D.S. DE MATHEMATIQUES (3)

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D.S. DE MATHEMATIQUES (3)

NOM : PRENOM : CLASSE : TS 3

Pas de document, ni de calculatrice ni de sortie autorisés avant la fin de l’épreuve. DUREE : 2 H 00 I- Calculer les dérivées des fonctions f et g définies ci-dessous par :

fx=x²−3 xsinx ; gx=



^x

x²1.

II-On rappelle que la partie entière d'un nombre réel x, notée Ex est le plus grand entier relatif qui est inférieur ou égal à x. On a donc : pour tout x réel : ExxEx1 .

1. Démontrer que pour tout x réel on a: x−1Exx 2. Soit la suiteu_ndéfinie par :

u₁=E

1² ; u₂=EE2

2² ;⋯⋯; u_n=EE2⋯En

n² .

a. Calculer ^u1, u_{2 ,}u_3,u₄ .

b. Soit _k∈ℕ^*, établir la double inégalité k−1Ekk . En déduire un encadrement de

∑

k=1

n Ek .

III-On considère les fonctions numériques f et g d'une variable réelle définies par : fx=1

3



^x²^^x^¹^x



^et^g^^x^=^{2 x}³^^x²⁻¹

1. Démontrer que pour tout x≠0, les nombres f '(x) et g(x) ont le même signe.

2. Étudier les variations de la fonction g surℝ En déduire que l'équation g(x) = 0 admet dansℝ une solution unique, avec 0 << 1. (On ne cherchera pas à calculer)

3. En déduire le signe de g .

4. Dresser le tableau des variations de la fonction f . IV-On considère les nombres complexes−1i, 31iet 2.

1. Écrire ces nombres sous forme trigonométrique.

2. On désigne par a, b et c ces trois nombres complexes de façon que ∣a∣∣b∣∣c∣et par A, B et C leurs images respectives dans un plan (P) muni d'un repère orthonormal directO ,u ,v. a. Placer A, B et C.

b. Déterminer l'affixe d du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.

c. Calculer les distances AB, BC et AC.

d. Démontrer que le triangle obtenu est rectangle isocèle. Qu'en déduit-on pour ABCD?

3. Soit f l'application de (P) dans (P) qui, à tout point M d'affixe z , associe le point M' d'affixe z' telle que z'=2 i z1−2 i. Soient A', B' et C' d'affixes respectives a', b' et c' les images par f des points A, B et C

a. Déterminer a', b' et c' . Placer A', B' et C' dans le plan (P). Quelle est la nature du triangle A'B'C'?( Justifier la réponse).

b. CalculerW=c '−b '

c−b . Écrire W sous forme trigonométrique. En déduire la valeur de B ' C ' BC et une mesure de l'angleBC ,B' C '. Que peut-on en déduire pour les droites (BC) et (B 'C ')?

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