DS n°02

Exercice 1 : Exercice Contrôlé [3 points]

ABCD est un parallélogramme.

1. Placer les points I et J tels que AI⃗⃗⃗ = ¹₃AB⃗⃗⃗⃗⃗ et CJ⃗⃗⃗ = ³₂ BJ⃗⃗⃗ . 2. Exprimer les vecteurs DI⃗⃗⃗⃗ et IJ⃗⃗ en fonction de AB⃗⃗⃗⃗⃗ et AD⃗⃗⃗⃗⃗ . 3. En déduire que les points D,I et J sont alignés.

Exercice n°2 : Exercice contrôlé [3 points]

Soit les points A(1 ;4) et B(11 ;-1) dans le plan muni d’un repère orthonormé(O ,i ,j ).

1. Déterminer les coordonnées de G, centre de gravité du triangle OAB.

2. Le triangle ABO est-il particulier ?

DS n°02 – lundi 16/10/2017 – 1

S

Exercice n° : N°1 (E.C.) N°2 (EC) N°3 N°4 NOTE :

Barème :

/ 3 /3 /4 /10 /20

Compétences ^{Acquis En cours}

d’acquisition Non acquis Etudier les variations d’un polynôme du second degré

Résolution d’équation du 2^nd degré Décomposer un vecteur

Utiliser la colinéarité Calcul de distances

Déterminer une équation cartésienne de droite

Déterminer les coordonnées du point d’intersection de2 droites Démontrer l’alignement de points –parallélisme de droites Coordonnées d’un milieu.

Prise d’initiative

Rédaction et maitrise des calculs

Exercice n°3 [4 points]

Exercice n°4 : [10 points]

2.

a) Déterminer les coordonnées des points A, B, C, D, I et J dans ce repère.

b) Calculer les coordonnées du point E.

c) On admet que 𝐸 (²

3;¹

3). Démontrer que les points I, E et D sont alignés.

3.

a) Déterminer une équation cartésienne de (BJ).

b) On considère la droite (Δ) d’équation cartésienne : ¹₃𝑥 +⁴₃𝑦 − 2 = 0

 Déterminer un point et un vecteur directeur de la droite (Δ).

 Représenter la droite (Δ) sur la figure ci-dessus.

 Les droites (Δ) et (BJ) sont –elles parallèles ? Justifier.

4.

a) Déterminer une équation de la droite (d) parallèle à (AC) passant par le point D.

b) Déterminer les coordonnées de K, point d’intersection de la droite (d) et de (BJ).

c) Les droites (Δ), (𝐵𝐽)𝑒𝑡 (𝑑) sont-elles concourantes en K ? Soit ABCD un parallélogramme tel que AB=2AD.

E est le point tel que 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ =¹

3𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗

I le milieu du segment [AB] et J le milieu du segment [CD].

On considère le repère (𝑨; 𝑨𝑰⃗⃗⃗⃗ ; 𝑨𝑫⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )

1. Compléter la figure ci-contre en plaçant les points, E, I et J.

(Celle-ci sera complétée au fur et à mesure de l’exercice).

L’église Saint Louis Abbey à Crève Cœur dans le Missouri est formé d’arches paraboliques.

Félix a modélisé l’une de ces arches par un arc de la parabole représentative de la fonction f définie par 𝑓(𝑥) = −0,55𝑥² + 4,4𝑥.

1. Résoudre l’équation 𝑓(𝑥) = 0

2. Construire le tableau des variations de la fonction f sur ℝ.

3. Déterminer la largeur et la hauteur de cette arche.

(L’unité est le mètre).

Correction DS n°02 – 1èreS Exercice 1 :

4. On sait que : CJ⃗⃗⃗ = ³₂ BJ⃗⃗⃗ . Donc 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐽⃗⃗⃗⃗ =³

2BJ⃗⃗⃗ . Donc 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =¹

2𝐵𝐽⃗⃗⃗⃗

Donc 𝐵𝐽⃗⃗⃗⃗ = 2𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗

5. 𝐷𝐼⃗⃗⃗⃗ = 𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐼⃗⃗⃗⃗ = −𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ +¹

3𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗

𝐼𝐽⃗⃗⃗ = 𝐼𝐵⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐽⃗⃗⃗⃗ =²

3𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =²

3𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ − 2𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗

6. On remarque que : 𝐼𝐽⃗⃗⃗ = 2𝐷𝐼⃗⃗⃗⃗

Ainsi les vecteurs 𝐼𝐽 ⃗⃗⃗⃗ 𝑒𝑡 𝐷𝐼⃗⃗⃗⃗ sont colinéaires et ont un point commun Donc I, J et D sont alignés.

Exercice 2 :

1. Soit I le milieu de [AB]

𝑥_𝐼 =^{𝑥𝐴+𝑥𝐵}

2 =¹⁺¹¹

2 = 6 𝑒𝑡 𝑦_𝐼=^{𝑦𝐴+𝑦𝐵}

2 =⁴⁻¹

2 =³

2 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝐼 (6;³

2)

G est le centre de gravité de OAB si et seulement si : 𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ =²

3𝑂𝐼⃗⃗⃗⃗

Or 𝑂𝐼⃗⃗⃗⃗ (6

3 2

) et 𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑥 𝑦)

Donc {𝑥 =²

3× 6 = 4 𝑦 =²

3׳

2= 1

Ainsi G a pour coordonnées : (4 ;1).

2. 𝑂𝐴 = √(𝑥_𝐴− 𝑥_𝑂)²+ (𝑦_𝐴− 𝑦_𝑂)² = √(1 − 0)²+ (4 − 0)²= √17 𝑂𝐵 = √(11 − 0)²+ (−1 − 0)² = √122

𝐴𝐵 = √(11 − 1)²+ (−1 − 4)²= √100 + 25 = √125

Le triangle OAB n’est pas isocèle ni équilatéral.

Le plus grand côté est : 𝐴𝐵 = √125 𝐴𝐵² = 125

Et 𝑂𝐴² + 𝑂𝐵² = 122 + 17 = 139 Donc 𝐴𝐵² ≠ 𝑂𝐴²+ 𝑂𝐵²

Donc d’après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle OAB n’est pas rectangle en O.

Exercice 3 : 1. 𝑓(𝑥) = 0

⇔ −0.55𝑥²+ 4.4𝑥 = 0

⇔ 𝑥(−0.55𝑥 + 4.4) = 0

⇔ 𝑥 = 0 𝑜𝑢 − 0.55𝑥 + 4.4 = 0

⇔ 𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = ^−4.4

−0.55= 8 2. 𝛼 = ^−4.4

2×(−0.55)= 4

𝛽 = 𝑓(4) = −0.55 × 4²+ 4.4 × 4 = 8.8

𝑥 −∞ 4 + ∞ 𝑓(𝑥) 8.8

Car 𝑎 = −0.55 < 0

3. Le maximum de la fonction 𝑓 est 8.8. Ainsi la hauteur de cette arche est de 8.8 mètres.

D’après la question 1. Les solutions de l’équation 𝑓(𝑥) = 0 sont𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = 8 Cela signifie que l’arche touche le sol au départ et 8 mètres. L’arche est donc d’une largeur de 8 mètres.

Exercice 4 : 1.

2.

a) 𝐴: (0; 0) (origine) 𝐵: (2; 0)

𝐶: (2; 1) 𝐷: (0; 1) 𝐼: (1; 0) 𝐽: (1; 1)

b) On sait que 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ =¹

3𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗

Or 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ ∶ (𝑥_𝐸− 0

𝑦_𝐸− 0) 𝑒𝑡 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ∶ (2 − 0 1 − 0)

Donc {𝑥_𝐸 =¹

3× 2 =²

3

𝑦_𝐸=¹

3× 1 =¹

3

donc 𝐸: (²

3;¹

3)

c) 𝐼𝐸⃗⃗⃗⃗ ∶ (

2 3− 1

1

3− 0) ∶ (−¹

3 1 3

) et 𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ∶ (0 −²

3

1 −¹

3

) : (−²

3 2 3

)

𝑥𝑦^′− 𝑥^′𝑦 = −¹

3ײ

3−¹

3× (−²

3) = −²

9+²

9= 0 Donc 𝐼𝐸⃗⃗⃗⃗ 𝑒𝑡 𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ sont colinéaires

Ainsi I, E et D sont alignés.

3.

a) 𝐵𝐽⃗⃗⃗⃗ : (1 − 2 1 − 0) : (−1

1 )

Donc (BJ) a une équation de la forme : 𝑥 + 𝑦 + 𝑐 = 0 Or 𝐵 ∈ (𝐵𝐽) donc 𝑥_𝐵+ 𝑦_𝐵+ 𝑐 = 0

C’est-à-dire : 2 + 0 + 𝑐 = 0 Donc 𝑐 = −2

Conclusion : (𝐵𝐽): 𝑥 + 𝑦 − 2 = 0

b) 𝑢⃗ ∶ (−⁴

3 1 3

)

On choisit : 𝑥 = 0 alors ¹

3× 0 +⁴

3𝑦 − 2 = 0 Donc 𝑦 = ²4

3

= 2 ׳

4=³

2

Donc le point de coordonnées (0;³

2) appartient à la droite (Δ).

c) Les vecteurs 𝑢⃗ ∶ (−⁴

3 1 3

) et 𝐵𝐽⃗⃗⃗⃗ : (−1

1 ) ne sont pas colinéaires

En effet : −⁴

3× 1 −¹

3× (−1) ≠ 0

Les droites (Δ) et (BJ) ne sont donc pas parallèles.

4.

a) Un vecteur directeur de (d) est 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ∶ (2 1)

Donc (d) a une équation de la forme : 1𝑥 − 2𝑦 + 𝑐 = 0 Or 𝐷 ∈ (𝑑) donc 1𝑥_𝐷− 2𝑦_𝐷+ 𝑐 = 0

C’est-à-dire : 0 − 2 + 𝑐 = 0 Donc 𝑐 = 2

Conclusion : (d) : 𝑥 − 2𝑦 + 2 = 0

b)

{ 𝑥 + 𝑦 − 2 = 0

𝑥 − 2𝑦 + 2 = 0 ⇔ { 𝑦 = 2 − 𝑥

𝑥 − 2(2 − 𝑥) + 2 = 0 ⇔ { 𝑦 = 2 − 𝑥

𝑥 − 4 + 2𝑥 + 2 = 0 ⇔ {𝑦 = 2 − 𝑥 𝑥 =²

3

⇔ {𝑦 = 2 −²

3=⁴

3

𝑥 =²

3

Donc 𝐾: (²

3;⁴

3)

c) Vérifions que le point K appartient à la droite (Δ)

1 3𝑥𝐾+⁴

3𝑦𝐾− 2 =¹

3ײ

3+⁴

3×⁴

3− 2 =²

9+¹⁶

9 − 2 = 2 − 2 = 0 Ainsi Les droites (Δ), (𝐵𝐽)𝑒𝑡 (𝑑) sont concourantes en K