Chapitre X : Statistique et probabilité. I-

Les mathématiques au collège

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Chapitre X : Statistique et probabilité.

I- Statistique descriptive.

1- Vocabulaire et définitions :

Population : On appelle population ou univers, un ensemble d’objets ou d’être vivants.

Individu : On appelle individu chaque élément de la population.

Caractère : Il y a deux sortes de caractères : Quantitatif et qualitatif.

1-1) Les caractères quantitatifs prennent des valeurs numériques :

a) Le caractère quantitatif discret : (c’est un caractère qui ne peut prendre que des valeurs numériques isolées). Exemple le nombre de frères et de sœurs dans chaque famille.

b) Le caractère quantitatif continu : C’est un caractère qui peut prendre toutes les valeurs d’un intervalle). Exemple la taille d’une personne.

1-2) Le caractère qualitatif ne peut pas prendre de valeurs numériques.

Exemples de caractères qualitatifs : La couleur des cheveux, fumeur ou non fumeur, …

2- La statistique.

La statistique descriptive est l’ensemble de méthodes permettant de mettre en évidence la répartition des individus d’une population en fonction de critères d’étude déterminés.

3- Méthodes.

La méthode statistique comporte trois étapes :

 La première étape consiste à rassembler puis réorganiser les données sous forme de tableaux ou graphiques.

 La deuxième étape (analytique) consiste à réduire les données en un nombre fini de paramètres. (Moyenne, étendue, médiane, ….

 La troisième étape consiste à interpréter les résultats.

4- Exemples.

Exemple N°1 (Série statistique avec deux caractères quantitatifs)

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Dans une classe de 39 élèves, on étudie les deux caractères quantitatifs suivants : 1) Le nombre de frères et de sœurs (caractère quantitatif discret)

2) La taille de chaque élève (caractère quantitatif continu) Les résultats de cette étude:

Tableaux et graphiques.

 Tableaux des effectifs.

1- La première série statistique.

Nombre

d’enfants 0 1 2 3 4 5 Effectif

total Nombre de

familles 8 9 7 11 3 1 39

a- population étudiée est l’ensemble des élèves de cette classe.

b- Le caractère étudié (le nombre de frères et de sœurs) qui est un nombre entier. Dans notre exemple ce caractère prend les valeurs 0 – 1 – 2 – 3 – 4 – 5.

8 est un effectif partiel, il représente le nombre d’élèves dans cette classe qui ont 0 frères et sœurs ou le nombre de familles dans cette classe qui ont un seul enfant.

11 est l’effectif partiel qui représente le nombre de familles qui ont 4 enfants.

39 est l’effectif total.

2- La deuxième série statistique.

Classes [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [

Centres 1,575 1,625 1,675 1,725 1,775 1,825 1,875

effectifs 2 7 10 13 3 2 2 39

a- Pour plus de clarté il est plus pratique de regrouper les valeurs du caractère taille en intervalles (ou classes) successifs et contigus, puis on remplace chaque intervalle par son milieu. (ou chaque classe par son centre)

b- Le caractère étudie (la taille de chaque élève). Ce caractère est continu. La taille de l’élève peut être n'importe quel nombre de l’intervalle.

 Graphiques.

Questionnaire

Nom :

Nombre de frères et sœurs ……..

Taille :

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 Tableaux des fréquences

Nombre

d’enfants 0 1 2 3 4 5 Effectif

total Nombre de

familles 8 9 7 11 3 1 39

Fréquences 1 0

2 4 6 8 10 12

0 1 2 3 4 5

Les effectifs

Nombres de frères et soeurs

Exemple 1- Diagramme en bâtons

0 2 4 6 8 10 12 14

[1,55-1,60[ [1,60-1,65[ [1,65-1,70[ [1,70-1,75[ [1,75-1,80[ [1,80-1,85[ [1,85-1,90[

Effectifs

Intervalles ou classes

Exemple 2- Histogramme

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Nombre

d’enfants 0 1 2 3 4 5 Effectif

total Nombre de

familles 8 9 7 11 3 1 39

Fréquences

en % 100

Définition :

A chaque valeur du caractère correspond un nombre Ce nombre est dit fréquence de la valeur .

Exemple : La fréquence des élèves qui ont 2 frères et sœurs est égale à :

On dit que dans cette classe, la fraction des élèves qui ont 2 frères et sœurs est

.

On peut aussi dire que 18% des élèves de cette classe ont 2 frères et sœurs.

Paramètres de positions et de « dispersions » 1- Paramètres de positions :

a) La moyenne.

Définition :

Soit la série statistique suivante :

Valeurs du caractère X

Effectifs

On appelle moyenne arithmétique le rapport :

̅

Exemple 1 : Calcul de la moyenne de la première série statistique (Nombre de frères et sœurs) Nombre

d’enfants 0 1 2 3 4 5 Effectif

total Nombre de

familles 8 9 7 11 3 1 39

̅

Exemple 2 : Calcul de la moyenne de la deuxième série statistique (Taille de l’élève)

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Classes [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [

Centres 1,575 1,625 1,675 1,725 1,775 1,825 1,875

effectifs 2 7 10 13 3 2 2 39

̅

̅

b) La médiane d’une série statistique.

Nombre

d’enfants 0 1 2 3 4 5

Nombre de

familles 8 9 7 11 3 1

Effectifs cumulés croissants

8 17 24 35 38 39

Effectifs cumulés décroissants

39 31 22 15 4 1

Définition :

On appelle médiane d’une série statistique la valeur du caractère telle qu’il y ait autant d’individus pour lesquels le caractère est inférieur à que d’individus pour lesquels le caractère est supérieur à .

Dans l’exemple ci-dessus ] [ , car la moitié de 39 est égale à 19,5 ce nombre est situé entre 17 et 24.

Détermination graphique d’une médiane.

 On construit les polygones des effectifs cumulés croissants et décroissants.

 est la valeur du caractère correspondant à l’intersection.

0 1 2 3 4 5

Série1 8 17 24 35 38 39

Série2 39 31 22 15 4 1

0 10 20 30 40 50

effectifs

Les polygones des effectifs cumulés

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c) Les percentiles.

De façon générale le kième percentile est la valeur du caractère .

 Telle que l’ensemble des individus dont le caractère est au plus égal à représente les k% de l’effectif total.

 Telle que l’ensemble des individus dont le caractère est au moins égal à représente les ( ) de l’effectif total.

Parmi les percentiles, on distingue.

1) Les déciles ( ).

Le premier décile . Le deuxième décile .

………

2) Les quartiles : ( ) Le premier quartile Le deuxième quartile Le troisième quartile 3) La médiane :

La médiane

d)

Mode ou dominante.

C’est la valeur du caractère qui correspond à l’effectif le plus élevé (qui correspond à la fréquence maximum).

Remarque : On appelle plurimodale une série statistique qui présente plusieurs modes.

2- Paramètres de dispersion.

a) L’étendue.

Définition :

On appelle étendue la différence positive entre la plus grande valeur et la plus petite valeur d’une série statistique.

Exemple : Dans la première série statistique l’étendue est égale à : 5 – 0 = 5

II- Probabilité.

1- Vocabulaire :

a- Expérience aléatoire :

Définition :

C’est une expérience dont l’issus est incertain.

Exemple : Lancer d’un dé.

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b- Univers :

Définition :

C’est l’ensemble des résultats engendrés par une expérience aléatoire.

Exemple : L’univers associé à l’expérience ci-dessus est l’ensemble : { }

c- Événement élémentaire :

Définition :

C’est une partie de l’univers, formée par un seul élément. L’ensemble des événements élémentaires constitue l’univers.

Exemples : { } { } sont deux événements élémentaires.

d- Événement :

Définition :

C’est une partie de l’univers, un ensemble de résultats.

Exemple : Soit l’événement : « Le résultat est paire » { }

e- Événement contraire :

Définition :

On appelle événement contraire de l’événement l’événement noté ̅qui se réalise lorsque l’événement ne se réalise pas.

f- Événements incompatibles :

Définition :

On appelle ainsi deux événements qui ne peuvent pas être réaliser simultanément.

2- Probabilité :

2-1. Probabilité et fréquence :

Lorsque l’on répète plusieurs fois une expérience aléatoire. La fréquence de réaliser un événement A est proche de « la fréquence théorique » appelée probabilité de l’événement A.

2-2. Propriétés :

La probabilité d’un événement A est égale à la somme des probabilités des événements élémentaires qui constituent l’événement A.

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La probabilité de l’événement certain ( ) La probabilité de l’événement impossible ( )

La probabilité d’un événement est un nombre compris entre 0 et 1.

( )

La probabilité d’un événement contraire ̅est égale à : ( ̅) ( )

2-3. Situation d’équiprobabilité :

Définition :

Lorsque tous les événements élémentaires ont la même probabilité, on dit qu’il s’agit d’une situation d’équiprobabilité.

Propriété :

Dans une situation d’équiprobabilité.

( )