Exercice 3 : encore la fonction

PSI* — 2020/2021 Le 28/11/2020.

D.S. 3

Le sujet est constitué de quatre exercices indépendants.

Exercice 1

Pour tout entier n≥1et tout réelx, on pose :

u_n(x) = x n(1 +nx²). 1) Étudier la convergence simple de la série de fonctions u_n. 2) Étudier les variations de la fonction u_n.

Que peut-on conclure pour la convergence de u_n ? La fonction somme S de la série u_n est-elle continue ? 3) Montrer que S est dérivable en tout pointx= 0.

4) N étant un entier≥1, on poseS_N(x) =

N

n=1

u_n(x).

a)Montrer qu’il existe un réel α≥0(dépendant de N) tel que, pour 0<|x|< α, on ait S(x)

x ≥ S_N(x) x ≥ 1

2

N

n=1

1 n. b)S est-elle dérivable en 0 ?

Exercice 2 : plusieurs expressions de la constante d’Euler

1) Retrouver rapidement l’existence de

γ= lim

p→∞

p

n=1

1 n−lnp et montrer que γpeut également s’écrire :

γ=

+∞

n=1

1

n−ln 1 + 1

n .

2) Soit x∈[0,1] ; établir :

∀p∈N^∗ ∀t∈[0, x] 1 1 +t =

p

k=0

(−1)^kt^k+(−1)^p+1t^p+1 1 +t . En déduire :

ln (1 +x) =

+∞

k=1

(−1)^k−1x^k

k .

3) Montrer que γ peut encore s’écrire :

γ=

+∞

n=1 +∞

k=2

(−1)^k kn^k .

La fin du problème s’attache à intervertir les deux sommations ci-dessus.

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4) Pourx∈[1,+∞[, on note E(x) la partie entière dex et l’on pose

∀k≥2 fk(x) = (−1)^k k

E(x)

n=1

1 n^k. a)Montrer que la fonction ζ :α→

+∞

n=1

1

n^α est définie et décroissante sur ]1,+∞[.

Montrer que, pourx fixé dans[1,+∞[, la suite (|f_k(x)|)_k≥2 converge vers0 en décroissant.

b)En déduire que la série de fonctions

k≥2

f_k est uniformément convergente sur [1,+∞[.

5) Montrer que :

γ= lim

x→+∞

+∞

k=2

f_k(x). En déduire enfin que :

γ=

+∞

k=2

(−1)^k k ζ(k).

Exercice 3 : encore la fonction

!

On posera, dans tout le problème, pour tout entier naturel non nul N et pour tout réels >0: S_N(s) =

N

n=1

(−1)ⁿ⁻¹

n^s , H_N(s) =

N

n=1

1

n^s , K_N(s) =

N

n=1

1 (2n−1)^s.

1) Définition de ζ : soients >0 etnun entier naturel non nul. Posons : u_n(s) = 1

n^s −

n+1 n

dt t^s. a)Montrer que la fonction u_n ainsi définie est continue sur R^+∗. b)À l’aide d’une intégration par parties, montrer que :

0≤u_n(s)≤ s n^s+1.

c)Prouver que la série de fonctions de terme général u_n converge simplement sur ]0,+∞[ et que sa somme, qui sera notée U dans la suite, est une fonction continue sur]0,+∞[.

d)Prouver que, pour tout s∈]0,1[∪]1,+∞[, la suite de terme général H_N(s)−N^1−s

1−s

possède une limite, notée ζ(s), que l’on exprimera à l’aide deU(s).

e)Prouver que la suite de terme général H_N(1)−lnN admet une limite strictement positive notéeγ dans la suite du problème.

2) Autre expression de ζ

a)Soit sun réel strictement positif ; prouver que la série de fonctions de la variable réelles

n≥1

(−1)ⁿ⁻¹ n^s

définit sur ]0,+∞[une fonction de classe C¹ qui sera notéef dans la suite.

b)ExprimerS_2N(s) à l’aide deH_2N(s) etH_N(s). En déduire, sis∈]0,1[∪]1,+∞[ : f(s) = 1− 1

2^s−1 ·ζ(s) .

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c)En déduire, en décomposant autrement S_2N(s)que, pour les mêmes valeurs de s, la suite de terme général

K_N(s)− N^1−s 2^s(1−s) admet une limite que l’on exprimera à l’aide deζ(s).

3) Étude au voisinage de +∞: quelle est la limite def(s) lorsques tend vers+∞? 4) Étude au voisinage de 1

a)Montrer que, lorsque sest au voisinage de 1 : ζ(s) = 1

s−1 +γ+o(1). b)Prouver, en calculant f^′(1)de deux façons, que :

∞

n=1

(−1)ⁿlnn

n = γ−ln 2

2 ·ln 2.

Exercice 4 : recherche d’équivalents

Soient deux suites (a_n) et(b_n) à termes strictement positifs et telles que a_n∼

∞b_n. On suppose d’autre part que la fonction f :t→

∞ n=0

a_ntⁿest définie sur R. 1) Quel est l’ensemble de définition de la fonction g:t→

∞ n=0

b_ntⁿ ? 2) Justifier l’existence d’une suite (γ_n) convergeant vers 0 et telle que :

∀n∈N a_n =b_n(1 +γ_n).

3) Soit m∈N.

a)Prouver l’existence de

δm= sup

n≥m+1|γ_n|. b)Montrer que :

∀t >0 ∀m∈N f(t)

g(t) −1 ≤δm+ 1 b_m+1t^m+1

m n=0

|γ_n|bntⁿ.

c)En déduire que :

f(t) ∼

t→+∞g(t). 4) Application : soithla fonction définie par

h:t→

∞ n=0

c_ntⁿ où c_n=

1 + 1 n+ 1

n+1

n! .

a)Déterminer l’ensemble de définition de la fonction h.

b)Trouver un équivalent de h(t) au voisinage de+∞.

Il n’est jamais problème qui n’ait un cadeau pour toi entre ses mains.

Tu cherches des problèmes parce que tu as besoin de leurs cadeaux.

Richard Bach