Correction TD n°01

ISET de Nabeul

Narjes SGHAIER & Fèdia DOUIRI - 5 - Correction TD Mesures Electriques

Correction TD n°01

Exercice 01 :

Données : ^U=

(

) [ ]

1) Calcul de l’incertitude absolue sur la puissance : P = ⋅U I AN : P=120 24, 2 2904× = W

I cte U cte

P P

P U I I U U I

U ₌ I ₌

∂ ∂

Δ = Δ + Δ = ⋅ Δ + ⋅ Δ

∂ ∂

avec : Δ =U 2 V et ^{1, 65 1, 65} 24, 2 0, 4

100 100

I I A

Δ = ⋅ = × = .

ª Δ = ⋅ Δ + ⋅ ΔP I U U I AN : Δ =P 24, 2 2 120 0, 4× + × Ö Δ =P 96, 4W 2) Calcul de l’erreur relative :

%

P 100 P

P P

Δ Δ

⎛ ⎞

= ⋅

⎜ ⎟

⎝ ⎠ AN :

%

96, 4 100 2904 P

P Δ

⎛ ⎞

= ×

⎜ ⎟

⎝ ⎠ Ö

%

3,32 % P

P Δ

⎛ ⎞

⎜ ⎟ =

⎝ ⎠

3) Expressions du résultat :

# 1^ère façon : ^{P=Pm ± ΔP W}

[ ]

(

) [ ]

# 2^ème façon :

%

2904 3,32 %

m

P P W P W

P Δ

⎛ ⎞

= ±⎜⎝ ⎟⎠ = ±

Exercice 02 :

ƒ Voltmètre : U_L =27, 2V; N=300points; G =30V; ^{Δ = ±U}

(

)

ƒ Ampèremètre : Cl=0,5; C=1A; L=92,85divisions; E=100; Δ =l 0,35divisions. 1) Calcul de l’incertitude absolue sur R :

U =R I⋅ Ö R ^U

= I

I cte U cte 2

R R U U

R U I I

U ₌ I ₌ I I

∂ ∂ Δ

Δ = Δ + Δ = + ⋅ Δ

∂ ∂

- Calcul de I : I ^{C L} E

= ⋅ AN ^{1 92,85} 928 I= ×100 = m A

Narjes SGHAIER & Fèdia DOUIRI - 6 - Correction TD Mesures Electriques

c 100 I Cl C⋅

Δ = AN : ^{0,5 1} 0,005

c 100

I × A

Δ = =

l

C l

I E

Δ = ⋅ Δ AN : ^{1 0,35} 0, 0035

l 100

I × A

Δ = =

ª Δ = Δ + Δ =I I_c I_l 0, 005 0, 0035 8,5+ = m A Ö ^I=

(

)

- Calcul de U : ^{Δ = ±U}

(

)

ª ^{0, 2 2} 100

L G

U N

× ×

Δ = + AN : ^{0, 2 27, 2 30 2} 0, 25

100 300

U × × V

Δ = + =

Ö U=

(

)

2

U U

R I

I I

Δ = Δ + ⋅ Δ AN :

( )

0, 25 27, 2

0, 0085 0,928 0,928

Δ =R + × Ö Δ =R 0,54Ω

2) Calcul de l’incertitude relative :

( )

27, 2

29,31 0,928

m

R U

= I = = Ω

%

0,54 100 29,31 R

R Δ

⎛ ⎞

= ×

⎜ ⎟

⎝ ⎠ Ö

%

1,84 % R

R Δ

⎛ ⎞

⎜ ⎟ =

⎝ ⎠

3) Expressions du résultat :

# 1^ère façon : ^{R=Rm ± ΔR}

[ ]

(

) [ ]

# 2^ème façon :

%

29,31 1,84 %

m

R R R

R Δ

⎛ ⎞

= Ω ±⎜⎝ ⎟⎠ = Ω ±

Exercice 03 :

Données : R₁=47Ω ± 5%, R₂ =33Ω ± 3%, R₃ =22Ω ± 2% et ^I=

(

)

1) Calcul de l’erreur relative sur la puissance :

P = ⋅R I2 avec R =R₁+R₂+R₃ AN : R= 47 33 22 102+ + = Ω

2 2

P I R R I I

Δ = ⋅ Δ + ⋅ ⋅ ⋅ Δ Ö ^{P I2 R 2}₂^{RI I R 2 I}

P R I R I

⋅ Δ + ⋅ ⋅ Δ = Δ + ⋅ Δ Δ = ⋅

- Calcul de ΔR : on a Δ = ΔR R₁+ ΔR₂ + ΔR₃

1 5 1 5

47 2,35

100 100

R R

Δ = ⋅ = × = Ω, ₂ ³ ₂ ³ 33 0,99

100 100

R R

Δ = ⋅ = × = Ω

3 2 3 2

22 0, 44

100 100

R R

Δ = ⋅ = × = Ω

Narjes SGHAIER & Fèdia DOUIRI - 7 - Correction TD Mesures Electriques

1 2 3 2,35 0,99 0, 44 3, 78

R R R R

Δ = Δ + Δ + Δ = + + = Ω

ª ^{2 3,78} 2 ^{0, 05}

102 2

P P

R I

R I

Δ + ⋅Δ = + ×

Δ = Ö P 0, 087

P =

Δ

3) Expressions du résultat :

2 102 22 408

P = ⋅R I = × = W Ö ΔP =0,087× =P 0,087 408 35, 49× = W

# 1^ère façon : ^P=

(

) [ ]

# 2^ème façon : R =408 W±8,7 % - L’intervalle de confiance de P :

[ ]

inf ; sup 408 35, 49; 408 35, 49

P P W

⎡ ⎤= − +

⎣ ⎦ Ö ⎡⎣P^inf;P^sup⎤⎦ =

[

]

Exercice 04 :

- Ampèremètre : Cl=0,5; N = =E 100; C=5A; L =82divisions; Δ =l 0,25divisions. 1) Calcul de l’incertitude absolue sur la puissance :

P = ⋅R I2 Ö ² ₂

I cte R cte

P P

P R I I R R I I

R ₌ I ₌

∂ ∂

Δ = ⋅ Δ + ⋅ Δ = ⋅ Δ + ⋅ ⋅ ⋅ Δ

∂ ∂

- Calcul de I : I ^{C L} E

= ⋅ AN ^{5 82} 4,1 I= 100× = A

c 100 I Cl C⋅

Δ = AN : ^{0,5 5} 0, 025

c 100

I × A

Δ = =

l

C l

I E

Δ = ⋅ Δ AN : ^{5 0, 25} 0, 0125

l 100

I × A

Δ = =

ª Δ = Δ + Δ =I I_c I_l 0,025 0, 0125 0, 037+ = A Ö ^I=

(

)

- Calcul de ΔR : on a Δ = ΔR R₁+ ΔR₂ + ΔR₃

0,5 0,5

3 0, 015

100 100

R R

Δ = × = × = Ω

ª Calcul de ΔP : Δ =P I²⋅ Δ + ⋅ ⋅ ⋅ ΔR 2 R I I

AN : Δ =P

( )

( )

2 3 4,1

P=R I⋅ = × Ö P=50, 43W

Narjes SGHAIER & Fèdia DOUIRI - 8 - Correction TD Mesures Electriques 3) Calcul de l’incertitude relative :

%

1,16 100 50, 43 P

P Δ

⎛ ⎞

= ×

⎜ ⎟

⎝ ⎠ Ö

%

P 2,3%

P Δ

⎛ ⎞

⎜ ⎟ =

⎝ ⎠

Exercice 05 :

ƒ Ampèremètre analogique : Cl =1,5; C=3A; E=30divisions; Δ =l 0,5division.

ƒ Ampèremètre numérique : N =300points; G=4A; ^{Δ = ±I}

(

)

1) Calcul de l’incertitude par l’appareil analogique :

c 100 I Cl C⋅

Δ = AN : ^{1,5 3} 0, 045

c 100

I × A

Δ = =

l

C l

I E

Δ = ⋅ Δ AN : ^{3 0,5} 0, 05

l 30

I × A

Δ = =

ª Δ = Δ + Δ =I I_c I_l 0, 045 0, 05+ Ö ΔI=0,095 A

%

0, 095 2,5 100 I

I Δ

⎛ ⎞

= ×

⎜ ⎟

⎝ ⎠ Ö

%

I 3,8%

I Δ

⎛ ⎞

⎜ ⎟ =

⎝ ⎠

2) Calcul de l’incertitude par l’appareil numérique :

( )

100 100

0,1% , 0, 0

100 100

1%

I L G = ×L + ×G = × + × =

Δ = ± +

Ö ΔI=0,0029A

%

0, 0029 2,5 100 I

I Δ

⎛ ⎞

= ×

⎜ ⎟

⎝ ⎠ Ö

%

0,116%

I I Δ

⎛ ⎞

⎜ ⎟ =

⎝ ⎠

3) On choisit l’appareil numérique car il donne une valeur plus précise

(

)

Narjes SGHAIER & Fèdia DOUIRI - 9 - Correction TD Mesures Electriques

Exercice 06 :

Données : Cl =1,5; n = Δ =l 0 5, division. 1) Le tableau de mesures :

Calibre/Echelle

300mA/30 300mA/100 1A/30 1A/100

Lecture 25 83 7,5 25 C L

( )

I A

E

= × 0,25 0,249 0,25 0,25

100

( )

c

I Cl C× A

Δ = 0,0045 0,0045 0,015 0,015

( )

l

C l

I A

E

Δ = × Δ 0,005 0,0015 0,016 0,005

( )

c l

I I I A

Δ = Δ + Δ 0,0095 0,006 0,031 0,020

% I I Δ

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ 3,8% 2,4% 12,4% 8%

2) On choisit le calibre 300 mA. Le choix du calibre doit être adapté à la valeur mesurée.

3) On choisit l’échelle 100 car

(

)

Exercice 07 :

ƒ Partie A :

Données : E=24 V, R1=38 Ω, R2=20 Ω.

E

R 1

R 2 V

I

R 1

1) En appliquant le théorème de diviseur de tension, on obtient :

2

1 2

2

V R E

R R

= ⋅

+

Narjes SGHAIER & Fèdia DOUIRI - 10 - Correction TD Mesures Electriques 2) L’expression de ^V

V Δ :

( ) ( ) ( )

1 2

2 1

1 2

1 , 2 , ,

2 1 2

1 2

2 2

1 2

1 2 1 2

2 2

2 2 2

R R cte

R E cte R E cte

V V V

V R R E

R R E

R E R E R

R R E

R R

R R R R

= = =

∂ ∂ ∂

Δ = ⋅ Δ + ⋅ Δ + ⋅ Δ

∂ ∂ ∂

⋅ ⋅

= ⋅ Δ + ⋅ Δ + ⋅ Δ

+ + +

Ö

(

)

(

)

2 2

2 2

V R R E

V R R R R R R E

Δ = ⋅ Δ + ⋅Δ + Δ

+ +

3) Données : ^{1 2}

1 2

R R 1%

R R

Δ = Δ = et Δ =E 1V

a. Calcul de V :

2

1 2

2

V R E

R R

= ⋅

+ AN : ²⁰ 24

2 38 20

V= ×

× + Ö V=5 V b. Calcul de ^V

V Δ :

(

)

(

)

2 2

2 2

V R R E

V R R R R R R E

Δ = ⋅ Δ + ⋅Δ +Δ

+ +

avec : ₁ ¹ ₁ ³⁸ 0,38

100 100

R R

Δ = × = = Ω, ₂ ¹ ₂ ²⁰ 0, 2

100 100

R R

Δ = ⋅ = = Ω

Ö ² 0,38 ^{2 38} 0, 01 ¹

96 96 24

V V

Δ = × + × × + Ö

%

5, 78 % V

V Δ

⎛ ⎞

⎜ ⎟ =

⎝ ⎠

c. Calcul de ΔV : 0,0578 0,0578 5

V V

Δ = × = × Ö ΔV =0, 289V d. Expressions du résultat :

# 1^ère façon : ^V=

(

) [ ]

# 2^ème façon : ^{V =5}

[ ]

ƒ Partie B :

Données : Cl=1,5; C=30V; S₁=100Ω/V 1) Détermination de la tension U_2mes:

2 2 1

éq mes

éq

U R E

R R

= ⋅

+ avec : ²

2 éq V

V

R R

R R R

= ⋅

+ et R_V =S₁⋅ =C 100 30 3000× = Ω ª ^{20 3000} 19,86

20 3000

Réq = × = Ω

+ Ö ₂ ^19,86 24

19,86 2 38

U mes = ×

+ ×

Ö U_2mes =4,97 V

Narjes SGHAIER & Fèdia DOUIRI - 11 - Correction TD Mesures Electriques 2) Calcul de l’incertitude de méthode :

2 2_mes 2 4,97 5

U U U

Δ = − = − Ö ΔU₂ =0,03V

2

2 %

0, 03 4,97 100

mes

U U

⎛ Δ ⎞ = ×

⎜ ⎟

⎝ ⎠ Ö ²

2 %

0, 6 %

mes

U U

⎛ Δ ⎞ =

⎜ ⎟

⎝ ⎠

3) Changement du voltmètre : S₂ =100KΩ/V a. Détermination de la tension U′_2mes:

2 2 1

éq mes

éq

U R E

R R

= ′ ⋅

′ + avec : ²

2 éq V

V

R R

R R R

⋅ ′

′ = + ′ et R′ =_V S₂⋅ =C 100 10× ³×30 3000= KΩ

ª ^{20 3000 103}₃ 19,99 20 3000 10

Réq = × × = Ω

+ × Ö ₂ ^19,99 24

19,99 2 38

U mes = ×

+ ×

Ö U_2mes =4,998V

b. Calcul de l’incertitude de méthode :

2 2_mes 2 4,998 5 U′ U′ U′

Δ = − = − Ö ΔU′ =₂ 0,002V

2

2 %

0, 002 4,998 100

mes

U U

⎛ Δ ′ ⎞ = ×

⎜ ⎟

⎝ ′ ⎠ Ö ²

2 %

0, 04 %

mes

U U

⎛ Δ ′ ⎞ =

⎜ ′ ⎟

⎝ ⎠

4) Interprétation des résultats :

On conclut que ^{2 2}

2mes % 2mes %

U U

U U

⎛ Δ ′ ⎞ <⎛ Δ ⎞

⎜ ′ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Ö ainsi le voltmètre ayant la valeur la plus élevée de S est plus précis (plus S augmente Æ plus ΔUdiminue).

Exercice 08 :

Données : C=G =4000Ω; N =4000points; L= 475,5; ^{Δ = ±U}

(

)

ƒ Partie A :

1) Calcul de l’incertitude absolue : ΔR0= ±

(

)

0 2 5 2 475,5 5 4000

100 100 4000

L G

R × + ×N = × ×

Δ = + Ö ΔR₀ =14,51Ω

2) Calcul de l’incertitude relative :

0 0 %

14,51 475,5 100 R

R

⎛Δ ⎞ = ×

⎜ ⎟

⎝ ⎠ Ö ⁰

0 %

3, 05 % R

R

⎛Δ ⎞ =

⎜ ⎟

⎝ ⎠

3) Expressions du résultat :

# 1^ère forme : R0 =R0± ΔR0

[ ]

(

) [ ]

Narjes SGHAIER & Fèdia DOUIRI - 12 - Correction TD Mesures Electriques

# 2^ème forme : ^{0 0}

[ ]

0 %

475,5 3, 05 % R R R

R

⎛Δ ⎞

= Ω ±⎜ ⎟ = Ω ±

⎝ ⎠

ƒ Partie B :

Données : ^{R =R0}

(

)

1) Calcul de la valeur de R : 475,5 1 50

R ⎛ 250⎞

= × +⎜⎝ ⎟⎠ Ö R =570,6Ω 2) Calcul de l’incertitude absolue :

( )

0

0 0 0

0

1

R cte cte

R R

R R a R a R

R _θ= θ ₌ θ θ θ

∂ ∂

Δ = ⋅ Δ + ⋅ Δ = + ⋅ ⋅ Δ + ⋅ ⋅ Δ

∂ ∂

1, 2 14,51 475,5 250 1

R × +

Δ = × Ö ΔR =19,314Ω

3) Calcul de l’incertitude relative :

%

19,314 570, 6 100 R

R Δ

⎛ ⎞

= ×

⎜ ⎟

⎝ ⎠ Ö

%

3,38 % R

R Δ

⎛ ⎞

⎜ ⎟ =

⎝ ⎠

4) Expressions du résultat :

# 1^ère forme : R = ± ΔR R

[ ]

(

) [ ]

# 2^ème forme :

[ ]

%

570, 6 3,38 % R R R

R Δ

⎛ ⎞

= Ω ±⎜⎝ ⎟⎠ = Ω ±