 3 points alignés.
3 Conservation des angles
Si les points A, B et C ont pour images A’, B’ et C’ alors = 4 Conservation des aires
L’image d’une figure F est une figure F’ qui possède la même aire que F.
5 Conservation des milieux I milieu de [AB]
Si I’ image de I alors I’ milieu de [A'B']
A’ image de A B’ image de B
6 Conservation du parallélisme et de l’orthogonalité Deux droites parallèles ont pour images deux droites parallèles.
Deux droites sécantes ont pour images deux droites sécantes.
Deux droites orthogonales ont pour images deux droites orthogonales.
III_ Principaux théorèmes sur les transformations
Par la symétrie
centrale Par la symétrie axiale Par la translation Par la rotation d’angle
L’image d’une droite Une droite parallèle Une droite Une droite parallèle
Une droite qui fait un angle avec la droite
initiale
L’image d’un cercle de centre O
Un cercle de même rayon de centre O’=
S(O)
Un cercle de même rayon de centre O’=
Sd (O)
Un cercle de même rayon de centre
O’=Tu(O)
Un cercle de même rayon de centre O’ =
R (O)
L’image d’un triangle Un triangle de même sens dont les côtés ont
la même longueur
Un triangle de sens contraire dont les côtés ont la même
longueur
Un triangle de même sens dont les côtés ont
la même longueur
Un triangle de même sens dont les côtés ont
la même longueur
IV
Triangles isométriques
A E
x y x y
B D
z z
C F
Que pouvez vous dire sur les triangles ABC et DEF?
………
Définition : Deux triangles sont isométriques si les côtés de l’un sont égaux aux côtés de l’autre.
Propriété : Si deux triangles sont isométriques alors leurs angles sont égaux 2 à 2.
La réciproque de cette propriété est-elle vraie ?………
: Deux triangles dont les angles sont égaux 2 à 2 ………..
Activité : Construire un triangle connaissant certains éléments.
Théorème 1: Si deux triangle ont un angle égal compris entre deux côtés égaux 2 à 2 alors ils sont isométriques.
B E
A C D F
Théorème 2 : Si deux triangles ont un côté égal compris entre 2 angles égaux 2 à 2 alors ils sont isométriques.
A D
B C E F
V
Triangles semblables (ou de même forme)
Définition : Deux triangles ABC et MNP sont semblables si leurs angles sont égaux 2 à 2.
Propriétés des triangles semblables
C’
C
B’
B
A A’
Sur [A’B’] construire le point A1 tel que AB = A’A1
Construire la droite (d) (C’B’) passant par A1 elle coupe (A’C’) en C1. Montrer que les triangles ACB et A’A1C1 sont isométriques en déduire = = .
Théorème : Si deux triangles sont semblables alors leurs côtés sont proportionnels On peut alors écrire : = = = k
k est le rapport de similitude. Le rapport des aires est k2
Remarque : Deux triangles semblables sont des agrandissements ou des réductions.
Nous allons maintenant vérifier si la réciproque est vraie :
Supposons que = = et montrons que cela implique A’B’C’ et ABC sont semblables.
Théorème : Si deux triangles ont leurs côtés proportionnels tel que = = alors ils sont semblables
