Notes de cours,

(1)

La m´ ethode directe en calcul des variations

SoitEun espace de Banach etJ :E!Rune fonctionnelle que l’on cherche à minimiser. L’idée de la méthode directe du calcul des variations consiste à considérer une suite minimisante. En e↵et, si l’on suppose que l’infimum

m:= inf

u2EJ(u)

est fini, la définition de l’infimum assure l’existence d’une suite minimisante (un)_n2E d’éléments deEtelle queJ(un)!m. Tout point d’accumulation (pour une topologie raisonnable) de la suite (un)_n2N est alors un candidat pour être un point de minimum. Se posent alors deux problèmes :

— la compacit´e de la suite (un)_n2N;

— montrer que siuest un point d’accumulation de la suite (un)n2N, alorsJ(u) =m.

Pour la compacité, il est en général difficile d’obtenir de telles propriétés dans un espace de Banach général de dimension infinie (penser au théorème d’Ascoli dans l’espace des fonctions continues, ou le théorème de Riesz-Fréchet-Kolmogorov dans les espaces de Lebesgue). Pour cette raison, nous privilègerons la convergence faible à la convergence forte (de la norme) car, au moins dans le cas où E est réflexif, nous savons que toute suite bornée admettra une sous-suite faiblement convergente. Quant à la bornitude de la suite minimisante, elle résultera généralement d’une propriété de coercivité de la fonctionnelle que l’on cherche à minimiser.

En ce qui concerne le second problème, si l’on sait déjà queun!uen un certain sens, il suffit de montrer queJ(u)lim infnJ(un) ce qui nous conduit à la notion de semi-continuité inférieure.

1.1 Le rˆ ole de la convexit´ e

D´efinition 1.1.1. On dit queJ estsemi-continue inf´erieurement (sci) au point u 2E si pour toute suite (un)n2N telle queun!udansE, alors

J(u)lim inf

n!+1J(un).

On dit queJ est sci surEsi elle est sci en tout point deE.

Il convient d’´etendre cette d´efinition pour la convergence faible.

9

(2)

D´efinition 1.1.2. On dit queJ ests´equentiellement¹ faiblement scienu2E si pour toute suite (un)n2N telle queun*ufaiblement dansE, on a

J(u)lim inf

n!+1J(un).

On dit queJ est faiblement sci surEsi elle est faiblement sci en tout point deE.

Remarque 1.1.3. On a clairement que siJ est faiblement sci, alorsJ est sci. La r´eciproque est fausse : il suffit de prendre J(u) = 1 kuk² pour tout u 2 H un espace de Hilbert s´eparable.

AlorsJ est continue donc sci (pour la convergence forte). En revanche, si (en)n2N est une base Hilbertienne deH, alorsen*0 faiblement dansH et

J(0) = 1>0 = lim inf

n!+1J(en).

Dans le cas convexe, les deux notions de semi-continuité inférieure co¨ıncident. On rappelle la définition suivante.

D´efinition 1.1.4. Une fonctionJ :E!R[{+1}estconvexesi

J(tu+ (1 t)v)tJ(u) + (1 t)J(v) pour toutt2[0,1] et toutu, v2E.

On dit que J est strictement convexe si l’inégalité précédente est stricte dès lors que u 6= v et t2]0,1[.

Exemple 1.1.5. 1. les applications lin´eaires sont convexes ; 2. les normesx7! kxksont convexes ;

3. dans un espace de Hilbert (H,h,·,·i), l’applicationx7! kxk² est strictement convexe car si t2]0,1[ etx6=y,

ktx+ (1 t)yk² tkxk² (1 t)kyk² = t(t 1)kxk²+ 2t(1 t)hx, yi t(1 t)kyk²

= t(1 t)kx yk²<0.

On a alors le r´esultat fondamental suivant.

Th´eor`eme 1.1.6. SoitJ :E!R une fonction convexe et sci. AlorsJ est faiblement sci.

Démonstration. Soit (un)n2N une suite d’éléments de E telle que un *u faiblement dansE. Si lim infnJ(xn) = +1, le résultat est évident. Si↵:= lim infnJ(un)<+1, on considère une suite décroissante (↵k)k2N de réels telle que↵k&↵. CommeJ est convexe et sci, l’ensemble{J↵k} est convexe et fermé. Par ailleurs, comme↵k >↵= lim infnJ(un), il existe une sous-suite, notée (u _k(n))n2N, telle queu _k(n)2{J↵k}pour toutn2N. Montrons queu2{J↵k}. En e↵et, si u62{J ↵k}, d’après le théorème de Hahn-Banach sous forme géométrique, on pourrait séparer strictement le convexe fermé non vide{J  ↵k} du convexe compact {u}. Il existerait donc un L2E⁰\ {0}ett2Rtels que

hL, ui< t <hL, vi pour toutv2{J↵k}.

En particulier pourv=u _k(n), on obtient quehL, ui< t <hL, u _k(n)i, puis par passage à la limite quand n!+1, hL, ui < t  hL, ui, ce qui est absurde. Par conséquent, J(u) ↵k pour tout k2N, ce qui implique par passage à la limite quandk!+1que

J(u)↵= lim inf

n!+1 J(un), ce qui montre queJ est faiblement sci.

1. Dans la suite, nous ´ecrirons plus simplement faiblement sci

(3)

Nous sommes à présent en mesure d’énoncer un résultat général d’existence de solutions à des problèmes de minimisation.

Théorème 1.1.7 (Weierstrass). Soient E un espace de Banach réflexif et J : E ! R une fonctionnelle convexe, sci et coercive, i.e.,

J(u)!+1 quand kukE!+1.

Alors il existe unu¯2E tel queJ(¯u)J(v)pour toutv2E. Si de plusJ est strictement convexe, alors le point de minimumu¯est unique.

D´emonstration. CommeJ ne prend que des valeurs finies, alors n´ecessairement, m:= inf

E J <+1.

Soit (un) une suite minimisante, i.e., J(un) !m. Si, pour une sous-suite, kunkÊ ! +1, alors d’après la coercivité deJ, on aurait queJ(un)!+1ce qui est impossible puisqueJ(un)!m <

+1. Par conséquent, la suite (un)n2Nest bornée dans l’espace de Banach réflexifE. Il existe donc une sous-suite (u (n))_n2N et ¯u2E tels queu (n)*u¯faiblement dansE. Comme la fonctionnelle J est convexe et sci, elle est faiblement sci, et donc

J(¯u)lim inf

n!+1J(u (n)) = lim

n!+1J(un) =mJ(¯u).

Il vient donc queJ(¯u) =mce qui montre que ¯uest un point de minimum deJ sur E.

Quant `a l’unicit´e, siJ est strictement convexe et ¯u0et ¯u1 sont deux minima distincts deJ sur E, alors

infE JJ

✓u¯0+ ¯u1

2

◆

< 1

2J(¯u0) +1

2J(¯u1) = inf

E J, ce qui est absurde. On en d´eduit l’unicit´e du point de minimum.

1.2 Application aux fonctionnelles int´ egrales

D´efinition 1.2.1. Soit ⌦ ⇢ R^N un ouvert. On dit que f : ⌦⇥R^m ! R est une fonction de Carath´eodory sif(x,·) est continue surR^m pour presque toutx2⌦et f(·, z) est mesurable sur

⌦pour toutz2R^m.

Lemme 1.2.2. Soitf :⌦⇥R^m !R une fonction de Carath´eodory etz:⌦!R^m une fonction mesurable. Alors la fonctionx7!f(x, z(x))est mesurable.

Démonstration. La fonctionzétant mesurable, il existe une suite (zn)_n2N de fonctions étagées qui converge vers z p.p. sur ⌦. On peut alors trouver ↵1, . . . ,↵k 2 R^m et des ensembles mesurables A1, . . . , Ak⇢⌦deux à deux disjoints tels que

zn= Xk

i=1

↵i Ai.

Par cons´equent, pour presque toutx2⌦, f(x, zn(x)) =

Xk

i=1

f(x,↵i) Ai(x).

(4)

La fonction f ´etant de Carath´eodory, on a que x 7! f(x,↵i) est mesurable. Par suite, x 7!

f(x, zn(x)) est mesurable comme produit et somme de fonctions mesurables. Commezn(x)!z(x), etf(x,·) est continue presque pour toutx2⌦, on en d´eduit quef(x, zn(x))!f(x, z(x)) presque pour toutx2⌦, ce qui montre quex7!f(x, z(x)) est mesurable comme limite p.p. de fonctions mesurables.

Théorème 1.2.3. Soient ⌦ ⇢ R^N un ouvert et f : ⌦⇥R^m ! R[{+1} une fonction de Carathéodory tels que

— f(x,·)est convexe pour presque toutx2⌦;

— il existe1p <1, a2L¹(⌦),b2L^p⁰(⌦;R^m)et tels que

f(x,⇠) a(x) +b(x)·⇠ p.p. toutx2⌦ et pour tout⇠2R^m. Alors la fonctionnelleF :L^p(⌦;R^m)![0,+1]d´efinie par

F(z) = Z

⌦

f(x, z(x))dx est faiblement semi-continue inf´erieurement dansL^p(⌦;R^m).

Démonstration. L’hypothèse de convexité surf implique que la fonctionnelleF est convexe. Mon- trons qu’elle fortement semi-continue inférieurement dansL^p(⌦;R^m). Soit (zn)_n2N une suite de L^p(⌦;R^m) telle que zn !z fortement dans L^p(⌦;R^m). Si lim infnF(zn) = +1, il n’y a rien à démontrer. On peut donc supposer que lim infnF(zn)<+1et on peut alors extraire une sous- suite (znk)k2N telle queznk!zp.p. sur⌦et

lim inf

n!+1F(zn) = lim

k!+1F(znk).

D’apr`es le lemme de Fatou, il vient lim inf

k!+1

Z

⌦

(f(x, znk) b·znk a)dx Z

⌦

lim inf

k!+1(f(x, znk) b·znk a)dx= Z

⌦

(f(x, z) b·z a)dx, où l’on a utilisé la continuité def(x,·) p.p. toutx2⌦. Par ailleurs, commeznk!zdansL^p(⌦), on en déduit que

lim inf

k!+1

Z

⌦

(f(x, znk) b·znk a)dx lim

k!+1

Z

⌦

f(x, znk)dx Z

⌦

(b·z+a)dx, ce qui implique que

lim inf

n!+1F(zn) = lim

k!+1

Z

⌦

f(x, znk)dx F(z).

La conclusion du théorème est alors une conséquence immédiate du Théorème1.1.6.

Corollaire 1.2.4. Soient ⌦ ⇢ R^N un ouvert et f : ⌦⇥R^d⇥N ! R[{+1} une fonction de Carath´eodory tels que

— il existe1p <1, a2L¹(⌦),b2L^p⁰(⌦;R^d⇥N)tels que

f(x,⇠) a(x) +b(x)·⇠ p.p. toutx2⌦et pour tout⇠2R^d^⇥^N.

(5)

Alors la fonctionnelleF :W^1,p(⌦;R^d)![0,+1]d´efinie par F(u) =

Z

⌦

f(x,ru(x))dx est faiblement semi-continue inf´erieurement dansW^1,p(⌦;R^d).

Notons que les résultats de semi-continuité précédents ne requièrent aucune autre hypothèse que celle de convexité et de borne inférieure. Dans les résultats qui suivent nous intéressons à des résultats d’existence de problèmes de minimisation pour lesquels, il est nécessaire de faire des hypothèses de croissance et/ou de coercivité afin d’assurer la compacité des suites minimisantes.

Théorème 1.2.5. Soient⌦⇢R^N un ouvert borné etf :⌦⇥R^d^⇥^N !R etg:⌦⇥R^d!R des fonctions de Carathéodory. On suppose que :

— il existe >0,⇤>0et1< p <1tels que p.p. toutx2⌦et pour tout⇠2R^d^⇥^N,

|⇠|^pf(x,⇠)⇤(1 +|⇠|^p);

— il existe1< p <1, a0, a12L¹(⌦)etb 0tels que p.p. toutx2⌦et pour toutz2R^d, a0(x)g(x, z)a1(x) +b|z|^p.

Siu02W^1,p(⌦;R^d), alors il existe une solutionu2u0+W₀^1,p(⌦;R^d)au probl`eme de Dirichlet inf

v2u0+W₀^1,p(⌦;R^d)

⇢ J(v) :=

Z

⌦

f(x,rv)dx+ Z

⌦

g(x, v)dx .

Démonstration. Tout d’abord, en notant↵l’infimum deJ sur u0+W₀^1,p(⌦;R^d), on a d’après les hypothèses de croissance faites surf etgque

Z

⌦

a0dx↵J(u0)⇤ Z

⌦

(1 +|ru0|^p)dx+ Z

⌦

(a1+b|u0|^p)dx, ce qui montre que↵2R.

Soit (un)_n2Nune suite minimisante, i.e.J(un)!↵. Pournassez grand, on a alors queJ(un)

↵+ 1 et donc, d’après les hypothèses de coercivité faites surf etg, Z

⌦|run|^pdx+ Z

⌦

a0dx↵+ 1.

Commeun u02W₀^1,p(⌦;R^d) et⌦ est borné, l’inégalité de Poincaré implique que kun u0kL^p(⌦)C⌦krun ru0kL^p(⌦),

ce qui montre que la suite (un)n2N est bornée dans l’espace réflexif W^1,p(⌦;R^d) (rappelons que 1< p <1). Quitte à extraire une sous-suite (toujours notée (un)_n2N), on peut donc supposer que un*u faiblement dansW^1,p(⌦;R^d) et donc,

lim inf

n!+1

Z

⌦

f(x,run)dx Z

⌦

f(x,ru)dx.

Comme un u02W₀^1,p(⌦;R^d) qui est (faiblement) ferm´e dansW^1,p(⌦;R^d), on en d´eduit que u u02W₀^1,p(⌦;R^d). De plus, commeun u0*u u0faiblement dans W^1,p₀ (⌦;R^d), par injection

(6)

compacte de Rellich, on peut également supposer que, pour cette même sous-suite, on aun !u fortement dans L^p(⌦;R^d). La réciproque de la convergence dominée montre alors que, quitte à extraire de nouveau une sous-suite, un ! u presque partout dans ⌦ et |un|  h 2 L^p(⌦). La fonction g étant de Carathéodory, on en déduit que g(x, un(x)) !g(x, u(x)) presque pour tout x2⌦, et|g(·, un)|max{|a0|,|a1|+b|un|^p}max{|a0|,|a1|+b|h|^p}2L¹(⌦). Le théorème de la convergence dominée montre alors que

n!+1lim Z

⌦

g(x, un)dx= Z

⌦

g(x, u)dx, soit

↵= lim inf

n!+1J(un) J(u)

avecu2u0+W₀^1,p(⌦;R^d). Ceci montre bien queuest un minimiseur deJsuru0+W₀^1,p(⌦;R^d).

Remarque 1.2.6. 1. Le résultat précédent est faux dans W^1,1(⌦;R^d) car une suite bornée dans cet espace n’est en général pas séquentiellement compacte dansW^1,1(⌦;R^d) mais dans l’espace plus largeBV(⌦;R^d) des fonctions à variation bornée.

2. Notons qu’aucune hypothèse de type convexité sur g n’est nécessaire pour assurer la semi- continuité deJ. C’est dû au fait qu’il s’agit d’un terme d’ordre inférieur pour lequel l’injection compacte de Rellich assure la continuité de la fonctionnelle associée.

3. Les hypothèses de croissance surf etgsont utilisées pour montrer que la fonctionnelleJ est bien définie surW^1,p(⌦;R^d) et que l’infimum n’est pas +1.

4. L’hypothèse de coercivité surfet le fait quegest bornée inférieurement assurent la bornitude des suites minimisantes.

Les résultats précédents peuvent se généraliser à la situation suivante oùf est une fonction de x,uetru, que nous admettrons (voir [4, Theorem 3.3.4] et [4, Theorem 3.4.1]).

Théorème 1.2.7. Soient⌦⇢R^N un ouvert borné etf :⌦⇥(R^d⇥R^d^⇥^N)!Rune fonction de Carathéodory tels que

— f(x, z,·)est convexe pour toutz2R^d et presque toutx2⌦;

— il existe1p <1, a2L¹(⌦),b2L^p⁰(⌦;R^d^⇥^N)tels que

f(x, z,⇠) a(x) +b(x)·⇠ p.p. toutx2⌦ et pour tout(z,⇠)2R^d⇥R^d^⇥^N. Alors la fonctionnelleF :W^1,p(⌦;R^d)!R d´efinie par

F(u) = Z

⌦

f(x, u(x),ru(x))dx est faiblement semi-continue inf´erieurement dansW^1,p(⌦;R^d).

Théorème 1.2.8. Soient⌦⇢R^N un ouvert borné etf :⌦⇥(R^d⇥R^d^⇥^N)!Rune fonction de Carathéodory. On suppose que :

— f(x, z,·)est convexe pour presque toutx2⌦et pour toutz2R^d;

— il existe >0,⇤>0,1< p <1,a0,a12L¹(⌦)tels que pour presque toutx2⌦et tout (z,⇠)2R^d⇥R^d⇥N,

a0(x) + |⇠|^pf(x, z,⇠)⇤(a1(x) +|z|^p+|⇠|^p);

Siu02W^1,p(⌦;R^d), alors il existe une solutionu2u0+W₀^1,p(⌦;R^d)au probl`eme de Dirichlet inf

v2u0+W₀^1,p(⌦;R^d)

⇢Z

⌦

f(x, v(x),rv(x))dx .