Transfert de chaleur par rayonnement

Transferts thermiques

Transfert de chaleur par rayonnement

1 Grandeurs caract´eristiques

2 Mod`ele du corps noir

3 Rayonnement de surfaces opaques

Partie 1

Grandeurs caract´eristiques

Concepts fondamentaux

Tout corps `a une temp´erature T >0 ´emet du rayonnement.

Rayonnement = ´energie ´emise due `a l’oscillation des ´electrons de la mati`ere

Rayonnement volumique ousurfacique (d <1µm) Le transport de l’´energie ne n´ecessite pas de mati`ere:

propagation d’ondes ´electromagn´etiques caract´eris´ees par une longueur d’onde λ, ou une fr´equence ν= _λ^c avecc la vitesse de la lumi`ere

Caract´ eristiques du rayonnement

Nature spectrale (longueur d’ondeλ)

Nature directionnelle

→ Equations int´egrales (6= EDP)

Angle solide

Syst`eme de coordonn´ees sph´eriques (r, θ, φ)

dΩ = sinθdθdφ

Milieu opaque: pas de transmission

→´emission dans l’h´emisph`ere au-dessus de la surface

Z

h´emisph`eredΩ = 2πsr sr: st´eradians (unit´es des angles solides)

Flux radiatif - Luminance de la surface ´ emettrice

Surface d’´emission ´el´ementairedS Angle solide ´el´ementairedΩ Intervalle de longueur d’onde dλ

Flux ´energ´etique d³Φ ´emis par dS dans dΩ et dans la gamme de longueurs d’onde [λ, λ+dλ]:

d³Φ =L(T, λ, θ, φ)dλdSdΩ L(T, λ, θ, φ) luminance directionnelle(Wm⁻³sr⁻¹)

Intensit´ e de la surface ´ emettrice

Intensit´e du rayonnement= Flux de chaleur par unit´e d’angle solide d²I(T, λ, θ, φ) = d³Φ

dΩ

Loi de Bouguerd²I(T, λ, θ, φ) =L(T, λ, θ, φ)dλdScosθ Intensit´e totale: int´egr´ee sur tous les λ:

dI = d²Φ

dΩ =L(T, θ, φ)dScosθ

Emission Lambertienne (isotropie)

Isotropie: la luminance Lne d´epend pas de la direction Emission Lambertienne dans la direction θ:

dI(T) =dI0(T) cosθ dI0 intensit´e normale `a la surface dI0(T) =L(T)dS

→ Intensit´e nulle pour les directions tangentes `a la surface ´emettrice

Emittance de la surface ´ emettrice

Emittance monochromatiqueM(T, λ) (Wm⁻³)

= Densit´e de flux radiatif obtenu par int´egration sur l’h´emisph`ere M(T, λ)dλ= 1

dS Z

h´emisph`ered³Φ Emittance totale: int´egr´ee sur tous les λ

= densit´e de flux repr´esentant les pertes radiatives de la surface dans toutes les directions sur toutes les longueurs d’onde (emissive power)

Emittance totaleM(T) = Z ∞

0

M(T, λ)dλ Emission Lambertienne →

M(T) = L(T) Z

h´emisph`ere

cosθdΩ =L(T) Z 2π

0

dφ Z π/2

0

sinθcosθdθ M(T) = πL(T)

Eclairement de la surface r´ eceptrice

Eclairement monochromatiqueE⁰(λ) (⁰ ↔ r´eception)

= Densit´e de flux obtenue `a partir du flux incidentdΦi sur une surfacedS<sup>0</sup> en provenance de l’h´emisph`ere environnant:

E⁰(λ) = ^dΦ_dS0ⁱ = _dS¹0

R

h´emisph`ered²Φ_i Flux ´emis par dS incident sur dS⁰:

d²Φ_i =L(T, θ, φ)dΩdScosθ avecdΩ = ^dS0_r^cos2 ^θ0

d²Φi =L(T, θ, φ)^dS0dScos_r2^θ0cosθ =dE⁰dS⁰cosθ^0dS_r^cos2 ^θ

d²Φ_i =dE⁰dS⁰cosθ⁰dΩ⁰ avec dΩ⁰ = ^dS_r^cos2 ^θ

dΩ⁰ angle sous lequel on voit la surface dS

Eclairement

Soit dE₀⁰ l’´eclairement ´energ´etique pour une surface plac´ee normalement au rayonnement incident

dE⁰ =dE₀⁰cosθ⁰

Eclairement solaire isotrope E₀⁰ =L(T)Ω⁰_s Application: Ω⁰_s ∼6 10⁻⁵sr →

Eclairement solaire normalE₀⁰= 1389Wm⁻² hors atmosph`ere A la latitude (θ) de Paris, par ciel clairE⁰ ∼800−900Wm⁻² R´eception isotrope →E⁰(T) =πL(T)

Facteurs de forme

Hypoth`ese d’isotropie de la surface d’´emission → Facteurs de forme

Flux de chaleur ´echang´e entre deux ´el´ements de surface:

d²Φ1 =L(T1)dΩ12dS1cosθ12

Facteur de forme ´el´ementaireFd1→d2 = Fraction d’´energie ´emise pardS1

et incidente sur dS₂ Fd1→d2 = cosθ21cosθ12dS1

πd₁₂² →R´eciprocit´e: dS1Fd1→d2 =dS2Fd2→d1

Diff´ erents types de milieux

Milieux transparents: Pas d’´emission, d’absorption, de r´eflexion

→ tout le rayonnement est transmis Surfaces id´eales: Mod`ele du corps noir

→ tout le rayonnement est absorb´e

Surfaces r´eelles opaques: ´emission, absorption, r´eflexion

→ pas de transmission

Partie 2

Corps noir

Emission d’un corps noir: R´ epartition spectrale de Planck (I)

Enceinte vide isotherme parall´ell´epip´edique l₁,l₂,l₃ Photons de fr´equenceν :

Energie d’un photone =hν, quantit´e de mouvement |p|=hν/c0

h constante de Planck (h = 6.6255 10⁻³⁴ Js)

Les photons ne peuvent sortir de l’enceinte→∆x_i =l_i Principe d’incertitude→∆pi =h/li

→ V_h= Π³_i=1∆p_i volume d’incertitude dans l’espace des moments p.

Volume dans l’espace des moments des photons caract´eris´es par |p|

(ν): V = 4πp²dp

Etats de polarisation´ N_p= 2

Nombre d’´etats distincts dN_e pour les photons dans la gamme de fr´equences [ν, ν+dν]:

dNe =Np

V

V_h = 8πh²ν² c₀²

hdν c0

l1l2l3

h³ = 8πν² c₀³l1l2l3

Emission d’un corps noir: R´ epartition spectrale de Planck (II)

Probabilit´e pour qu’un photon ait l’´energieν (Bose-Einstein):

P_ν = 1

exp(hν/kT)−1 k constante de Boltzmann (k = 1.3805 10²³ JK⁻¹)

Nombre de photons dNν avec une fr´equence dans [ν, ν+dν]:

dNν =PνdNe

Energie rayonnante volumique entre ν et ν+dν: U₀dν = _l^hν

1l2l3dN_ν Rayonnement isotrope→ on montre que U₀ = ^4π_ν2L⁰(λ,T)

avecL⁰(λ,T) luminance

R´epartition spectrale de Planck: L⁰(λ,T) = 2hc₀²λ⁻⁵ exp(_kλT^hc0 )−1

Loi de Planck

Temp´erature T ↑:

Luminance max L⁰_m ↑ Longueur d’ondeλ_m ↓ λ_mT_m = 2898µmK

Loi de Wien

Loi unique pour L⁰/Lm(y) et λ/λm(x) 98% du rayonnement dans [λm/2,8λm] Fraction d’´energiez entre 0 etλ/λ_m: z(x =λ/λm) =

Rx

0 L⁰(x⁰,T)dx R∞

0 L⁰(x⁰,T)dx⁰ (cf PC)

Approximations de la loi de Planck

→λT 1: Loi de Rayleigh L⁰(λ,T) = 2c₀kλ⁻⁴T

→λT 1: Loi de Wien

L⁰(λ,T) = 2hc₀²λ⁻⁵exp(− hc0

kλT)

Rayonnement d’un corps noir

Corps noir: ´emetteur isotrope

→M(λ,T) =πL⁰(λ,T)

Emittance totale : densit´e de chaleur perdue par le syst`eme M(T) =

Z ∞

0

M⁰(λ,T)dλ

L⁰(λ,T) = 2hc₀²λ⁻⁵ exp(_kλT^hc0 )−1 Changement de variable w = _kλT^hc0 → ^dw_w =−^dλ_λ

Z ∞

0

L⁰(λ,T)dλ= σT⁴ π Loi de Stefan-Boltzmann

M =σT⁴

Validit´ e du mod` ele du corps noir

Mod`ele corps noir: bonne approximation pour rayonnement solaire

Belorizky et Pique

Toute surface plac´ee dans une cavit´e isotherme de propri´et´es radiativesquelconquesest soumis `a un rayonnement de corps noir

Partie 3

Surfaces r´eelles

Rayonnement r´ eel

Luminance r´eelle: L(T, λ, θ, φ)≤L₀(T, λ)

On consid`ere seulement les cas τ = 0 (opaque) etτ = 1 (transparent).

Rayonnement r´ efl´ echi

R´eflexion sp´eculaire ou diffuse

Isotropie → R´eflexion diffuse

Caract´ eristiques de l’´ emissivit´ e d’une surface r´ eelle

monochromatique directionnelle (T, λ, θ, φ) = ^{L(T,λ,θ,φ)}_L

0(T,λ)

monochromatique h´emisph´erique _h(T, λ) = _M^M(T,λ)

0(T,λ)

totale directionnelle _d(T, θ, φ) =

R∞

0 (T,λ,θ,φ)L0(T,λ)dλ R∞

0 L0(T,λ)dλ

totale h´emisph´erique t(T) = _M^M(T)

0(T) =

R∞

0 (T,λ)M0(T,λ)dλ R∞

0 M0(T,λdλ)

Loi fondamentale du rayonnement thermique

Equilibre thermique´ → Loi de Kirchoff:

Absorptivit´e = Emissivit´e α(λ,T, θ, φ) = (λ,T, θ, φ) Simplifications:

Isotropie: ne d´epend pas de la direction (T, λ) =α(T, λ) Corps gris: ne d´epend pas deλ→(T, θ, φ) =α(T, θ, φ) Corps noir: α_λ =_λ = 1

Bilan d’´ energie pour un corps opaque isotrope

Flux ´emis −Flux absorb´e = 0 Flux incident −Flux partant = 0 avec :

Flux partant = Flux ´emis+Flux r´efl´echi Flux incident =Flux absorb´e +Flux r´efl´echi

Lin´ earisation du transfert radiatif

Taux de transfert d’´energie d’une surface S `a Ts assimilable `a un corps gris d’´emissivit´e entour´ee par les parois d’une cavit´e C `aT_c

E =σ(T_s⁴−T_c⁴) Coefficient d’´echange

E =σ(T_s²+T_c²)(T_s²−T_c²) E =σ(T_s²+T_c²)(T_s+T_c)(T_s−T_c)

E =hrayo(T_s−T_c)avec hrayo =σ(T_s²+T_c²)(T_s+T_c) Applications Bˆatiment:

hrayo∼6Wm⁻²K⁻¹ >hconvection naturelle∼4Wm⁻²K⁻¹ hglobal =hrayo +hconvection naturelle∼10Wm⁻²K⁻¹

Tableau r´ ecapitulatif

milieux Transmittivit´e Emissivit´e

transparents τ = 1 = 0

opaques τ = 0 0< ≤1

opaques corps noir τ = 0 = 1 semi-transparents 0< τ <1 0< <1