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Mathematical Study of very High Voltage Power Networks III: The Optimal AC Power Flow Problem

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Academic year: 2021

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(1)Mathematical Study of very High Voltage Power Networks III: The Optimal AC Power Flow Problem J. Frederic Bonnans. To cite this version: J. Frederic Bonnans. Mathematical Study of very High Voltage Power Networks III: The Optimal AC Power Flow Problem. [Research Report] RR-3268, INRIA. 1997. �inria-00073421�. HAL Id: inria-00073421 https://hal.inria.fr/inria-00073421 Submitted on 24 May 2006. HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés..

(2) INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE. Mathematical study of very high voltage power networks III: The optimal AC power flow problem J. Fr´ed´eric Bonnans. N ˚ 3268 Septembre 1997 ` THEME 4. ISSN 0249-6399. apport de recherche.

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(15) 5 $ ; ¢~\ v \Wngl’ik\i Y \°sr\;il’¤ ¤¥\Wh’skbuqfm\%skl’fdegirbulLnqs ± lLpqirbd]9h’f srlLfueqirbulLnqshLn v lLpgikbu]zhjf[¬h’fueg\%l’¤ p } lLqfm\W] 5 $ ;$ª m oqp`r. n. . C,# · &: C  &(*)+ ?@A ). &"B" *. sutXvw6xy{z |gt;}w`~€+v. XY bus§ske¡qsr\Wy ikbmlcn } \WyCh’fmfds6i Y \yCfuhLskskbdyChjf/]9l v \Cf/¤¥l }§Y bu• Y ¬Ll’fuikhj•L\£\Cfu\;yCi } buy;hjf¾ng\Ci­¢§l }t® sCª XY \²sr\;i , l’¤ nql v \;s.bdsfuhL¡\;fm\ v ¤ } lc] ²irl5ª6¼*l v \;s£h } \ } \Cfdhjik\ v Lwoh } yCs ± i Y h’i } \Wp } \;sk\;nci§h°p Y wgskbuy;hjf[\;fm\Wy i } bdyChjf fubdng\’ª ¯€nµi Y \"]l v \;f ± i Y \p Y wgsrbdyCh’f.fmbdng\"y lc]9pSlLsk\ v lj¤ i Yq} \C\\Cfu\;]9\;ncith } w(\;fm\Wy i } bdyCh’f§fubdng\;s;ª XY \ U‚& ƒ  lcng\ } \Cfdhjir\Ws%ngl v \;s„hLn v Ljª2¯­itsh v ]buirith’nqyC\°bus Y"LNM4Z \&]T^ _ba ± ¢bui Y Y LNM †Y M LHU /"h’n v c LNM' c M Lkd 7 eDf & ^ / eDf :Š 9Oª XY \9i­¢§l N0  

(16) ƒ  fubunq\;s } \Cfdhjir\h’n v Likloi Y \z• } lLeqn v 5¿i Y \°• } lLe¡n v nql v \ v lc\Ws.ngl’ih’p¡p¡\Wh } \ {qpgfubuyCbmikfmw2bdn:i Y \%]9l v \C+f ;ݪ XY \Wsr\%y;h’pqhLy buirbu¬’\ fubdng\;s]9l v \Cf[i Y \²buncik\ } h’y ikbmlcn S\Ci­¢§\C\Wni Y \£p Y wgsrbdyCh’fgfmbdng\h’n v i Y \.• } lLeqn v ª XY \Cb } h v ]9buirikhLnqy \.bds K"LNMSOQSR LNM ± ¢bui Y K"LNM  K M LU / hLn v R LNM„ RM L U /¡ª 5ånglLir\°i Y hji%i Y \z¤ } \W¹xeg\;nqyCwAbds²ºq{g\ v lLn¡y \9¤¥l } h’fmf ± hLn v i Y \ } \C¤¥l } \ v lc\Ws%ngl’i hLpqpS\;h } \C{gpqfmbdy buirfuw˜bdnoi Y \%\W¹ce¡hjirbulLn¡sC?ª ; ³(\ v \Wngl’ik\˜cw9( ‡ LNM i Y \ 2‚ 2 + ˆ ;‰T  Š-3  F - ML ± v \ º/ng\ v hLsi Y \:steq]-l’¤£i Y \ y;e }t} \WnLitsbdni Y \bdn v eqyCirbu¬’\fubung\"hLn v i Y \AyChLpqh’yCbmikbm¬L\˜fubung\ } \Cfdhjik\ v ikl½ngl v k \ ¾ª ..w ‚Y ]  szfuh´¢ ± i Y \"yCe }t} \;ncibdnµ\Wh’y Y lj¤ i Y \;sk\fmbdng\;s9bds9i Y \"p } l v eqy izl’¤*h v ]9buirith’nqyC\cw v Œb ‹¾\ } \;nqyC\:l’¤*¬’lLfmithj•L\;s;ª XY \ } \ ¤¥l } \ ± i Y \%\ {qp } \;stsrbulLn˜lj¤ ( ‡ LNM bds ( ‡ LNMF. 5 < ‡ L  < ‡ M ; Y"LTMZ \]T^ _`a O < ‡ L 5 K"LNM OQSR LTM ;4Ž . 5r:;. ‘PW’.

(17) 

(18)    "!#. 1. ¼*l’ir\oi Y hjii Y bds¤¥l } ]egfdhjirbulLn ith ® \;sbuncirl(h’y;y lLe¡nLii Y \yChLsr\2¢ Y \;n¶i Y \ } \˜bds9ngl fubunq\oS\Ci­¢§\C\Wn v nql \;s'(h’n v L  i Y \;n Y"LNM„ K"LNM„=R-LNM„ / ± h’n v ¢§\°]zh´w sr\;i c LNM ikl eDf Šgªz¯O¤ Y"LNM  ? /¢§\°skh´w i Y hji i Y \ } \%\C{xbdskiks£hLn V ƒ  fubdng\S\Ci­¢§\C\;nkohLn v Ljª~¯€no•L\;ng\ } h’f ± ( ‡ LNMZO ( ‡ M L  ? /2S\;yChLeqsk\%lj¤i Y \ y;h’pqhLy buirbu¬’\fubdng\;s;ª*³(\hLsksteq]9\i Y hji*i Y \zng\;i­¢~l }k® bus T-  ± bdn"i Y \zsk\;nqsk\i Y hji ± S\Ci­¢§\C\WnAh’ncw i­¢§l°ngl v \;s ± i Y \ } \\C{gbuskiks£hzpqh’i Y bdn˜i Y \%• } h’p Y y lc]zp¡lcsr\ v l’¤I\ˆ‹¾\;yCirbu¬’\%fubunq\;sfubun ® bdng•zi Y \;sk\ngl v \;s;ª XY \    >  sk\;nci§¤ } lc] ngl v  \ :lLn:fmbdng\MLbus v \ ºSng\ v h’s < ‡ L (‡ LN M ª³·bui Y 5r ; ± ¢§\²•’\Ci < ‡ L ( ‡ NL  M  < L 5 < L  < M Z ] _ \ a ; Y NL M Z ]T^ _ba O

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(21) ‹.      

(22) 2-. ¬L\;yCirl };±g} \;fuh’irbulLnH5 1 ;§hL]9lLeqnciks§iklº¡{ N)( irlC/zh’n v irl9ºq{ h sklzi Y h’i§i Y \h’yCirbu¬’\²p¡l¢§\ } \W¹ce¡hjirbulLnohji nql v \9%bdshjfu¢.h´wxs.sthjikbusrº¡\ v ª ¯­ibdsy lcnL¬L\;ngbu\;nci irlstyCh’fm\§i Y \¬Ll’fuikh’•’\ ± yCl }t} \Wy ikl } ir\ } ]©hLn v pSl¢§\ }I¨ l¢ cw]zh ® bdng•i Y \£y Y h’ng•L\ l’¤I¬h } bdh’gfu\ <   Q < / h  Q h / G LTH M   Q G LTH M / G LNJ M  Q G LNJ M Ž 5O3“ ; É fmbd]9bun¡hjirbdng• G+H h’n v G!J bun 5 1 ;ÑT¦ 5å‹ ; ± ¢§\oy;h’n¶skikh’ir\oi Y \"pSl¢~\ }¨ l¢ \W¹xeqhjikbmlcnqs9bunµir\ } ] lj¤i Y \ styCh’fm\ v ¬h } bdh’gfu\;s  h L>O.  . M  L. skbdn S. < L 5 Y"LNM. LNM O K"LNM ; O Y"LTM < L < M. srbdn'5 N.  . . < L 5 Y"LTM. M  L. y lcsIS. LNM R-LNM ;  Y"LTM < M. y lcs5 N. . Q $ L /€ d , /. 5åŒ ;. . //. 5å‘ ;. L+ N M€ S LNM ; N &. L+ N M€ S LNM ;. % L Q /€ d , C /5k0/ ; < L . . Ll n ,;: Ž 5k’:; ¼*l’ik\°i Y h’ii Y bdsskwgsrik\;] bussrbd]9bmfdh } ikl 5 1 ;ѦT5å‹ ; ± \ {qy \Wpgi²¤¥l } i Y \2¬h } bdh’gfu\Q˜i Y hjihLpqpS\;h } sngl¢0h’s ]egfuirbdpgfmwxbdng•"i Y \9bdnqpqeqiksl’¤§pSl¢~\ } ª XY h’i²bus ± i Y \2sky;hjfubunq•oy Y hLng•’\Ws @ Y bu• Y ¬’lLfmithj•’\Ws B˜buncikl @kst]9h’fmf bdnqpqeqiksl’¤ pSl¢~\ } B¡ª `cbdnqyC\ ¢§\ ¢.h’nci2irl srite v w·ng\Ci­¢§l }t® s2¢bui YY bm• Y ¬hjfdeg\;s˜lj¤¬’lLfmithj•L\;s2h’i˜hjfufnql v \;s ± i Y \ } \bus nql Y h } ] bdn v bu¬xb v bung• i Y \ } \;hLy ikbm¬L\2p¡l¢§\ }²¨ l¢+\W¹xeqhjikbmlcnqscwi Y \2¬hjfdeg\2l’¤i Y \:¬’l’fuikh’•’\2h’ii Y \ yCl }t} \WskpSlLn v bunq•²nql v \ ± h’s ¢~\ v b v hL¡l¬L\’ª ³\yCh’fmf  ƒ  5 } \;stp[ª NN0 

(23) ƒ  ;  l’¤ 5åSŒ ;ÑT¦ 5r’ ; i Y \ i­¢§l º } skiE5 } \;stp[ªi­¢~l9fdh’skiT;~\;¹xeqh’irbulLnqs;ª ³(\h’stske¡]\²i Yq} lceg• Y lLegi.i Y \pqh’pS\ } i Y hjii Y \pqh } h’]9\;ir\ } Ok 5RQ/6SU/ K / R ;§skh’irbds€ºS\;s <. . < V. ¯  * 7 /&/ eDf ^9   ¯ + *  ¯ ! * Ž ³(\ } \C•ch } v O h’si Y \osr\;ilj¤ st]zhjfuf~pqh } hL]\;ir\ } s;ª „ stskeq]9bdng• 5RS / K / R ;%irl S\:st]zhjfuf bdshAyCfuhLskskbdyChjf Y wgpSl’i Y \;skbus%bdn i Y \°º¡\Cf v lj¤ Y bu• Y ¬’lLfmithj•L\9\;fm\Wy i } bdyCh’f ng\Ci­¢§l }t® sCª˜¯€n v \C\ v ± y lLn¡srb v \ } bdng• ShLssk]zh’fmf hL]9lLeqnciks*irlsth´woi Y hjii Y \ } \;skbdsrith’nqyC\lj¤ i Y \zbun v eqy ikbm¬L\fubdng\bds²sk]zh’fmf¢%ª } ( ª iC ª%buiksbd]9h’•’bdnqh } wpqh } iCª ¼*\C•Lfm\Wy irbdng• K h’n v R h’]9lceqnciks.irl°ng\;•’fu\;yCi~i Y \yChLpqh’yCbmikbm¬L\*fubunq\;s;ª~`cbun¡y \ Q \ ]9\;hLske } \Ws~i Y \²l } v \ } l’¤ ]zhj•Lnqbmite v \l’¤6¬hjfdeg\lj¤6i Y \ } \C¤¥\ } \;nqyC\¬’lLfmithj•’\%l’¤6i Y \zng\;i­¢~l }k®/± bui bdsnqhjite } h’fikl:h’ststeq]9\bui irl S\st]9h’fmf¾¤¥l }Y bu• Y ¬’lLfmithj•’\Ws~nq\Ci­¢§l }t® s;ª XY \%¬h } bdh’gfu\5 h / N / < ;§h } \ } \Wsri } bdy ik\ v irlzi Y \sk\Ci¯  

(24)  ± ¢ Y \ } \ 5 Q/6SU/ K / R ; d  . OP.

(25) .  . XY \²hL¡l¬L\ } \;fuh’irbulLnqs§bd]9pqfmw. e f ^&/ eDf ^9 >U/6L d , 70/ - N d ¯ ! > N L  N M d 7  D > <  - < d ¯ L  /&/   /321 131ˆ/657MŽ N L  N M  S LNM d 7  eDf I Š / eDf :Š 9 /U/6L d , Ž. 5kWŠ"; 5k;‰ ; 5kC^S;. ‘PW’.

(26) “. 

(27)    "!#. ˜Ã ¶œg›. „ y iteqhjfufuwobui²ske2yC\;s*irl } \;ski } buyCi N L  N M ikl 7  eDf ^&/ eDf ^39¢ Y \;nq\C¬’\ } Y"LTM  / ± ¡\WyChLeqsr\ Y } N lLi \ ¢ bdsk\ L N M v lx\;sIng\C¬L\ } hLpqpS\;h } buni Y \§p¡l¢§\ }¾¨ l¢(\W¹xeqhjikbmlcnqsCªI³\ ® \;\;p²i Y \~h’Sl¬’\ v \ ºSnqbmikbmlcn l’¤

(28) ¤¥l } i Y \skh ® \lj¤srbd]zpgfubuyCbmi­wLª XY \  [ `‰ 2-  ± l }8  6‰20 

(29) ƒ:> e LNM lcn°fmbdng\iML S\Cbdng•9cwzi Y \ v \CºSngbuirbulLn˜\;¹xeqhjf/irl Yi \steq] lj¤h’yCirbu¬’\%pSl¢~\ } ¨ l¢ sk\;ncilLn:fmbdng\ML ± buiks£\ {qp } \;stsrbulLn˜bus e LNM.    . G LNH M O G M H L 5 < L O < M 5 < L O < M K"LNM 5 < L O. É ¹xegbm¬h’fm\WnLikfmw ± e LNM . /. ;5 Y"LNM srbdnqS LNM  O K"LNM ; O "Y LNM < L < M 7 skbun'5 N L! N M€ S LNM ; O skbun 5 N € M  N L+ S LNM ;

(30) 9 / < < N N ;5 Y"LNM srbdnqS LNM  O K"LNM ;  Š "Y LNM L M skbdn S LNM yClLs 5 L+ M ;4/ < M ; O Y"LNM 5 < L  < M ; srbdn S LNMZO Š "Y LNM < L < M 5k  yClLs 5 N L  N M ; x ; skbun S LNM Ž. K"LNM

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