CORRECTION du TD n
o0
I
Résoudre l’inéquation 3x2+x−4Ê0.∆=b2−4ac avec
a=3 b=1 c= −4
donc∆=49>0.
Le trinôme du second degré a donc deux racines : x1= −b−p
∆
2a = −1−7 6 = −4
3 et x2= −b+p
∆
2a =
−1+7 6 =1.
On sait que, si∆>0,ax2+bx+c est du signe de a(coefficient dex2) à l’extérieur de l’intervalle formé par les racines et du signe de−aentre les racines.
On en déduit : S =
¸
−∞; −4 3
¸
∪[1 ; +∞[
II
Résoudre l’inéquation 2x4+7x2−15=0.
C’est une équation bicarrée ; on effectue un chan- gement de variable en posantX =x2.
L’équation équivaut à
(2x4+7x2−15=0
X =x2 ⇔
(2X2+7X−15
X =x2 .
On résout l’équation du second degré, d’inconnue X : 2X2+7X−15=0.
∆ = 169 = 132 > 0 ; l’équation a deux racines : X1= −5 etX2=3
2. OrX =x2.
Les solutions de l’équation initiale sont les solu- tions des équationsx2=X1= −5 etx2=X2=3
2.
• −5<0 doncx2= −5 n’a pas de solution réelle (c’est- à-dire dans l’ensemble des réelsR).
• x2=3
2a deux solutions opposées :− r3
2et r3
2. L’ensemble des solutions de l’équation est :
S = (
− r3
2; r3
2 )
III
Soit (un) une suite de premier termeu0.
Le cinquième terme estu4, car il y a cinq entiers entre 0 et 4 compris.
IV
Soit (un) la suite définie parun=n2+3n+1.
• u1=12+3×1+1=5 : u1=5
• u2=22+3×2+1=11 : u2=11
• un+1=n2+3n+1+1= n2+3n+2.
• un+1=(n+1)2+3(n+1)+1= n2+5n+5
(il faut bien distinguer les écritures deun+1 et de un+1! les indices s’écrivent un interligne en dessous de la ligne principale)
V
Soit (un) la suite définie par
(u0= −5
un+1=un+n+3 . On a :un+1=un+n+3.
• u1=u0+1=u0+0+3= −5+0+3= −2
• u2=u1+1=u1+1+3= −2+1+3= 2
VI
On pourra utiliser la calculatrice pour certaines questions.
Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse (en justifiant !)
La suitevest définie parv0=1 et, pour tout entier natureln,vn+1=vn+vn2.
a) La suitev est croissante.
Vraipuisque, pour toutn,vn+1−vn=vn2Ê0.
b) vnÊ1 à partir du rang 12.
Vrai, caru12≈1, 96 et la suite est croissante.
c) Il existe un rangntel quevnÊ1010. Vrai:u17≈6, 98×1012
d) Pour tout entier natureln,vnÉ1050. Faux:u19≈2, 37×1051
e) La suitev a pour limite 1050. Faux: pourn Ê19, un >1050 donc la limite éventuelle ne peut être 1050; cette suite a d’ailleurs une limite infinie.
