A Comparison of numerical simulation models for predicting temperature in solidification analysis with reference to air gap formation

HAL Id: hal-00576280

https://hal-mines-paristech.archives-ouvertes.fr/hal-00576280

Submitted on 14 Mar 2011

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

A Comparison of numerical simulation models for predicting temperature in solidification analysis with

reference to air gap formation

J. Kron, Michel Bellet, Andreas Ludwig, Bjorn Pustal, Joachim Wendt, Hasse Fredriksson

To cite this version:

J. Kron, Michel Bellet, Andreas Ludwig, Bjorn Pustal, Joachim Wendt, et al.. A Comparison of numerical simulation models for predicting temperature in solidification analysis with reference to air gap formation. International Journal of Cast Metals Research, 2004, 17 (5), pp.Pages 295-310.

�10.1179/136404604225020669�. �hal-00576280�

! " ! #$ % & & ' "# ' ( ) % " * ' + $ & !' , * # '+ ! !"

!+* ' *' ($ + # ' + - % " ! , *' % "" " & , ' $ .*$ ! # ' & , *

# '+ ! !" & " ' " $ # " ' "" " !" ' ! " & ' %' #' + ! & + , "

% $! , "&'! / , # & % " ! , .* "! # & + $ %% '" &!" * * ' ) **$-

!## ' & '+ + %& !% $ **' %& " (- "! , &' % ++ '%! $ ! 0& " % ) $$ #! % " ! , *' % "" % +* ' & !' *' !% ! " )! & .* '!+ $ #! ! ," &

.* '!+ $ # % " ) ' , ! #' + & " $! !#!% ! " (" 1 % $! , # %-$! '!% $

% " ! ," # % !% $0 23 ! ' '- $043 !05 23 , $$ -" " & " #! ! ,"

& + 6 ' !## ' % " ( ) & *' !% ! " # & + $" & % $ # '+ ! # & !' , * ' !"% ""

7 '' "* % 8 !%& $ $$ 7 ' !" '+ " 9'! . % $ " ! "

'!" 7 4:2; <54 5:=5> *&! !* $!" ' %

' & " ' '!/"" # $$ *' # "" ' ' )! & & %/& $+

) $$ " ! ' "%! !" !" )! & % $ " ! " '!" 7 ' # ' '! $ ' % ""! , ?7 @ *&! !* $!" ' % )!, # $$ *' # "" ' !" )! & &

!A '"! - # ( * ' + # $$ ',- " '! " $ & " !" )! & &

'- " ! # & %& !A '"! - '+ - ) " " ! ' ' " '%& "%! !"

B " '! $ -" +" "* ! $ '! , & " - !" ) )! & +(

, '+ -

<

!

c

"* %!#!% & ? /,

@

E C , + $ " ? @

f

A $ + '!% " $! #' % ! ?0@

h & ' "# ' % ##!%! ? 7@ ? +

@

I ! ! - " ' ?0@

m " ' ! 0' " "! !A! - ! . ?0@

σ

p

' *' "" ' ? @

I p σ

s

A! '!% " ' "" " ' ? @

T +* ' ' ? ' D7@

T

" $! " +* ' ' ? ' D7@

T

$!1 ! " +* ' ' ? ' D7@

α & '+ $ $! ' .* "! % ##!%! ?

@

∆hf

"* %!#!% $ & # # "! ? /,

@

@ 5

?

@

?

@

?

=

∆

L S L

tr

T T T

ρ ρ

ε ρ "&'! / , ' ! 8 ' $ !A A $ + %& , "" %! )! & & $

$!1 ! 0" $! ' "! ! ?0@

ε " ' ! ' " ' ?"

@

ε

$ " !% * ' # & " ' ! ' " ' ?"

@

ε

*$ " !% * ' # & " ' ! ' " ' ?"

@

ε

A!"% *$ " !% * ' # & " ' ! ' " ' ?"

@

ε

& '+ $ * ' # & " ' ! ' " ' ?"

@

pl ij pl ij pl

eq

ε ε

ε

A !" " 1 !A $ *$ " !% ? ' A!"% *$ " !%8 vp ! " # pl@

" ' ! 0' ?"

@

ij

eq

ε

ε

ε

A !" " 1 !A $ " ' ! 0' ?"

@

∫

=

pl

eq

dt

5

ε

ε ^A !" " 1 !A $ *$ " !% ? ' A!"% *$ " !%8 vp ! " # pl@

" ' ! ?0@

2

∫

=

eq

dt

5

ε

ε ^A !" " 1 !A $ " ' ! ?0@

λ & '+ $ % % !A! - ? +

@

ν !"" % ##!%! ?0@

ρ "* %!#!% + "" ?/, +

@

σ ⁷ %&- " ' "" " ' ? @

ij

eq

s

s

σ

A !" " 1 !A $ " ' "" ? @

σ

" !% -! $ " ' "" ? @ ?*$ " !% &' "& $ 8 !# σ

< σ

&

+ '! $ !" $ " !%@

>

! "# !

!' , * # '+ ! !" !+* ' *' ($ + ! + - % " ! , *' % "" " "! % ! & " $ ',

! #$ % & & ' "# ' ( ) % " ! , + $ '/ & % % ! ( )

A '-! , & ' "# ' % ##!%! & # '+ ! # !' , * & " ( *' " ! A '! "

' !%$ " ( + $ % " ! , E 0:F & , * # '+ ! & " ( # " ' )& & " $!

+ $ "& $$ !" " ' , ,& ' "!" & *' "" ' #' + & $!1 ! + $ E4F & & ' "# '

#' + & + $ & + $ !" +! (- % % ! ( # ' !' , * & " # '+ &

+ %' "% *!% !' , * !" # '+ & % % ! !" ' % & & ' "# ' % $ (

"%'!( " & " + # & % % ! & ' ! ! A ' & "$! EGF & % " #

$ +! ! + ( " $$ -" & & ' "# ' ' ! ! !" ! "!, !#!% E=F 7 A % ! & "

( *' A & A ,$!,!($ ## % E 5F & , ' $ .*$ ! # & !' , * # '+ !

!" & "&'! / , # & % " ! , .* "! # & + $ %% ' " ' "" " " ' ! "

#' + & '+ $ ,' ! " %' '! , & % " ! , *' % "" E 50 ;F

+ & + !% $ + $$! , # % " ! , *' % "" , A ' ! , 1 ! " & '+ *&-"!% $

*' * ' ! " ( '- % ! ! " ' ' + " *' % !% $ % " ! , *' % "" " &

& '+ $ ( '- % ! ! " ' !##!% $ %! & ' ,&$- # ' $$ * ! " # &

+ $ H+ $ ! '# % & ' " # ' &!" !" & & & ' "# ' % A '- % "! ' ($- )! &

!+ +* ' ' $ , & # % # & % " ! , !$$ & " ( '- % ! ! " %! &

' " $ " # & '+ $ " ) $$ " & '+ + %& !% $ + $$! , # & *' % ""

& *' " ) '/ .* '!+ " & A ( )& ' +* ' ' " !"*$ % + " # &

% " ! , & + $ & A ( + " ' '! , " $! !#!% ! *' % "" & , + '- #

& " 0 * & " ( %& " ( # "!+*$ %-$! '!% $ "& * ! ' ' + / ! * ""!($

% & ' "# ' % ##!%! #' + & +* ' ' + " ' + " & !" A $! # ' &

)& $ ( '- # & % " ! ,

& !+ # & *' " ) '/ !" + $ & .* '!+ "%'!( ( A + '!% $$- )! & &

% $% $ & ' "# ' % ##!%! " ( '- % ! ! & !## ' & '+ + %& !% $

**' %& " " (- # ' !## ' "!+ $ ! *' ,' +" "& $ ( " ! & + $$! , ) '/

& ' " $ " # & + $$! , *' !% ! " ' , ' ! , & " $! !#!% ! *' % "" " ) $$ " &

!"*$ % + " # '+! , !' , * "& $ ( % +* ' %& & ' & .* '!+ $ ' " $ " & "!+ $ ! *' ,' +" " & ' ) ' 7 0 2 E :F

E 4F 7 E GF 7 E =F

& $$ -" %& " # ' & .* '!+ " ) ' % !% $0 23 ! ? 0+ !#! @ $043 !0 5 23 , ? ,' ! ' #! @ !+ $ ! ) '/ & " '$! ' ( ! &!" ' E <F ( "

.* '!+ " * '# '+ '$! ' (- %&+! A "" E<5F ) A ' ! & !'

) '/ $- & $ !' , * ) " ,!A & & '+ $ .* "! # & + $ ) "

!" ! , !"& #' + & % ' % ! # & % " ! ,

$% &' & ! & ( "& ! ! " & #(

" '! " # % " ! , .* '!+ " & A ( * '# '+ ! %-$! '!% $ + $ )! & % ' ! ! "

% ' & & !,& # & + $ ) " 55 ++ & . ' $ ! + '" # & % ' &

;

% " ! , & + $ ) ' <> ;5 <;5 ++ ' "* % !A $- , + '!% "%'!* ! # &

.* '!+ $ " 0 * !" "& ) ! !, '

& + $ ) " + #' + $ ) $$ - " $ ?5 >3 7 5 2;3 ! <3 @ & % '

) " + " 1 ' I ( #!$$ )! & !$ ( " & ( + & * # & % '

% " ! , + $ ) ' ! " $ !A & '+ % *$ " # -* ) ' ! " ' ! & + $

# ' ! & % " ! , $$ $!, +! & !,& # & " 0 * & + $ & ' ! $ !" % ( ) & & '+ % *$ " ) " ( 5 ++ ! & + $ ; ++ 7 $! , % 'A " ) ' ' % ' &' ,& & " $! !#!% ! *' % "" & " (" 1 % $! ,

) -* " # .* '!+ " ) ' * '# '+ 8 )! & % !% $0 23 ! & & ' )! & $0 43 !05 23 , " % " $$ -" & " '! " # .* '!+ " * '# '+ )! & % !% $0 23 ! "

% " $$ - & A ( *' " '$! ' ! ! $ .* '!+ " '! " )! & & ' $$ -" & A ( E< <<F & + $ ) " * ' #' + & * # & + $ & ** ' " '# % ) "

' *! $- % A ' )! & ,' $ ! " $ ! , + '! $ & ! ! ! $ +* ' ' # & + $ ) "

4 D7 25 D7 # ' $0 23 ! $043 !05 23 , ' "* % !A $- & " !+ ! ! ! $

+* ' ' # ' #!$$! , ) " 44= D7 4 : D7 # ' $0 23 ! $043 !05 23 ,

' "* % !A $-

!, ' < "& )" & % $! , % 'A " #' + & .* '!+ " # & ) $$ -" & #!, ' $-

) #' + ! ' % ' +* ' ' % 'A " ' !"*$ - J / ! & + $ &

& ' ! & % " ! ,

& !"*$ % + " # & + $ & % " ! , ) ' + " ' )! & $! ' A '! ($

!## ' ! $ ' " % '" ? B K"@ *$ % %% ' ! , !, ' L ' I ( " & A ( "

% % & B K" & + " '! , * ! " & 1 ' I ( " #' I ! & " $! !#-! ,

"& $$ # $$ ) ! " ! + A & + A + # & ! ' + $ ) $$ ) " + " '

!" % # ++ #' + & ! ' + $ " '# % & "!I # & !' , * ) " & '+!

" & !## ' % ( ) & + A + " # & " $! + $ "& $$ & ! ' ) $$ # &

+ $ "" ' & & !"*$ % + " %% ' "-++ '!% $$- & - ) ' + " ' &'

$ % ! " ' & %-$! ' )! & <5D ! ( ) &!" /! # .* '!+ " $) -"

"& ) , "-++ '- $- ( # &' .* '!+ " ) " "-++ '!% $

.* '!+ " & ! "& ) "-++ '!% ( & A! ' ) ' $) -" !"% ' "! % &

+ " ' & ' "# ' ) $ ( **$!% ($ & )& $ ( '- # & % " ! , & ')!" + .!+ + !## ' % # <5 M+ ) " %% * ! & !"*$ % + + " ' + "

!, ' 2 & .* '!+ $$- + " ' !"*$ % + " % " 1 $- !' , *" ' "& )

# ' & ) .* '!+ " *' " & ' !" ) ' & ! , & & ' ) # & '+ % *$ " ) "

*$ % ! & A!%! ! ! " # & + " '! , * ! " # ' & !"*$ % +

& & ' "# ' % ##!%! ? 7@ & ! '# % ( ) % " ! , + $ h ) "

'!A #' + & / )$ , # & #$ . " ! & A!%! ! - # & ! '# % & + & + !% $ .*' ""! " " !+ h #' + & + " ' +* ' ' " !" ,!A "8

mould mould

mould i casting i casting

casting

r T T

T r h

T 



 





∂

⋅ ∂

−

=

−

⋅

=

 

 





∂

⋅ ∂

− λ ^{? @} λ ^{? @}

:

)& ' λ

λ

^{' & & %} % !A! ! " # & % " ! , & + $

casting

T

T

' & ! '# % +* ' ' " # & % " ! , & + $ &

! '# % +* ' ' " ! & + $ & % " ! , ) ' . ' * $ #' + &!' ' '

* $- +! $ #! ! , # & + " ' +* ' ' " & +* ' ' ,' ! & " '# % #

& + $ + " $" ( / ) ! ' ' % $% $ & & ' "# ' % ##!%! &

+* ' ' ,' ! ) " / " & '!A !A # & #! * $- +! $ & " '# % # &

+ $ & & ' "# ' % ##!%! " % )! & &!" + & #' + & + " '

+* ' ' !" '!( ! ' ,!A ! !, ' >

)% # & ! ( ! #( !

< + '!% $ "%'!* !

& + $$! , ) '/ & ! ! ! $ !+ "! " # & , + '- ' " ,!A ! % ! '

!## ' % +* ! $ + ! " ' ! !#! 8 !@ % ' !!@ + $ ?% " ! ,@J ?!!!@ + $ ?!A@

! " $ ! !+ "* ! $ !"%' !" ! " & A ( !+* " ! ! !## ' % "

#! ! $ + + "& " & A ( " * ! , & " # ) ' $$ &' 0 !+ "! $ + "& " ' + "& " # ' " '!% , $ ' " % ' & A ( " !$" ' ,!A ! % !

< < # ' %& " # ) ' **$!% !

< < &' !## ' -* " # % $% $ ! "

& ( %&+ '/! , . '%!" & " ( % % ! &' " *"8

• $*

&!"

*' $!+! '- " * " 'A " " % +* '!" ( ) & & ' "# ' " $A '" # & !## ' + '!% $ % " & )& $ + $ !" % "! ' '!,! & ! #$ % # & !' , * &

% $! , # & "* %!+ !" ,$ %

• )* + , -

.

& " $! !#-! , * ' & + $ # '+ & % ' &

! " $ ! ' "" + '!,! & !+ * 7 !" % #' + & .* '!+ "

" .*$ ! ! % ! & ' !" ## % !A % *$! , #' + & + %& !% $

% $% $ ! ) ' " & & ' "# ' % $% $ ! $- & % *$! , #' + & & '+ $

% $% $ ! ) ' " & + %& !% $ % $% $ ! !" / ! %% &' ,& &

+* ' ' * %- # & * ' + $ % " ! !A * ' + '"

• /* + , -

.

" ! " * < & " $! !#-! , * ' & + $ # '+ &

% ' & ! " $ ! ' "" + '!,! ) A ' ! &!" % " & # $$ & '+ + %& !% $

% *$! , !" % "! ' "! % & 7 !' % $- * " & , * &!%/ "" )&!%& !"

' " $ #' + & + %& !% $ % $% $ !

< 2 '! $" *' * ' ! "

4

' & + '!% $ "!+ $ ! # & %-$! ' .* '!+ " # ' + '! $ ,' *" ) '

% "! ' 8 !@ % ' !!@ + $ ?% " ! ,@J ?!!!@ + $ ?!A@ ! " $ ! ' & & '+ $

"%'!* ! # & *' % "" & # $$ )! , + '! $ *' * ' ! " & ( ,' 8 &

% % !A! - λ ?T@ "* %!#!% + "" ρ ^?T@ "* %!#!% & c

?T@ ! ! $$- & $ &

# # "!

& A $ ! # " $! #' % ! f

?T@ & $!1 ! " " $! " +* ' ' "

T

T

& A ( / ) # ' & % " + $ ' & + $ & + $ ) ,'

+* ' ' * *' * ' ! " )& ' " # ' & % ' & ! " $ ! ) " % "

" & !# & ' $ " # & $ & !" + $$ A!

f

?T@ & A $ " # c

?T@ "& $ % ! - % '!( ! # & $ &

$ & ,& & % ' !" % " )! & 1 ' I ( ! !" + $$ !' $- (- "! , "

*' * ' ! "

' & + %& !% $ % +* ! & # $$ )! , + '! $ *' * ' ! " ) ' % +*!$ 8 C ,K"

+ $ " E?T@ !"" K" ' ! ν ^?T@ & '+ $ .* "! % ##!%! α ^?T@ -! $ " ' ""

σ

?T@ # & $! ' & '+ $ .* "! % ##!%! α ^?T@ & ' $ !A A $ + '!%

" $! !#!% ! "&'! / ,

ε

^{) ' %} #' + & *'!+ '- ρ ^?T@

& !## ' **' %& " "" %! )! & & !## ' % " *' " ! % ! < < ! !"

"" + & & + '! $ ( & A " $ " !% $$- !# & A !" " 1 !A $ " ' "" σ

!" "+ $$ '

& & -! $ " ' "" σ

^# σ

^{.% "} σ

! !" "" + & * ! , & + $ &

+ '! $ ( & A " ! & ' *$ " !% $$- ' A!"% 0*$ " !% $$-8

( & A! '

*$ " !%

0 A!"%

0

$ " !%

'

*$ " !%

0

$ " !%

( & A! '

$ " !%

y eq

y eq

σ σ

σ σ

>

< ?<@

"%'!( & " ' ""H" ' ! % 'A ( A & -! $ " ' "" ! ) " "" + & & $ " !%0*$ " !%

+( ',0 ", " ' ""0" ' ! + $ E<2 <>F % ( **$! $ & ,& & # '+ ! #

$!1 ! " +!0" $! &!,& +* ' ' " $! 0" + $$!% $$ -" !" (A! "$- " ' ! 0'

* &!" %& !% & " ( ! ' ' ( ($ % +* ' & !## ' + '!% $

% " (- "! , % ++ % " ! !A + $ & & # ' + '!% $ % " " ! &!" " -

% ' "" & " ! & *$ " !% ' ,!+ " ' "" ?' # ' % @ " ' ! !" ' $ (-

y eq y

eq n

y

eq

n ε ε

ε ε σ

σ









 −

⋅ +

 =











# ' ?2@

' ε

= σ

H E !" & + .!+ + $ " !% " ' ! (A! "$- & ' # ' % " ' ! ε

' *' " " & $ " ' ! & !" & " + # & $ " !% & ?A!"% 0@*$ " !% " ' ! &

!+ "! $ "" * ' + ' n?T@ ( & A " $!/ & ! A '" # " ' ! & ' ! , % ##!%! ' n N 1 ?2@ ' " ! / K" $ ) "& )" $- $ " !% ( & A! ' )& ' " # ' n N

&

+ '! $ **' %& " ! $ *$ " !%! - ? σ

!" %$ " σ

^)& A ' & A $ # ε

^@ " &

!## ' + '!% $ % " " !## ' " ' ""0" ' ! + $" & % " ! !A ! # '+ ! ,!A

$$ + '! $" *' * ' ! " " ! &!" " - % ( + A !$ ($ (- & & '"

G

(- 1 ?2@ + " ( ' "# '' ! & + $ " (- & % '' "* ! , *' ,' +" &

*' % ' )!$$ ( "%'!( , & ' )! & & "%'!* ! # %& + '!% $ %

< > ! ! $ % ! ! "

& + 6 ' (6 % !A " # &!" ) '/ ' & "!+ $ ! # & , * & # '+" ( ) &

%-$! '!% $ % " ! , & + $ (- "! , !## ' **' %& " % +* ' & *' !% !

)! & .* '!+ $ #! ! ," %! A '$ & "/ (- "!+ $ ! , & + $

#!$$! , & " ! !" "" + " $' - ! !% ! % ! & & *' % "" " ' " (- % $! , # + $ )! & !# '+ +* ' ' !" '!( ! ! *' & "" +($- # & + $ &

% ' & ! " $ ! & A! , & " + ! ! ! $ +* ' '

< ; '- % ! ! "

" ' & '+ $ ( '- % ! ! ) "" + % " 7 # h

N <5 +

( ) + $ ! " $ ! " '' ! , & +* ' ' # & " '' ! , ) " "" +

( T

N <5 D7

) %& * !' # + '! $" #' + % ' + $ + $ ! " $ ! ) "" + &

.!" % # & ' "# ' % ##!%! & " 7" ) ' %& " ! & ' ( % " !+

* ' * - , * )&!%& # '+" ( ) & + '! $"

& 7 ( ) * ' % ' !" "" + ( % " h

N <555 +

% ( "& ) & &!" "" +* ! & " ,$!,!($ ! #$ % & ' " $ " "! % & % ' ' *! $- ' %& " & +* ' ' # & + $

& & .%& , % ##!%! )! & ! " $ ! & " ( #!. '(! ' '- A $ h

N

>55 +

?

" " # ' % " ! , + $ % ' @

$ & ,& & "" +* ! # % " A $ # & 7 ( ) & % " ! , & + $ !"

' $!" !% ! &!" % " ! ($ " % +* '!" # & % " A '- # + $ $ A $ &!"

!" & (6 % !A # & % $% $ ! " % % ! " * & A %& " & % " A $ "

,!A ! ($ & " A $ " % '' "* & + .!+ + A $ " + " ' ! &

.* '!+ ( # ' & , * # '+" " !$$ " ' (- !, ' " >

< < 7 0 2 8

7 !" ! 0& " #! ! $ + % # ' % " ! , "!+ $ ! " '!,! $$- )'! &

'- " ! # & %& !A '"! - ) A ' "! % & '$- !+ " # 7 + -

# ' " & A ( (- 77 '! $" ' % "" " B 0*' #! " !

# (- & '- " ! ! =G: & % $% $ ! " ! & #' + # & *' " *' 6 %

& A ( )! & A '"! < : E :F

' $$ $ & A $ *+ # 7 + '!% $ % "!+ $ " ' "" " !" ' ! "

'! , " $! !#!% ! % $! , # % " * ' " 2 & " ( )'! & '-

" ! E<;F &!" " # ) ' % " " ' " $ #!$ " + $- +* ' ' " $ ! " #' + ,

=

7 ! ' ' *' !% " ' "" " !" ' ! " % " (- ! & + , " % $! , "

$ , " " 1 % # #!$ " )! & +* ' ' ' " $ " !" A !$ ($ 2 % ( "

% +*$ $- ! * # 7 + - *' !% " ' "" " !" ' ! " # ' - + '! $

%$ "" " "!' J + $ % ' ' % " ! , ' # ' $$ &' ) A ' !# ) + '! $" ' %& "

)&!%& ' ! ! ! $$- ! % % 2 % "! '" & ) + '! $" ( ! * '+

% % & ' # ' $- & # '+ ! # & % " ! , & " ( "!+ $

& % $% $ ! # " ' "" " # '+ ! " !" ( " * & '+ 0 $ " !%0*$ " !% + $

& 1 ! " ' '!A #' + & ' $0 "" 1 ! " ' )'! " # $$ )"8



















=

=

≥

=

=

≤

−

=



 





∂

− ∂



 



 +

∂ + ∂ + −

=

+ +

=

I T ε

ε s

f s

ε f

E I T T

E T T

I E σ E σ

ε

ε ε ε ε

th

pl eq

pl eq

y eq el

th pl el

α σ σ

ε σ σ

ν σ ν σ

ν ν

& ')!"

5 5

8 5

< !#

2

5

@ '?

@ '?

?>@

& " % 1 ! & ) $ " '+" %% # ' & +* ' ' * %- #

$ " !%! - % ##!%! " E ν ^{& &!' 1} ! !" & % ! ! !+* " (- & A !" "

*$ " !%! - %'! '! & -! $ " ' "" σ

% A '- )! & & *$ " !% # '+ ! ε

^{%% ' ! ,}

$! ' " ' ! & ' ! , + $ & # ' & 1 ! !" & A !" "K*$ " !% #$ ) ' $

! " #

' & # ' + '! $ ,' *" + $ % " ! , % ' ! " $ ! " &' 0 !+ "! $ ,'! % A '! , 1 ' ' # & # $$ + $ ) " "!, "! , G2:5 & . & ' 55G

* & ' <24> " & % '' "* ! , %& ' % '!" !% "!I # & $ + " !" (

> ; ++ ' & & '+ $ "!+ $ ! % " !+ " *

t N 5 ; " ) " " & " (" 1

% *$ "!+ $ ! # " ' "" " !" ' ! " ) ' * '# '+ )! &

t N "

& "&'! / , !" "%'!( (- + !#! & '+ $ .* "! % ##!%! & " $! !#!% !

! 'A $ & A $ # α ^! & # ' & 1 ! # ?>@ !" %& " " %& & 8

tr S

L

T

T ε

α ?

@

2 ?;@

)& '

ε

!" & "&'! / , ' ! "" %! )! & & " $! !#!% !

< < < 8

P

!" 20 % ++ '%! $ "!+ $ ! " # ) ' ( " & #! ! !## ' % + & !" % +* " # " A ' $ + $ " # ' !## ' * '* " " $!/ % $% $ ! " # " ' "" "

!" ' ! " + %' " ,' , ! +!%' " ' % ' *' !% ! " # ' . +*$ & ' !" $"

( " A !$ ($ ! & *' ,' +

5

$ %&!

" ' "" !" & + $ " (- # ' % $% $ ! " # " ' "" "

!" ' ! " # '+ ! " $! !#!% ! *' % "" & *' ,' + + / " & '+ $ % $% $ ! " #!'"

" " & % $% $ +* ' ' !" '!( ! " ! 0 # ' " ' "" & & '+ $

& & '+ + %& !% $ % $% $ ! " % $ ( % *$

' & " ' "" "!+ $ ! & '+ 0 $ " !%0*$ " !% + $ !" % "! ' !" ( " & " + 1 ! " " ?>@ & # $$ )! , + '! $ *' * ' ! " ' A !$ ($ ! & ( " #

8 C ,K" + $ " !"" K" % ##!%! & '+ $ .* "! % ##!%! -! $

" ' "" % ##!%! " # " ' ! & ' ! ,

$ %&! #

& " ' "" A '"! > 5 ) " " ! &!" ) '/ ' & # ' + '! $ ,' *" #! J + $ % " ! , % ' ! " $ ! & # $$ , + '!% $ + $ ) " !"%' !" )! & ,'!

"! , :5:;<G A $ + $ + " =5>5 # & " A $ + " ) ' " # ' & % " ! , ? A ' ,

%& ' % '!" !% "!I < > ++@ ' & & '+ $ "!+ $ ! + !% !+ " * % ' $$! , !"

**$!

! % % *$ +* ' ' 0" ' "" % $% $ ! " ' * ""!($ ! &

+* ' ' !" '!( ! ) " % $% $ #!'" # $$ ) (- % $% $ ! # " ' "" "

!" ' ! " &!" " (" 1 "!+ $ ! ) " * '# '+ )! & + .!+ + !+ " * # <5

" % " & "&'! / , ) " "%'!( (- + !#! & '+ $ .* "! % ##!%! $!/ !

7 0 2 8 " % ! < <

& *' ,' + " ,!A & * ""!(!$! - % $% $ !"*$ % + " ! ) % % + '! $" "!+ $ "$- & ' # ' & % $% $ ! # !' , * & ( + ! ) " *"J

)& ' & !"*$ % + # & % " ! , ) " % $% $ )& ' & !"*$ % + #

& + $ ) " % $% $

< < 2 7

7 !" % ++ '%! $ #! ! $ + " # ) ' * %/ , # ' % " ! , "!+ $ ! &

% !" A $ * (- & % +* - E<:F % "!" " # ( " + $ " A * ! $ + $ " & " $ % "!" " # " $! !#!% ! " $A ' )! & *' * "

*' % "" '" & ! ! $ + $ " ' "&! , $ ! ' "" ! ! !%' " ' % '

$ % ' + , !% A '"

'% !

& + $ %% " # ' ' "! 0$! ' 2 & % % ! & % A % !

' ! ! )! & *& " %& , " ' "! , & $*- # '+ $ ! & & .%& , ( ) # %! , + ! " % ( ' )! & % ! %! ' 0% ! %! + "& "

' "# ' " ' "" % $% $ ! " ' % *$ & '+ $ % % ( ) * ' " !" % "! '

(- + " # ## % !A 7 h

)&!%& !" #! "

h g h

h h

h

rad air eff

=

λ

=

)! &

5

?:@

λ

( ! , & % % !A! - # !' ?I ' # ' A % +@ g & , * )! & h

& ' ! ! &

' "# ' % ##!%! & % ##!%! h

!" & # $ & ' "# ' % ##!%! )& , * .!" "8 h

!" * ""!($- ' $ & *' " % # % ! , & ! '# % ! " A $ ( ! , &

,!A (- & ' ! # & % ! , + '! $ % % !A! - A ' & % ! , &!%/ "" " ' , ' "

+ %& !% $ % % ( ) !## ' + ! " ! !" + , (- ,+ ,' ,

+ $ !*$! ' # '+ $ ! E<4F

& " ' "" + $" A !$ ($ ! 7 ! %$ & '+ 0 $ " !%0A!"% *$ " !% + $ # &

'I- -* E<GF & '+ 0 $ " !%0*$ " !% + $ ?"!+!$ ' 1 ?>@@ $ " !% + $ # '

& % " * ' " ) $$ " '!,! ( - + $ # ' + $ + '! $" E<=F $$ + '! $ *' * ' ! "

% ( %& " +* ' ' * ' % " &!" % +* '!" & '!,! $! ' $ " !%

& '+ 0 $ " !%0*$ " !% + $" ) ' "

" ' *!% /! + !% & ' ! , + $" ' A !$ ($ ' !" ' *!% & ' ! , $! '

# '+ $ ! * ) ' $ ) # '+ $ ! ' A !$ ($ 8

pl eq y

eq

σ H ε

σ = + ' "* % !A $-

pl

e

y eq

σ

σ σ

σ =

+ ? −

@

?4@

H !" & *$ " !% + $ " σ

^{& $ !+} " ' "" β & & ' ! , .*

" # ' $!1 ! 0" $! % *$! , " ' "" "!+ $ ! !" * '# '+ )& $ + " ' # $$- $!1 !

& " ' "" "!+ $ ! !" " ' )& & #' % ! # " $! !#! + $ ! $ + .% "

,!A $!+!

'% ! #

& "!+ $ ! " ) ' * '# '+ # ' 1 ' ' # & , + '- + "& % "!" ! , # ' & ' $ $ + " ?<> 4;: " 2: 2= $ + " A ' , %& ' % '!" !% "!I 2 > ++@

& ' + "& % "!" ! , # ('!%/ ) , $ + " ? < =G4 " 455 $ + "

A ' , %& ' % '!" !% "!I ; > ++@ ) ' " ' & * ' & ' "# ' % $% $ ! " ! " * $- & ' & ' $ + "& ) " " ) A ' ! ) " "" ' (- +( ' # % ' $

"!+ $ ! " & " # ' & ' $ & . & ' $ + "& " $ & " + ' " $ " " # &

"!+ $ ! " # ' & $$ -" $043 !05 23 , $0 23 ! ) ' * '# '+ "! , ( &

+ "& " & ' * ' ' " $ " # " *" < 2 ' #' + & "!+ $ ! " "! , & + "&

% "!" ! , # ('!%/ ) , $ + "

& " ' "" + $" %& " # ' & "!+ $ ! " ' 8 '!,! # ' & % ' & ! " $ ! $! '

$ " !% # ' & + $ $ " !%0*$ " !% # ' & + $ & + $ & +( ',0 ",

% " ! !A 1 ! & " ( **' %& (- $ " !%0*$ " !% $ ) )! & $! ' & ' ! ,

< < > 7

7

!" % ++ '%! $ #! ! $ + % & !+" & &' 0 !+ "! $

& '+ + %& !% $ $-"!" # % " ! ," & % !" A $ * (- 7

B !" # % " & % $% $ ! # # '+ ! " " ' "" " ! &

<

% " ! ," /! , ! %% * ""!($ # '+ ! " ! + $ " ! %$ " + $ #!$$! , + $ * '+! ! , * ""!($ ! ! ! $!" ! # A $ %! - +* ' ' #! $ "

+ !% + "&! , + $ E =F

! (' !

& + $ % "!" " # + $ ! + ! & ' "# ' " $A ' # & $*- -* "! , $! ' +* ' ' #! $ ! ' & ' $ $ + " # + $ ! + ! + %& !% $ " $A ' ( "

+!. A $ %! -0*' "" ' # '+ $ ! E 25F & + %& !% $ % % ( ) & !## ' + ! " ? & % " ! , & !## ' % +* " # & + $ @ !" + , (- * $ -0 -* $, '! &+ E25 2 F & & ' "# ' & + %& !% $ " $A '" ' " ' ,$- % *$

%& !+ ! %' + & ' "# ' + %& !% $ ' " $ ! ' * '# '+ & &

' "# ' " $A ' 7" % * $ % $$- & "!I # & !' , * ' & $ % $ % %

*' "" ' ( ) ) !## ' + ! " & + %& !% $ " $A ' & % " ! !A * ' + '"

' +* ' ' * E25F

, ' ! , % " ! !A 1 ! " & % " $$ - % ( % "! ' ! & ' " $!1 ! 0 -* ' "

" $! 0 -* % ! " + ! + " * ' (- %'! !% $ +* ' ' T

E25 2< 22F ( A T

* ' & '+ 0A!"% *$ " !% + $ !" " &!" % " & % +*' ""!(!$! - !" $- &

& '+ $ % '!( ! ? $ " !%! -@ " "& ) ! 1 ?G@ &!" !" %$ ""!% * ) '0$ ) + $ # ' , ' $!I ) ! #$ ! " & "" %! 0 !+ "! $ ' $ ! "&!* !" ,!A (- 1 ?=@ & $!+! % " # & ) ! ( & A! ' !" ( ! # ' m N &!" % " K N 2 η ^{)! &} η ^{& -} +!% A!"% "! - # & $!1 ! $$ -

( ^{T f} ) ^I

ε K s

ε ε

ε

ε =

+

= ? ε

@

= α +

∆ ε

<

2 ?G@

m vp eq eq

K ? ε @

σ = ^?=@

$ ) T

!## ' & '+ 0 $ " !%0A!"% *$ " !% + $" % ( " &!" " - & + $

"%'!( (- 1 ? 5@ & " ( %& " 1 ! ? 5(@ -! $ " & &-* $ " !% / Q" $ ) )&!$ ? 5%@ ,!A " & .*' ""! # & A!"% *$ " !% " ' ! ' ? & .*' ""! ( ) (' %/ " ' % " I ' )& , !A 8 )& σ

!" $ ) ' & & *$ " !% &' "& $

n vp eq y

H ? ε @

σ + A!"% *$ " !% # '+ ! %% '"@

( )















∆ +

=

−

= −



 





∂

− ∂



 



 +

∂ + ∂ + −

=

+ +

=

I f

T ε

K s ε H

E I T T

E T T

I E σ E σ

ε

ε ε ε ε

tr s th

m n vp eq y

eq eq vp

el

th vp el

ε α

ε σ

σ σ

ν σ ν σ

ν ν

2

@

?

<

2

@ '?

@ '?

? 5@

' + &!" " # " ' 1 ! " & 0 !+ "! $ $ ) % ( . ' % 8

2

m vp eq n

vp eq y

eq

σ H ? ε @ K ? ε @

σ = + + ^{? @}

& $!1 ! 0" $! % *$! , !" ' " # $$ )" & " $! 0 -* #! ! $ + " ' ,' ,! ?! + "& A $ %! - 1 $" + '! $ A $ %! -@ )& ' " )& $!1 ! & - '

$ '! 0 ,' ,! ?+ "& A $ %! - !" % $% $ ! * $- # + '! $ A $ %! -@ &!"

*' A " + "& , ' %- ! % " # & '+ $ % A % ! $$ )" & + "& ( '-

# $$ ) & A $ ! # & #' " '# % # & ' + ! ! , $!1 ! * $ & + $ *

"&'! / , E2< 2>F

! (' ! #

/ A , # & "-++ '- # & *' ($ + & #! ! $ + + "& " & A ( ' " '!% , $ ' " % ' # <; ,' " & + "& "!I " ! & * ' ) " ( <

2 ; ++ ! & * ' 2 ++ ! & + $ , ' ! , % " ! !A 1 ! " ! ' '

% +* ' )! & & & ' % " $- & " $! 0$!/ % " ! !A + $ & " ( " ? 1 ? 5@0

? @@ )! & % ##!%! K ( ! , $$ ! ' ' **' %& & +( ',0 ", " ' ! 0'

! * $ " !%0*$ " !% + $8 * ' + '" H(T) n(T) & A ( ! !#! #! 1 ?2@

& )& $ +* ' ' + !

7 & & '+ $ $! ' .* "! % ##!%! !" % + !% $$- #' + &

*'!+ '- ρ ^{?T@ ,!A} * ! )!" ' ! " % ! #! ! $ + α ^! 1 ?G@ ' ? 5@ !"

#! "8

@

?

@

?

@

?

@

?

2

t t

t t t

t

T

T T

T

T ρ

ρ

α ρ

−

= ₊−_∆ ^+∆

? <@

)& ' & "* %!#!% + "" !" ! '* $ ! & ($ ρ ^{?T@ % "} & "&'! / , ' !

ε

^!"

" & % ##!%! α !" " I ' ! & " $! !#!% ! ! 'A $

+ !% !+ " * % ' $ & " ( **$! # ' & '+ $ & '+ 0+ %& !% $ "!+ $ ! "

)! & + .!+ + # ; "

/% & #( " "! # !

) !

" .*$ ! ! % ! ! &!" #!'" " * & % " ! , & + $ ' % "! ' '!,!

& ! #$ % # & !' , * & & ' "# ' ( '- % ! ! " !" !, ' & ' # ' $- * ' & ' "# ' !" % "! ' )! & % " 7" &!" % +!% *' $!+! '- " *

" 'A " " % +* '!" ( ) & & ' "# ' " $A '" # & !## ' + '!% $ % "

2 $043 !05 23 , $$ - " *

% ( " ! !, ' ; & & ' " $ " ( ! )! & & !## ' "!+ $ ! % " '

%$ "

>

& % ' & ' " $ " #' + 7 "$!,& $- !## ' #' + & & ' " ?" !, ' ;

& '+ % *$ $ % ' N G ++@ ( &!" % ( '!( !## ' % ! & + "&! ,

' + "&! , % A ! % & % ' & " ( + "& * & .!0"-++ '!% $ .!" &!"

* ' '(" & & ! , # & % ' ( & " # ' & ' % " 1 % ( % " # & ' *! &

" ' ! # & % ' & ) & A $' - + ! ! % !

& * ' & % $! , % 'A " & " $ % $ % ! " ' A '- "!+!$ ' ? !, ; 7@

* ' . +! ! # & ' " $ " $ " & # $$ )! , ' + '/" ( A & 1 "!0 % !%

+* ' ' # ;: D7 )&!%& =23 # & $$ - !" " $! $$ ' " $ " ' ! %$ !

+* ' ' ! 'A $ # : D7 $ ) &!" +* ' ' & "% ' ! 'A $ " ,' ) *

<> D7 # ' % +*$ " $! !#!% ! & !"* '"! !" + ! ! ' A $ # <5 D7

!, ' ;7 !$$ " ' " & $ ', !## ' % ( ) & % $% $ +* ' ' &

+ " ' & " + $ % ! ?+! 0& !,& # & "* %!+ ' ! $ % 0 ' ! := ++ !

& % " ! , 44 ++ ! & + $ @ &!" !" %$ '$- & %& !% # & % " 7

& A $ # )&!%& & " ( %& " %$ " & + .!+ + # & + " ' A $ " &

%' " # & 7 , * * ! , ? !, > @ !" / ! %% &!" $ "

A ' " !+ ! # & & . ' % #' + & * ' & +* ' ' # & * ' !" &

' " !+ (- G5 =5 D7 &!" %$ '$- !$$ " ' " & %' %! $ !+* ' % # &

& '+ + %& !% $ % *$! , ! " %& "!+ $ ! "

& + $ $$ & ' " $ " ' ! %$ ! ! 'A $ # 4 G D7 ? !, ; @ &

A ' " !+ ! # & & .%& , $ " ! &!" % " A ' " !+ ! # +* ' ' "

(- ( >5 D7 & .* '!+ & + .!+ + # +* ' ' & ** " + %& $ ' &

)& !" % +*

2 < % !% $0 23 ! $$ - " *

& % " # & % !% $$ - & !## ' % " # ( ) & ' " $ " # & !## '

% " ' + ' "!, !#!% ? !, :@ &!" !" *' ( ($- & " *& " %& ,

"" %! )! & &!" % !% $$ - )&!%& !" + ' " A ' & # ' & *' A! " $$ - &!"

" A ' $- " " & !## ' + '!% $ $, '! &+" " ' & *& " %& ,

!'" # $$ & !## ' % " ' # ! & * ' ? !, : 7@ )& ' ) !## ' ,' *"

# ' " $ " ** '8 7 & 7 7

& & ' & & + .!+ + "% ' ** '" ( <; D7 ( # ' % +*$ " $! !#!% ! #

& % " ! , * >; D7 # ' " $! !#!% ! & ' " $ " #' + 7 ** ' ( ## %

(- " + /! # R" !') -S ## % & ' $ " # $ & $ ! , + '!% $

*' ($ +" ! A '- "+ $$ $!1 ! H" $! ! 'A $ " .*$ ! ! E :F & ** ' & % * %! - + & $ & ,& % +*$ + (- * " 0! ' ! % '' % ! +!,& ( %% ' ,&

! % " # % !% *& " %& ,

, ' ! , & % +* '!" )! & + " ' +* ' ' " & " + % %$ "! " % ( ' ) "

# ' & *' A! " $$ - & ' " !+ ! # +* ' ' " ! & % " ! , A '! " #' + :5 =5 D7 * ! , )&!%& ,' * # ' " $ " !" % "! ' ? !, :7@

& % ' & + $ ? !, : @ & " + !## ' % " $ ,!% $$- ** ' ( )

& % " ( ) % $% $ + " ' +* ' ' " ?+! 0& !,& # & "* %!+

' ! $ % 0 ' ! 45 ; ++ ! & % " ! , 44 ++ ! & + $ @ * & #

;

" $! !#!% ! & " + ) ,' *" # ' " $ " % ( ! !#! ) A ' )&!$ 7

7 "& ) A '- "!+!$ ' ' " $ " "& ) + ' ' *! % $! , & &

&' & ' % " & ' # ' *' ,' ""!A $- !## ' #' + 7 & + .!+ + +* ' ' !## ' % )! & & + " ' + " !" ( =5 D7 ? !, : @

) !

& " % " * # & % +* ! " & " $! !#-! , * ' & + $ # '+

& '+ + %& !% $ % +* ! !" % ''! & " ) + ! " & % ' &

! " $ ! ' "" + '!,! ) * ' + $ !+ * 7 % #' +

.* '!+ $ !" % "! ' " .*$ ! ! % ! ! " A $ )&!%& !" "" +

!# '+ & )& $ ! '# % !" !' % $- % #' + & .* '!+ $ + " ' + "

& ' !" ## % !A % *$! , #' + & + %& !% $ % $% $ ! ) ' " & & ' "# '

% $% $ ! $- & % *$! , #' + & & '+ $ % $% $ ! ) ' " & + %& !% $

% $% $ ! !" / ! %% &' ,& & +* ' ' * %- # & * ' + $

% " ! !A * ' + '"

% " # &!" 0) - % *$! , & " + ' " " # ' " * % ( (" 'A # ' &

% $! , % 'A " *' " ! !, ' " 4 G , ' ! , * ' + $ !"*$ % + " ! )!$$

( " & & ' ' (!, !## ' % " ( ) & !## ' % "

2 < $043 !05 23 , $$ - " * <

% ( " !, ' 4 & & *' !% +* ' ' A $ ! " ' ! , ,' +

)! & & .* '!+ $ + " ' + " &!" !" 1 ! '+ $ "! % ! &!" % " & % +* ! "

& A " & 7" !' % $- % #' + .* '!+ $ +* ' ' + " ' + " & "

% ##!%! " & A %' " , * # '+ ! ? !, >@8 % " 1 $- & % $! , # &

* ' !" "$ ) ' & ! " * & & ! , # & + $ !" $" "$ ) ) # ' &

! ! ! ! # & !' , * ' 55 " & +* ' ' A $ ! " % $% $ (- & !## '

% " ' A '- "!+!$ ' " # ' " *

, ' ! , & + %& !% $ "! # & % +* ! " !, ' 4 "& )" & A $ ! # &

!"*$ % + # & * ' + $ " '# % " & * ' H+ $ ! '# % ?' N 4; ++@ +! 0

& !,& # & % " ! , & .* '!+ $ % 'A " ' & " + " " ! !, ' 2 & - "& )

& .* "! # & + $ )&!%& " (!$!" " >55 " & ( ,! ! , # & % $! , &!"

.* "! !" # $$ ) (- & * ' " '# % * 55 " )&!%& !" & !' , * # '+ ! !+

& + $ .* "! )&!%& !" , A ' (- & '+ 0 $ " !%! - !" % '' % $- *' !% (- &

) % " & ) ' ($ / ! ! %% 8 7 "& $ (

& & % $% $ ! " )! & 7 0 2 7 "" + '!,!

+ $ & % " # 7 & " # ) ' % ' !+ * 7" <

A '"! # & % + < ) " " # ' " *< ( * '+! ! , $- '!,! + $

% +* ! "

& % +* '!" " # & !## ' % 'A " # ' !"*$ % + # & * ' "& ) & , !"* '"!

% ( " & 7 0 2 7 ? < @ "& )

!++ ! % ' % ! # & $$ - ( & +*$! & !+ A $ ! # &!"

# '+ ! !" $$- !## ' 8 ! ' + ! " A '- "+ $$ )! & )& ' " &

:

A $ ! '! , & #!'" :5 " !" "!+!$ ' )! & 7 0 2 7 ? < @

( & ( % + " % +*$ $- !## ' 8 G55 " & , * *' !% (- 7 0 2

.% " & .* '!+ $ (- ;5 3 ? ' =55

# :55

& , *

*' !% (- 7 !" &' !+ " ,' ' ? ' G55

7 "& )" + -(

& ( " ? ' $ " ( T@ ' " $ )! & ! ! ! $ .* "! # & $$ - # $$ )! , & + $ ( )! & '$- , * # '+ ! (- % +* '!" )! & & .* '!+ , * "!I )!% (!,, '

& & + " ' 8 G55 " <55

# :55

&!" !"* '"! # + %& !% $ ' " $ " % ( % " (- ) !## ' ' " "8

•

*'!+ '- " '% # '' '" !" & +( ',0 ", $ ) ! " $# !" $ " !%0*$ " !%

% " ! !A 1 ! )&!%& & ( %& " # ' ! " "!+*$!%! - ( % " $$ & % "

) ' ($ % +* ! ? ' $ " % +* )! & **' %&! , $ " !%0*$ " !%

% " ! !A 1 ! @ ) A ' ! !" ) $$ / ) & & % " ! !A 1 ! " # + $$!% $$ -" &!,& +* ' ' ' # $ " !%0A!"% *$ " !% -* ! %$ ! , " ' ! '

* %- ! ! 1 " ! " % ( ' !" ( & 1 $! - # & +( ',0 ",

* ' + '" & & A ( " & " * ' + '" ) ' / #' + & ( " #

& ' !" ( & & !' ' $! (!$! - !" $!+! "* %! $$- &!,&

+* ' ' ( $ ) & " $! " + "&- $!1 ! " " %& $ " !%0*$ " !% + $ !"

% ' ! $- ' $ A $$ , & ' &!" +!,& ( *'!+ '- " '% # !## ' % " ( )

% +* ! " .* '! % ) A ' ! "& $ ( * ! & &!" " .*$ ! )&- & !## ' % +* ! " ' " !## '

•

& +( ',0 ", % " ! !A $ ) & " ( ' !## ' $- ! & % " .% *

# ' & $ ) !" !' % $- A !$ ($ ! & % " #! ! , & " (

(- %& " ' **' %& " ( " " * ""!($ & " ' ""0" ' ! % 'A " !## ' +* ' ' " )! & & ' % " ! !A + $" " %& " * ) ' $ ) + $" # ' ! " % ?"

% ! < <@ ) " !+* ""!($ %' ""0%& %/! , # & !## ' % 'A #! ! ," ! ' ' ( " ' & & - ) ' $$ ' $! ($ # & " + 1 $! - &!" !" (A! "$-

" '% # !## ' % " ( ) & !## ' % +* ! " )&!%& % ( & % (-

* ""!($ '' '" )& )'! ! , & #!$ " # ' & !## ' "!+ $ ! % "

2 < < % !% $0 23 ! $$ - " * <

& ' " $ " #' + & % $% $ ! " # $0 23 ! ' ,!A ! !, ' G /! , +* ' '

% 'A " ? !, G 7@ ) !% " + !"* '"! ( ) & ' " $ " " # ' & % +* ! "

# " * # ' & " + $$ - ) A ' & "! ! !" !## ' ) 7

7 ,!A A '- "!+!$ ' ' " $ " )& ' " 7 0 2 "& )" + ' ' *! % $! ,

$ , ' &!" !" " '*'!"! , ( % " ' , ' ! , & & '+ $

% +* ! " & $- !## ' % ( ) " * " * < % +* ! " $! " ! & # % &

! " * < & 7" ' !+ * " # ' $043 !05 23 , ! % ( " & &

*' !% +* ' ' A $ ! " ' ! ' " ($ ,' + )! & & .* '!+ $

+ " ' + " ' + &!" * ! # A! ) 7 0 2 *' A! " & ( " ' " $

,' "% '! , % , ! ( !% ! & ' " $ " # ' & !"*$ % + " ? !, G @ &

+ $ .* "! !" ' & ' ) $$ + $$ (- 7 7

7 ? < @ "& ) A '- ' *! % ' % ! # & * ' & * ' !"*$ % + !" #!'"

4

!## ' & ( % + " 1 ! "!+!$ ' # ' &!,& ' *' % "" !+ " & A $ " ' &!,&$- A ' " !+ )! & ' "* % & + " ' + " & % +* ! " "& )

!"*$ % + $$ # & * ' !$ 255 " & % ' % ! )! & A $ " & '

% +* ' ($ & + " ' " ' " $ " ' "& ) # ' 7 0 2 ( % " &

+ %& !% $ % +* ! # & % # !$ ! &!" % "

) *

& &!' $ " " * # & % +* '!" & '+ + %& !% $ % +* ! " & A (

% ''! ! )&!%& & A $ # & 7 ( ) * ' + $ * " $ % $$- & "!I # & !' , * $!/ " * < & + %& !% $ % $% $ ! & " ) ! #$ % & &

' "# ' % $% $ ! $- ) % " 7 7 * '+! " %& # $$-

% *$ & '+ + %& !% $ % +* ! "

"! , 7 & 7 !" '+! %% ' ! , 1 ?:@

"! , 7 & , * "!I * %- # & 7 & " ( " ($!"& ! &

# $$ )! , + ' ' + & + " ' , * "!I A $ ! g?t@ ? !, 2@ #' + & + " ' 7 h?t@ ? !, >@ ! ) " * ""!($ % & ! '! "!% , * "!I * %- # & 7 h?g@ &!" ' $ ! ) " ! ' % " *)!" ! & #!$ # & % & " $A! , & &

' "# ' *' ($ + & $ % $ , * "!I !" / ) ?#' + & + %& !% $ + $ @ & ' # ' &

**' *'! $ % $ A $ # h !" % #' + & ($ h?g@ (- $! ' ! '* $ !

2 2 $043 !05 23 , $$ - " * 2

% ( " ! !, ' = 7 & & *' !% % $! , # & * ' !" + %& "$ ) ' ! &!"

% " & " $! !#!% ! !+ *' !% (- 7 !" **' .!+ $- )!% " $ ', " &

+ " ' )&!$" 7 "& )" A '- "$ ) % $! , ) 8 & * ' !" " !$$

" $! !#! # ' 555 " %% ' ! ,$- & & ! , # & + $ ? !, =7@ !" % "! ' ($- ' % " % +* ' " * < # ' . +*$ & % " # &!" ( & A! ' % ( # ! &

. +! ! # & !"*$ % + % 'A " ? !, = @ & % " *' !% , * "!I & !" ,' '

& & + " ' ?+ %& ,' ' ! & % " # 7 @ % " 1 $- & A $ "

# h ' A ' " !+ $ ! , ' " !+ & #$ . " & ! '# % ( ) * '

+ $ ' + & + $ "! ) % " & ! " .* "! !" $!+! % +* ' " * <

% +* ! " ( % " # ' % & ! ,

" # ' " * < & " + ' " " .*$ ! & " ' " $ "

2 2 < % !% $0 23 ! $$ - " * 2

&!" % " & + %& !% $ + $ # 7 # !$ * '# '+ % $% $ ! !, '

5 $- 7 ' " $ " ' ,!A "& )! , & " + ' " )! & & $043 !05 23 ,

$$ -

+ , - .

' ' A '% + & $!+! ! " ! %% ' %! " % +! , #' + & " # $ " !%0

*$ " !% % " ! !A 1 ! ?" & !"% ""! ! % ! 2 < @ % +*$ + '-

G

% +* ! " & A ( % ''! )! & 7 " # ) ' ! & % " # $043 !0

5 23 , $$ - " "%'!( ! % ! < < > $!1 ! 0$!/ " $! 0$!/ % " ! !A 1 ! "

' !" ! , !"& " "!+ $ "$- ! & "!+ $ ! ( A & +* ' ' T

& '

%& " 1 $ ;:= D7 ?% '' "* ! , & % !% +* ' ' f

N 5 44@ & + '! $ !"

% "! ' " A!"% *$ " !% ? ) ! A ' T

@ )& ' " ! ( -" $ " !%0A!"% *$ " !%

+ $ ( $ ) T

" # 1 ? 5%@ + $ !*$!% !A 0 -* .*' ""! & " ( %& " # '

& A!"% *$ " !% " ' ! 0' " '8

s K

ε

m n vp eq

y eq eq vp

@

< ? 2

ε σ σ σ

= −

? 2@

-! $ ! ,8

m vp eq n vp eq y

eq

σ K ? ε @ ? ε @

σ = + ? >@

& +* ' ' * * ' + '" # & " % " ! !A 1 ! " ' ,!A ! ($ <

$$ & ' ' & " + 7 +* '! , !, ' !, ' = ! % ( " & & ' " $ "

' ! ( ' ,' + )! & & .* '!+ $ + " ' + " % +* '!" ( ) !, ' "

= "* %! $$- "& )" & & + ! # & % " ! , !" ( ' ' *' " )! &

7 )& "! , & $ " !%0A!"% *$ " !% % " ! !A 1 ! " & + .!+ + '' '

& * ' !"*$ % + !" ( 5 ; ++ ! &!" % " )& ' " ! !" " &!,& " 5 : ++ "! ,

$ " 0*$ " !%! - &!" + ' ' $!" !% * ' !"*$ % + -! $ " ' " ($- , , * "!I

*' !% ! ? !, ' @ )&!%& ! ' $ " ( ' " !+ ! # & & ! , # & + $

? !, 7 )&!%& % ( % +* ' !, ' =7@ # & % $! , # & * ' ? !,

( % +* ' )! & !, ' = @ ! ! ! !" ! ' " ! , % +* ' & "& * # & * '

& !" ( ! "! , & ) **' %& "8 " !, ' < "! , & #!'" $ " !%0*$ " !%

**' %& & * ' ** '" "&'! / ' & ' !# '+$- )! & $ ', !' , * #$ #'

" '# % & * ' *! ! &!" % + " #' + & " # $ " !%0*$ " !% % " ! !A 1 ! & !" " !## + $ & #$ ) # $!1 ! + "&- + '! $ 7 A '" $- "! ,

& $!1 ! H" $! **' %& & , * " $' - " ! !" + %& "+ $$ ' & #' " '# % "& )"

% 'A #' " '# % )&!%& !" ! 1 $! !A ,' + )! & & .* '!+

(# !

&!" * * ' & "!+ $ ! " * '# '+ (- # ' !## ' + '!% $ % " & A (

% +* ' )! & ' # ' % .* '!+ $ + " ' + " # ' ) $ +! ! + $$ - % " ! ,"

)! & & " + '! ,0 -* , + '- & + ! % %$ "! " # &!" ) '/ ' & # $$ )! ,"

•

& ' "* " " # & !## ' " # ) ' ! & % " # * ' & ' "# ' % +* ! & "

( # 1 ! "!+!$ ' .% * ! & % " # & % !% $$ - # ' )&!%& & "% '! , #

& ' " $ " !" !+* '

•

, ' ! , & A $ ! # & (!$! - *' !% !' , * # '+ ! "! , % *$ & '+ 0

+ %& !% $ % +* ! " ! ) " !##!% $ * '# '+ % +*$ % +* '!" ( )

=

% " + ! $- # ' ) ' " " !'" + , & # ' % " % "! ' $- ) ) ' ($

' "" # $$- % *$ & '+ 0+ %& !% $ *' ($ + ! )&!%& & !' , * # '+ !

$ % $$- + !#! " & & ' "# ' % ! ) " !##!% $ '+! % " ! !A

1 ! & % $ ( %% * (- $$ # ' % "

•

& ' !" " !$$ % "! ' ($ $ %/ # / )$ , ' , ' ! , & + %& !% $ % " ! !A 1 ! " & !' "" %! * ' + '" ( " ! " $! !#!% ! % ! ! " &!"

(A! "$- " # ' & ' ) '/ & + !+ & $!+! ! " # & " # A '"!+*$!#!

( & A! ' $ )" " %& " $ " 0*$ " !%! - A ' )! +* ' ' ! 'A $" ! %$ ! ,

$!1 ! + "&- " " & A ( + " '

•

& ' " $ " #' + &!" ) '/ $" ,!A ' " $ / + ' & ' ,&$- ! & + '!% $ ' + # " $! !#!% ! "&'! / , $$ # ' *' ,' +" % "! ' & "&'! / ,

% '!( & !' , * # '+ ! J ! & ' (- ! , '+ & & '+ $ % ' % ! !

& .*' ""! # ' & '+ $ " ' ! ' (- 6 " ! , & & '+ $ .* "! % ##!%!

) A ' & ' " $ " #' + " * < ! &!" ) '/ "& ) & )! & & " # & & '+ $

#' + & " .* '!+ " & *' !% ! # & !' , * )! & & % +* ' *' ,' +" !"

" !"# % '- & ' !" $" .* '!+ $ " ** ' " )&- & " $! !#!% ! "&'! / ,

"& $ ( ' $ . (- & + $ & ' # ' % '!( % A! - ! & * # & % " ! , ' * ' "! - ' & ' & ## % ! , & !' , * . +*$ # " %& .* '!+ $ (" 'A ! !" & * "! !A " ,' , ! & !" (" 'A ' & " '# % ) ' " & % $

"! # % " ! , "& )! , & ' $ . ! # & "&'! / , !" % $$- /! , *$ % &

% %$ "! + " ( & & + $ # ' "%'!(! , & $ " ' ! ! " $! !#-! , + '! $

" ( #! + ' % ' # $$-

0 1(&" & &

&!" * * ' !" % + # & 0 ) '/ R !%' " ' % ' $ ,! '! , - $! !#!% ! ' % ""! , ? @S " (,' * > R & '+ $ " ' "" " " ' ! " '! , " $! !#!% ! S &

& '" )!"& .*' "" & !' ,' ! # ' #! %! $ " ** ' (- & ' * 7 ++!""!

<5

& & & &

E F $$- S & & '+ $ ! '# % ( ) % " ! ," + $ "S AFS Trans. =4: 42;0

4>>

E<F &$/ S $0+ $ ! '# %! $ & ' "# 'S Metall. and Mat. Trans. B

=G; ;G;0;=>

E2F &$/ S ' "! + & " # ' '+! ! # + $0+ $ ! '# %! $

& ' "# 'S AFS Trans. =G2 :G=0:=G

E>F " % - & '+ SB '! ! " # & ' "# ' % ##!%! " '! ,

" $! !#!% ! # % " ! ," ! + $$!% + $ "S The British Foundryman =G; >:;0>:G E;F '!##! &" S & & ' "# ' % ##!%! '! , & ! !' % ! $ " $! !#!% ! #

$0 ! $$ - % " ! ,S Metall. and Mat. Trans. B === 25 >420>G<

E:F ' (& 7 +*( $$ S A " !, ! # % " ! ,H%&!$$ ! '# %! $ & ' "# '

'! , " $! !#!% ! # $0 3 ! $$ - (- ! A '" + $$! , ' $ !+ U0' - !+ ,! ,S

Int. J. Cast Metals Res. === < 240 >2

E4F ! ' &$/ SB $ + '!% "&'! / , , * # '+ ! '! ,

" $! !#!% ! # % ** '0( " $$ -"S AFS Trans. =G2 G 0GG

EGF &$/ S %& !"+" # & ' "# ' + $0+ $ ! '# % ”, AFS

Trans. =G> ;G40;=G

E=F I $ A '! S * # '+ ! ! * '+ + $ % " ! ,"S Trans. of the

American foundrymen´s society =:5 :G 242024=

E 5F C !"&! ' " ,$ ' S & !' , * # '+ ! *' % "" & % " ! ,0+ $

! '# % & & ' "# ' + %& !"+ &' ,& & , *S Metall. and Mat. Trans. B =G:

G220G>>

E F $$ % $ ! . 9 V - 7 A !$$ 0 7& %&+!

A "" S & '+ + %& !%" # & % $! , " , ! % " ! , *' % "" "8 &' 0

!+ "! $ #! ! $ + $-"!" .* '!+ $ A $! ! S, Metall. and Mat. Trans. B

==: <4 G 0==

E <F % $ ! . 9 V - 7 A !$$ %&+! A "" $$

R & '+ + %& !% $ + $! , ! % " ! , )! & .* '!+ $ A $! ! S Modelling in Welding, Hot Powder Forming and Casting '$"" ? @ ' ! $ ==4

%& * 5 <= 02 2

E 2F W !+ C 7& ! S & + A + # & % % A % " ! , " '# %

'! , + "&-0 -* " $! !#!% ! ! " ## % & & ' "# ' % ##!%! S Metall. and Mat. Trans. B ==G <= 5; 0 5;:

E >F ' A ',-' * $ " S & !+*$ + ! # + & + !% $ + $

%& ' % '!I + $ + $ ! '# % ## % " ! + $ % " ! ,S, Canadian Metall. Quarterly ==G

24 G;0 =:

<

E ;F !%&+ ! S & '- # & '+ $ " ' "" " !'0, * # '+ ! '! , &

'$- " , " # " $! !#!% ! ! ' % , $ ' + $ S J. Mech. Solids =4 = <420<G>

E :F "%& !" " ! ( %& S !%' %' "!+ $ ! # 7 " ! ,

' % "" "S % ' " # >

% $ Q9 9 7 '1 ' $$ " ' % ==G

* ($!"& (- ! ! " 7 ==G %& * 7G 0><

E 4F & *8HH))) + ,+ " # % +

E GF & *8HH))) % $% + %&H ' % "H ' % " & +$

E =F 7 *' " !

E<5F %&+! Heat transfer and air gap formation in permanent mould casting of

aluminium alloys & & "!" '! 0 %05;> & - $ " ! # %& $ ,-

%/& $+ ) ==>

E< F ' "" ' '!/"" S !' , * # '+ ! '! , " $! !#!% ! !

%-$! '!% $ % " ! ," # * ' $ +! ! + % !% $0 !S Int. J. Cast Metals Res. <55< >

<4;0<G;

E<<F ' ' '!/"" R !' , * # '+ ! '! , " $! !#!% ! # $ +! ! + ( "

$$ -" ! * '+ + $ S ' % '! $" $ ! " 7 # ' % .* "! !

<55< % ( ' 40 5 7 $ +( " &! * ($!"& (- ' ! $ &!

<55<

E<2F +( ', ", R '+! ! # ' ""0" ' ! 7 'A " (- &'

' + '"S %& !% $ ;52 ! $ A!" '- 7 ++! ' !% 7

? => @

E<>F ", R ' ""0" ' ! # '+ $ "S J. Aeronaut. Sci =>: 2 >;0>G E<;F & & "!" %& !% $ !A '"! - ? @ %& '+ - ==>

E<:F

E<4F 7 !+ '" R ,+ ,' ,! ' + # 7 % ' ($ +"

A $A! , '!% ! S Comput. Struct. ==< >< =40 :

E<GF 'I- R + $ ' ($ +" ! B!"% *$ " !%! -S Adv. Appl. Mech. =:: = <>20 244

E<=F + " W W& , R7 *$ & '+ $0#$ ! "0" ' "" $-"!" # 7 " ! ,"S Proc.

9

Int. Conf. on Modeling of Casting, Welding and Advanced Solidification Processes

%& ? '+ -@ <555 &+ " 7 $ - ? " @ & / ' B '$ ,

%& <555 G50G4

E25F Modélisation tridimensionnelle par éléments finis pour l’analyse thermomécanique du refroidissement des pièces coulées ?Three5dimensional finite element modelling for thermomechanical analysis of the cooling of cast parts@ & & "!" ?!

#' %&@ % $ " ! " '!" ==G

E2 F $$ R + '!% $ + %& !% $ % *$! , $, '! &+ # ' # '+ ($

( ! "8 **$!% ! * ' H+ $ ! ' % ! ! % " ! , *' % ""S Proc. 8

Int. Conf. on