Chapitre 13 Algèbre linéaire

Chap 13 : Algèbre linéaire

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Chap 13 : Algèbre linéaire

I. Familles libres, familles liées, bases

ensemble, corps commutatif.

I

( )

sup )

p )

(

(

( , ) {( ) / supp( ) { / 0} }

( ) ( )

est fini (ce sont des )

, ,

i

I I

i i i

I I

i I i I

I

i i i I i

I

i i

i i

i

I i I ev

E ev x E x x



  

  



 

 

      

  







F

( )

( )

( ) ( )

( ) est linéaire, son image est

I

i x i

i i

I

i I i I

i I i

E

x x E Vect x

  x

 



 

  





( )

libre si est injective (liée, sinon) est génératrice si est surjective

une base de si est un isomorphisme

a I

i a

a

a E

E









 



0 ( ) ou , ( ) liée.

Une sous-famille d'une famille libre est libre. Une sur-famille d'une famille liée est liée Une base est une famille génératrice minimale

i k j i

a k j a a a

    

, ( ) . ( ) ! ( , ), , ( )

( ) ( ) ( )

, base de

injective libre surjective génératrice isomorphisme base

I

i i i i

i i

i I i I

i i i i

E F ev e E f F E F i I e f

f f f

 

  

 

      

  

L

Liberté de famille de fonctionsAnalyse locale : équivalents/limites, développement limité

0

1 ( )

1

1

0 0

( 1)...( 1)

( ) 1, ( ) ( 1) ( ) ( )

!

[ ], deg , ( ) ( ... ) , , 0, ( )

Polynômes de Hilbert :

,

n n n

I

n d

d

k

d k k k

X X X n

H X H X H X H X H X

n

P X d P P   P  H a k d P a







  

    

       



    

II. Théorie de la dimension finie

1 1

( ... ) ( ... ) 1

Si possède une base finie E e e_n , toute famille x x_p avec p n est liée : (2,3)

Pas dans ⁿ est génératrice, mais ne contient pas de base

. dim dim

et sev du de dimension finie Si et , alors

F G ev E FG F G FG

III. Endomorphismes et dimension finie

,

E F ev

Im Im

( , ), ker .

un supplémentaire de dans _H^u H ( )u est un isomorphisme

u E F H u E u

x u x

 

 

L 

( , ). Im dim(ker ) dim(Im ) dim

Thm du rang : uL E F Si est de dimension finie, E u aussi et u  u  E ( , )

Si et ont la même dimension, E F uL E F surjectiveinjectiveisomorphisme Faux en dimension infinie, même si EF (dérivation des polynômes...)

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1 1

1

1 1

... ... .

! [ ] / 1, , ( ) ,

Interpolation de Lagrange : _n 2 à 2 distincts,

n n

n

k i

i k n

i

i i k k k

k i

x x a a

X x

P X i n P x a L P a L

x x







 

       







1 1 1

2 1

, ... ... , ..

( ( ( ), '( )) ) .

[ ], 1, , ( ) '( )

Interpolation d'Hermite : ou 2 à 2 distincts,

et _{i i} inj

n n n

i

n i i i i

x x a a b b

X i n P x a P x b P P x P x



  

     

( )^I A algèbre asso. unitaire intègre. de dim. finieA A est un corps (x ax lin, injbij)

IV. Rang

et E F ev

( , ) est de rang fini lorsque Im est de dim. finie. Alors, rg dim(Im )

uL E F u u u

1 1

( ... ) ( , ), rg rg( ( )... ( ))

de dim finie, de base _{n n}

E e e   u L E F  u u e u e

( , ) ( ', ) ( , ')

( ) rg( ) rg( ) rg( ) /

de rang fini, , et sont de rang fini et :

et , avec égalité si est un isomorphisme

u E F w E E v F F v u u w

r u w u v u u w v

   

 

L L L

rg(u v)rg( )v ssi Imvkeru{0} || rg( u v)rg( )u ssi ImvkeruE || | rg( ) rg( ) | rg(u  v  uv)

V. Sommes, sommes directes

1 1 1

1

... _p de dim finie. ... _p est de dim finie, dim( ... _p) dim _k

p

k

E E ev E E E E E



     



1 1

1 1

...

( ,..., .

... ..

sev du )^p

p

p p

F F E

F F ev E j

x

x x x

  

   

1, 1, 1,

1... Im .

La somme de _p est , notée _{j j}

j p j p i p

F F j F F Vect Fi

  

 

  

 

1,

1, 1 1

, 1

1 ,

... 1 ...

...

sont en somme directe lorsque est injective : c'est alors un isomorphisme :

On note alors , et on dit que sont supplémentaires lorsque

p p j

j j p j

j p

j p j p

j p

F F j F F F

F F F F F E



  

 

 



  

1... _p en somme directe ( ...1 _p) 1 ... _p, 1 ... _p 0 1 ... _p 0 F F   x x   F F x  x    x x 

1 1 1

{0}

... 2, ,( ... ) {0}

et sont en somme directe

sont en somme directe _j

p j

F G ssi F G

F F ssi j p F F_ F

 

     

1...F_p de dimension finie F

1, 1

1 1

,

dim( ) dim dim dim( ) dim dim

Si est une base de , ... est une base de

j j

j

p

j p

j

j j

j p

p

F G F G F G F F

F F

   

 



 

      

  

 



dim dim

Si



F_j 



F_j, la somme est directe

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1

1

\ 1

\

( , ) ( , )

... .

( ... )

, est un isomorphisme

p

i

F p

p

i F

E G F G

E F F G ev

u u u



 

    





L L

( )

\ \

1,

1

0, ,

( ) ( ) , , 0

Familles de projecteurs : ,

Si sont tels que , , c'est une famille de projecteurs

i i

j

I

i F j

n

i

i F F

j p

n

i i i

i

i E

i j

E F p j i p Id

p E i j p p p p p p Id





    

     





L

VI. Quelques classes d’endomorphismes

*, { } * ( )

Si E E est linéaire est un sous-groupe de

h h GL E

x x

  

  ^

 

  



// //

( ) ( , ( ))

Lemme de Schur : non nulle. est une homothétie , est liée

HP uL E u   x E x u x

( ) est un projecteur lorsque (idempotence)

pL E p p p

( ) Im ker

Si pL E est un projecteur, alors c'est la projection sur p parallèlement à p

( ) est une involution lorsque _E || , F G E est la symétrie p/r de dir.

u E u u Id F G E s F G

x y x y

  

L      

car 2 Si uL( )E est une involution, c'est la symétrie p/r Fker(uId_E) de direction Gker(uId_E)

, 0 ker Im . || car 2 0

car 2 0 ker( ) ker( )

( ( )) { ( ), ( ), } { }

proj. laisse stable et proj

involution, , laisse stable et

homothéties

p q u p p u u p p p q p q q p

u u v v u v u Id u Id

Z GL E v GL E u GL E u v v u

       

     

     

0 0

// //

1 1

( ). , ker( ) Im( ).

... . ...

... ..

de dim finie. pour on note et Il existe tq :

et (Thm du rang)

p p

p

r r

HP

p

r r

E u E p K u F u r

K K K _ F F F_

    

   

L

1

( ) * 0

min{ / } {0} ...

est nilpotent lorsqu'il existe tel que

Si , on trouve est l'ordre de nilpoitence de

p

p p r

u E p u

r p K K _ K E r u

  

   

L

dim

0 1

0

1 1

1

, ( ) 0, ( ) 0 ( , ( )... ( )) 0

0

dim ,[ ] dim ker 1 1, ,dim ker

0

libre nilpotent

nilp. d'ordre base de

p p p

i

x E u x u x x u x u x u u E

n E u n E u u i n u i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

     

  B _B      