Probabilitées TD 10 - correction

Probabilitées TD 10 - correction

lanquetuit.cyril@gmail.com, Universite de Cergy Pontoise

"Une densité de population c'est la probabilité qu'on trouve quelqu'un dans un kilomètre carré..."

Pour chacune des fonctions suivantes,

1) On montre que f est bien une densité de probabilité 2) Pour X variable aléatoire de densité de probabilité f, on cherche F sa fonction de répartition

3) Ainsi que son espérenceE(X)et sa varianceV(X) =E(X²)−E(X)²

1 Densité exponentielle inversée

Soitf :R→R, x7→exp(−x)six≥0,0sinon 1)R+∞

−∞ f(x)dx=R+∞

0 e^−xdx= [−e^−x]^+∞₀ = 0−(−1) = 1 2)F(x) =P(X ≤x) =Rx

−∞f(x)dx=Rx

0 e^−tdt= [−e^−t]^x₀ =e^−x 3)E(X) =R+∞

−∞ xf(x)dx=R+∞

0 xe^−xdx= [−xe^−x]^+∞₀ −R+∞

0 −e^−xdx= 1 V(X) = E(X²)−E(X)² = R+∞

0 x²f(x)dx−1 = R+∞

0 x²e^−xdx−1 = [−x²e^−x]^+∞₀ + 2R+∞

0 xe^−xdx−1 = 2−1 = 1

2 Densité triangulaire

Soitf :R→R, x7→1 +xsi|x| ≤k,0 sinon,k≥0 1)1 =R+∞

−∞ f(x)dx=R+∞

0 (1 +x)dx= [x+^x₂²]^+k_−k = 2k⇔k= ¹₂ 2)F(x) =Rx

−∞f(x)dx=Rx

−k(1 +t)dt= [t+^t₂²]^x_−k =x+k+^x2−k₂ ² 3)E(X) =R+∞

−∞ xf(x)dx=R+k

−k(x+x²)dx= [^3x2+2x₆ ³]^+k_−k= ²₃k³=₁₂¹

V(X) =E(X²)−E(X)²=R+∞

−∞ x²f(x)dx−₁₂¹2 =R+k

−k(x²+x³)dx−₁₂¹2 = [^x₃³ +^x₄⁴]^+k_−k−₁₂¹₂ =²₃k³−₁₂¹₂ =₁₂¹¹₂

1

3 Densité parabolique

Soitf :R→R, x7→k(4x−x²)si0≤x≤4,0 sinon 1)1 =R+∞

−∞ f(x)dx=kR4

0(4x−x²)dx=k[2x²−^x₃³]⁴₀= ³²₃k⇔k= ₃₂³ 2)F(x) =P(X ≤x) =Rx

−∞f(x)dx=Rx 0

12t−3t³

32 dt= [^6t2₃₂^−t3]^x₀ = ^6x2₃₂^−x3 3)E(X) =R+∞

−∞ xf(x)dx=R4 0

12x²−3x³

32 dx= [^16x₁₂₈^3−3x4]⁴₀= 8−6 = 2 V(X) = E(X²)−E(X)² = R4

0

12x²−3x³

32 dx −2² = [^3x₃₂⁴ − ^3x₁₆₀⁵]⁴₀−4 = 24−^3×64₁₀ −4 = ₁₀⁸ =⁴₅

4 Densité exponentielle

Soitf :R→R, x7→ ^exp(−|x|)₂ 1)R+∞

−∞ f(x)dx= 2R+∞

0 e^−x

2 dx= [−e^−x]^+∞₀ = 0−(−1) = 1 2)F(x) =P(X ≤x) =Rx

−∞f(x)dx=Rx

−∞

e^−t

2 dt= [−^e−t₂ ]^x₀ =^e−x₂ surR⁻ F(x) =P(X ≤x) =Rx

−∞f(x)dx= ¹₂+Rx

−∞

e^−t

2 dt=¹₂+ [−^e−t₂ ]^x₀ = 1−^e−x₂ surR⁺

3)E(X) =R+∞

−∞ xf(x)dx=R0

−∞

xe^−x

2 dx+R+∞

0 xe^−x

2 dx=R+∞

0 xe^−x

2 dx− R+∞

0 te^−t

2 dt= 0

V(X) =E(X²)−E(X)²=R+∞

−∞ x²f(x)dx= ²₂R+∞

0 x²e^−xdx= 2

2