Cohérence d'arc existencielle : un pas de plus vers la cohérence d'arc complète

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Submitted on 25 May 2005

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Cohérence d’arc existencielle : un pas de plus vers la cohérence d’arc complète

Matthias Zytnicki, Federico Heras, Simon de Givry, Javier Larrosa

To cite this version:

Matthias Zytnicki, Federico Heras, Simon de Givry, Javier Larrosa. Cohérence d’arc existencielle : un

pas de plus vers la cohérence d’arc complète. Premières Journées Francophones de Programmation

par Contraintes, CRIL - CNRS FRE 2499, Jun 2005, Lens, pp.139-148. �inria-00000061�

Cohérene d'ar existentielle : un pas de plus

vers la ohérene d'ar omplète

Matthias Zytniki

1

, Federio Heras

2

, Simon de Givry

1

, Javier Larrosa

2 1

INRA Toulouse BIA

2

UPC LSI

zytnikitoulouse.inra.fr

Résumé

Les réseaux de ontraintes pondérées orent un

adredereprésentationetderésolutionpermettantd'ex-

primerdesontraintesditesmolles utilespourmo-

déliser un très large hamp d'appliations. La plupart

des solveurs que l'on trouve atuellement implantent

un algorithme de séparation et évaluation en profon-

deur d'abord qui maintient une ohérene loale du-

rantlaphase d'explorationde l'arbre.Lesrésultatsem-

piriquestendentàprouverquemaintenirFDAC*semble

êtrelemeilleurhoixenpratique.Nousprésentonsdans

et artileuneforme d'ar ohéreneplus forte, appe-

lée ohérene d'ar existentielle et diretionnelle, ainsi

qu'unalgorithmepermettantde transformer un réseau

deontraintespondéréesenunréseauéquivalent,satis-

faisantette propriété.L'algorithmes'avèreeae sur

denombreuseslassesdeproblèmes.

Abstrat

TheweightedCSPframeworkisasoftonstraintfra-

meworkwithawiderangeofappliations.Mosturrent

state-of-the-artompletesolversan be desribed asa

basidepth-rstbranhandboundsearhthatmaintain

some formofaronsistenyduringthesearh.Empi-

rialresults indiatethatmaintainingFDAC*seemsto

bethebestinpratie.Inthispaperweintrodueanew

strongerformofaronsisteny,thatweallexistential

diretionalaronsisteny andweprovideanalgorithm

to enfore it.Theeienyofthe algorithm isempiri-

allydemonstratedinavarietyofdomains.

1 Introdution

Lesréseauxdeontraintespondérées(RCP)onsti-

tuent une extension bien onnue du formalisme des

réseaux de ontraintes (RC) et permettent de trai-

ter eaementungrandnombred'appliationspra-

étégénéraliséeauformalismedesRCP[2,9℄.Ilexiste

quatregénéralisationsonnuesseréduisantàlaohé-

rened'ardansleadredesRC:

AC* [7℄,qui transposela ohérened'ar auas

valué,

DAC*[8℄,quitransposelaohérened'ardire-

tionnelleauasvalué,

FDAC*[8℄,dénieommelaonjontiondesdeux

propriétéspréédentes,

FAC*,où haque valeurde haquevariable doit

posséderunsupportomplet.

Malheureusement, toutes les instanes de RCP ne

peuventêtre transformées en une instane possédant

lapropriétéFAC*,e qui rendlapropriété inutileen

pratique.FDAC*estlaplusfortepropriétéquipuisse

êtreétabliesurunRCP.Dans [8℄,unalgorithmeper-

mettantd'établirFDAC*aétéproposéaveuneom-

plexité de

O(end ³ )

⁽

n

représentantle nombre de va- riablesde l'instane,

e

^{le nombrede ontraintes et}

d

la taille du plus granddomaine). De plus, l'artile a

montréquemaintenirFDAC*durantl'explorationest

unmeilleurhoixquemaintenirAC*,plusfaible.

Dansnotreartile,nousprésentonsunenouvelleo-

héreneloaleappelée ohérened'ar existentielleet

diretionnelle (EDAC*). Nousmontrons que EDAC*

estplusforte queFDAC*,notammentparlefaitque

lapremièreexigel'existened'unevaleurpourlaquelle

touslessupports doiventêtre dessupports omplets.

Intuitivement,ladiéreneentrel'algorithmeproposé

et eux préédemment ités est que lesderniers s'at-

tahent à obtenir une ohérene loale par rapport

à haque ontrainte binaire onsidérée indépendam-

ment,alorsquelepremierprendenomptetoutesles

ontraintesquis'appliquentsurunevariabledansleur

Nous présentons aussi un algorithme qui établit

ettepropriétéentemps

O(ed ² ×max{nd, ⊤})

^,

⊤

^étant

labornesupérieuredel'instaneduRCP. Cetteom-

plexité,qui est une borne supérieure dont on ne sait

pasenoresielleest eetivementatteinte,utiliseles

struturesdedonnéesdeAC2001(f.[1℄),surlapropo-

sitionde[9℄.Toutefois,d'autresstruturesdedonnées

peuvent éventuellementdonner demeilleurs résultats

enpratique,mêmesilaomplexitéthéoriquenesemble

pasêtremodiée.

Un des intérêts majeurs de EDAC* est qu'il peut

être inlus dans un algorithme de séparation et éva-

luation(SE)quimaintientlapropriétéàhaquen÷ud

visité.Nousavonsévaluéexpérimentalementetteidée

sur des instanes de Max-SAT [3℄, Max-CSP [8℄ et

des problèmes du plaement d'entrepts. Les tests

montrentquemaintenirEDAC*esttoujoursaumoins

aussibonquemaintenirFDAC*.

2 Dénitions

Une struture de valuation est une struture algé-

briquepermettantdespéier lesoûts danslespro-

blèmesdesatisfationdeontraintesvaluées[11℄.Elle

estdénieparletuple

S = hE, ⊕, ≺i

^,où:

E

^{est l'ensembledesoûts,}

≺

^{est une relation qui ordonne totalement}

E

^et

dénitainsisonpluspetitélément(

⊥

^)etsonplus

grandélément(

⊤

^),

⊕

^{est une opération interne de}

E

^{utilisée pour}

ombinerlesoûts.

D'après[9℄,lastruturedevaluation d'unRCPest

S = h[0..k], ⊕, <i

^où:

E ⊂ N

et

k

^{estunentiernaturelpositif,}

⊕

^{est déni par:}

∀(a, b) ∈ E ² , a ⊕ b = min{a + b, k}

^,

<

^{estlarelationd'ordrehabituellesurlesentiers.}

Dans e as,

0 = ⊥

^et

k = ⊤

^{. Ilest deplus utile de}

dénirlasoustration

⊖

^desoûts:

a ⊖ b =

a − b

^si

a 6= k

k

^sinon

Unréseaudeontraintespondéréesestuntuple

P = hX , D, C, Si

^où:

X = {x 1 , . . . , x n }

^{est l'ensembledesvariables;}

D = {D 1 , . . . , D n }

^{est l'ensemble des domaines}

nis assoiés aux variables, haque domaine

D i

estl'ensembledesvaleursquepeutprendre

x i

^;

C

^{estl'ensembledesontraintespondéréesunaires}

etbinaires,'est-à-direl'ensembledesfontionsde

oûtssur

S

^.

Uneontrainteunaire

C i

^{estunefontiondelaforme:}

D i → E

^{, une ontrainte binaire}

C ij

^{est de laforme :}

D i × D j → E

^{. On suppose qu'il existe pour haque}

variable

x i

^{une ontrainte unaire}

C i

(éventuellement lafontionnullesur

D i

^{)etuneontrainted'ariténulle}

C _∅

(éventuellementnulle).

Lorsqu'uneontrainte

C

^{assigneàuntuple}

t

^leoût

de

⊤

^{,elasignieque}

t

^{estinterditpar}

C

^.Sileoûtest

diérent,l'aetationestautorisée,aveunoût

C(t)

^.

Leoût d'uneaetation

t = (v 1 , . . . , v n )

^de

D i ×. . . × D n

^,notée

V(t)

^{,est lasommedetouslesoûts:}

V(t) = M

Cij∈C i<j

C ij (v i , v j ) ⊕ M

C

i

∈C

C i (v i ) ⊕ C _∅

Un tuple

t

^{estohérent si}

V(t) ≺ ⊤

^{. Leproblèmegé-}

néralquionsiste àtrouveruntuple ohérent de oût

minimal est NP-diile.Un RCP dont

⊤

^vaut

1

^est

unréseaudeontrainteslassiques.

b

a b

x

_i

x

_j

a

1 C

_∅

= 0

(a)leréseauoriginel

b

a b

x

_i

x

_j

a 1

C

_∅

= 0

(b)aprèsprojetion

Fig.1DeuxinstaneséquivalentesdeRCP(

⊤ = 2

^).

Exemple 1 Considérons le problème dérit

Fig. 1(a). Il a deux variables

x i

^et

x j

^{, haune}

ayant deux valeurs

a

^et

b

^{. Les oûts des ontraintes}

unaires sont donnés dans les erles (par défaut,

la valeur est de

0

^{). Les ontraintes binaires sont}

représentées par desarsreliant unepairede valeurs,

l'ar est étiqueté par le oût de ette paire (la valeur

par défaut étant

1

^{). S'il n'existe pas d'ar entre deux}

valeurs, le oût est nul pour la ontrainte. Dans les

deux exemples, le oût optimal est

0

^{, obtenu par le}

tuple

(b, a)

^.

3 Quelques ohérenes loales de RCP

Deux instanes de RCP dénies sur le même en-

semble de variables sont dites équivalentes si elles

taniationomplète.Lesohérenesloalessontlarge-

mentutiliséespourtransformerdes problèmesendes

problèmes équivalents, plus simples. En général, les

ontraintessontdonnéesexpliitementpardestables

deoûts,ouimpliitementpardesexpressionsmathé-

matiquesoudesproéduresalgorithmiques.Parsoui

de larté, nous supposeronsl'expression expliite des

ontraintes.La plussimpledesohérenes loalesest

laohérenede n÷ud :

Dénition 1 [7℄ Lavariable

x i

^est n÷ud-ohérente ssi:

∀v ∈ D i , C _∅ ⊕ C i (v) ≺ ⊤

^,

∃v ∈ D i , C i (v) = ⊥

^.

UnRCP estn÷ud-ohérent ssi toutessesvariables le

sont.

UnRCPpeutfailementêtretransforméenunRCP

n÷ud-ohérent équivalent si l'on projette toutes les

ontraintes unaires sur le

C _∅

^{et en éliminant toutes}

les valeurs interdites. C'est e que font les fontions

ProjetteUnaireet ÉlagueVariable(Alg.1).

Les propriétés de ohérene d'ar sont basées sur

la notiondesupport et desupportomplet.Pourune

ontrainte binaire

C ij

^,

w ∈ D j

^{est un support de}

v ∈ D i

^si

C ij (v, w) = ⊥

^{. C'est un support omplet}

si

C ij (v, w) ⊕ C j (w) = ⊥

Dénition 2 [7℄ Lavariable

x i

^est ar-ohérente si pour touteontrainte binaire

C ij

^{,toutevaleur de son}

domaine

v ∈ D i

^{possèdeunsupportsur}

C ij

^.UnRCP

est ar-ohérent(AC*) sitoutessesvariables lesont.

Dénition 3 La variable

x i

^est omplètement ar- ohérente si pour toute ontrainte binaire

C ij

^{, toute}

valeurdesondomaine

v ∈ D i

^{possèdeunsupportom-}

plet sur

C ij

^{. UnRCP est} omplètement ar-ohérent (FAC*) sitoutesses variables lesont.

Lessupportspour

v ∈ D i

^parrapportà

D j

^peuvent

êtretrouvésparprojetiondesoûtsbinaires

C ij (v, ·)

sur

C i (v)

^{. C'est e qui est fait par laproédure Pro-}

jette(Alg.1).LaproédureCherheSupport(Alg.2)

trouveunsupportsur

D j

^{pourhaquevaleurde}

D i

^.

Exemple 2 LeRCP dérit Fig. 2(a) n'est pas AC*

ar la valeur

a ∈ D i

^{n'a pas de support par rapport}

à la variable

x j

^{. La propriété est obtenue en exéu-}

tantCherheSupport(

i, j

^{)(equinousdonnel'instane}

Fig.2(b))puisProjetteUnaire(

i

^{)(instaneFig.2()).}

Pour obtenir un support omplet pour les valeurs

de

D i

^{parrapport à}

D j

^{(assuréparlafontion Cher-}

heSupportComplet de Alg. 2), il faut étendre les

oûts unaires de

C j (·)

^sur

C ij (·, ·)

^{(proédure Étend}

C i (v)

^.

Dans le as des RC (où

⊤ = 1

^{), être un support}

pour

v ∈ D i

^{est équivalent à être un support om-}

plet et les deux notions seréduisent àla même pro-

priété. C'est pourquoi AC* et FAC* se réduisent au

mêmeRC.Ce n'estpasleasdansleadre desRCP

etalorsque,dans[8℄,ilaétéprouvéqu'unRCPpou-

vait êtretransforméenune instaneAC* équivalente

en

O(ed ³ )

^{, il n'estpas toujourspossible d'en trouver}

unequi satisfasselapropriétéFAC*.

Exemple3 Le problème Fig. 1(a) est AC*, mais

pas FAC* ar la valeur

a ∈ D i

^{n'a pas de}

support omplet. On peut alors appeler la fon-

tion CherheSupportComplet(

i, j

^{), e qui donne le}

problème Fig. 1(b). Il n'est pas FAC* non plus

ar

b ∈ D j

^{n'a pas de support omplet. Appeler}

CherheSupportComplet(

i, j

^{)(f. Alg. 2)nous ramè-}

nerait à l'instane préédente. On peut failement

prouverquee problèmen'a pasd'équivalent FAC*.

C'estpourquoiFAC*n'estpasunebonnepropriété.

Pourtenterderésoudreleproblème,unepropriétéplus

faibleaétéproposée.Danslasuite,noussupposerons

quel'ensembledesvariables

X

^{esttotalementordonné}

par

<

^.

Dénition4 [8℄ La variable

x i

^est diretionnelle- ment ar-ohérente si toutes ses valeurs

v ∈ D i

^ont

unsupportompletpourhaqueontraintebinaire

C ij

telle que

j > i

^{. Elle est} omplètement et diretion- nellement ar-ohérente (FDAC*) si elle est de plus

ar-ohérente.UnRCPestomplètementetdiretion-

nellementar-ohérente sihaquevariable l'est.

Exemple4 Leproblème Fig.2()estAC*mais pas

FDAC*arlavaleur

a ∈ D i

^{n'apasdesupportomplet}

par rapport àla variable

x j

^{.Lapropriété FDAC* est}

établie par l'exéutionde CherheSupportComplet(

i, j

⁾

(f.Alg. 2), quiproduit Fig.2(d).

Tout RCP peut être transformé en une instane

équivalentesatisfaisantFDAC*entemps

O(end ³ )

^[8℄.

Dans leasdes RC, FDAC* seramèneaussiàlao-

hérened'ar.Dansleasgénéral,FAC* estplusfort

queFDAC*,quiest plusfortqueAC*.Ilestalorsin-

téressant de savoir si on peut trouver une propriété

plus forte que FDAC*, tout en garantissant l'exis-

tene d'une instane possédant ette propriété pour

toutproblème.

4 La ohérene d'ar existentielle : une

propriété plus forte

ConsidéronsleproblèmeFDAC* Fig.2(d).Notons

quelavaleur

a ∈ D k

^{possèdeunsupporten}

x j

^(equi

b a

b a

x_i x_k

a b x_j 2 C_∅= 0

2

1

(a) le problème

originel

b a

b a

x_i x_k

a b x_j 2

1

C_∅= 0

1

(b) après proje-

tionde

C

ij^sur

x

i

en

a

b a

b a

x_i x_k

a b x_j 2 C_∅= 1

() l'instane

équivalenteAC*

b a

b a

x_i x_k

a b x_j C_∅= 1

1

1

(d) l'équivalente

FDAC* ave

i <

j < k

b a

b a

x_i x_k

a b x_j C_∅= 1

1 1

(e) après Find-

FullSupports(

k, i

⁾

et FindFullSup-

ports(

k, j

⁾

b a

b a

x_i x_k

a b x_j C_∅= 2

(f) l'équivalente

EDAC*

Fig.2Six instaneséquivalentes(ave

⊤ = 4

⁾

Nous avonslamême situation pourlavaleur

b ∈ D k

et

x i

^{. Ainsi, le oût unairede es deux valeurs peut}

être augmenté en établissant les supports omplets

(Fig.2(e)).Commetouslesoûtsunairesdesvaleurs

de

x k

^{sontplus grandsque}

⊥

^{, laohérene de n÷ud}

est perdueet laborneinférieurepeutêtreaugmentée

(Fig.2(f)).D'unemanièregénérale,lessupportsom-

pletspeuventêtreétablissanserreurpossibledansles

deuxdiretionssil'onaugmente

C _∅

^{.Nousmontrerons}

ensuitequ'ilexisteuneohéreneloalenaturelleder-

rière ette observation. Nous l'appellerons ohérene

d'arexistentielle(EAC*).

Dénition5 Lavariable

x i

^est existentiellementar- ohérente s'ilexiste aumoins une valeur

v ∈ D i

^telle

que

C i (v) = ⊥

^{et si ette valeur possède un support}

omplet pour toutes les ontraintes

C ij

^{. Un RCP est}

existentiellementar-ohérentsitoutessesvariablesle

sont.

Toutes les ohérenes loales préédemment évo-

quées demandent àhaquevaleurde haquevariable

uneertainepropriété.PourEAC*,ondemandedans

haquevariablel'existened'unevaleurpossédanter-

tainespropriétés.Ilestimportantdenoterquesiune

variable

x i

^{n'est pas EAC*,alors pour toutesles va-}

leurs

v ∈ D i

^{telles que}

C i (v) = ⊥

^{, ilexiste}

x j

^telque

∀w ∈ D j , C ij (v, w) ⊕C j (w) ≻ ⊥

^.L'établissementd'un

support ompletsur

x i

^{violeradonlapropriétéNC*}

et ilserapossibled'augmenter

C _∅

^.

D'autre part, il est possible d'intégrer EAC* à

FDAC* pour exploiter les avantages de haun. On

parlealorsdeohérened'arexistentielleetdiretion-

nelle.

Dénition6 UnRCPestEDAC*s'il estFDAC* et

EAC*.

Ainsi,EDAC*imposequehaquevaleuraitunsup-

portompletdansunediretion etunsupportsimple

dans l'autre (pour satisfaire FDAC*). De plus, une

valeuraumoinsdehaquevariabledoitavoirunsup-

portomplet danslesdeuxdiretions(poursatisfaire

EAC*).Cettedernièrevaleurest appelée valeurom-

plètement supportée.Notons que dans leas des RC,

EDAC*seréduitaussienohérened'ar.

EDAC*estparonstrutionplusfortequeFDAC*.

Elle est plus faible que FAC* ar pour haque va-

riable,seuleunedesesvaleursesttotalementsuppor-

tée.L'exemple3rappellequetrouverunsupportom-

Nous présentons ii un algorithme qui établit

EDAC*dansleasdesRCPbinaires.EDAC*(Alg.3)

transforme un problème arbitraire en une instane

équivalente vériant la ohérene loale EDAC*.

L'idée généraleenestlasuivante :

Ontentedetrouverpourhaquevariable

x i

^sava-

leuromplètementsupportéepourétablirEAC*;

s'il n'yen apas,onpropagelesoûtsdefaçonà

entrouverun.

On tente de trouverpourhaquevariable

x j

^un

support omplet par rapport à toute ontrainte

binaire qui s'applique sur elleet une variable

x i

telle que

i < j

^{pourétablirDAC*.}

On tente de trouverpourhaquevariable

x j

^un

support omplet par rapport à toute ontrainte

binairequis'applique surellepourétablirAC*.

On tente de trouverpour haquevariable toutes

sesvaleursdontleoûtunaireesttropélevé.

On peut aélérer l'algorithme en remarquant que

l'établissement de DAC* sur

x i

^{par rapport à une}

ontrainte

C ij

^telleque

i < j

^{rendinutilelareherhe}

de support pour AC* ou de support existentielpour

EAC* dansettediretion.

De plus, établir une propriété peut en asser une

autre. Pour remédier à elà, on rentre les variables

dontunepropriétéestéventuellementvioléedansune

des trois les

Q

^,

R

^et

S

^{qui sont implantées omme}

deslesdeprioritétellesquelapluspetitevaleur(ou

laplusgrande)peutêtreretiréeentempsonstant.La

signiationdeslesestlasuivante:

Si

x j

^{est dans}

Q

^{, alors une de ses valeurs aété}

supprimée et dans e as lesplus grandsvoisins

de

x j

^{peuventavoirperduleursupportetdoivent}

êtrevériés(traitementdelapropriétéAC*pour

j > i

^).

Si

x j

^{est dans}

R

^{, alors le oût unaire d'une de}

ses valeurs est passé de

⊥

^{àune valeur de oût}

stritementsupérieureetdanse aslespluspe-

titsvoisinsde

x j

^{peuventavoirperduleursupport}

omplet et doiventêtre vériés(traitement dela

propriétéDAC*pour

j < i

^).

Si

x i

^{est dans}

P

^{, alors soit le oût unaire de la}

valeuromplètementsupportéepour

x i

^aétéaug-

menté,soitleoûtunaired'unedesvaleursde

x j

(un pluspetitvoisinde

x i

^{)est passéde}

⊥

^àune

valeurdeoût stritementsupérieureet,danse

as,

x i

^{peutavoirperdulesupportomplet desa}

valeuromplètementsupportéeetdoitêtrevérié

(traitementdelapropriétéEAC*pour

j < i

^).

Ilexistedeplusune autreleauxiliaire,

S

^{,qui sertà}

remplireaement

P

^.

et quatre boules intérieures. Les boules tant que

auxlignes5,8et10établissentrespetivementEAC*,

DAC*etAC*.Laligne11établitNC*.Àhaquefois

qu'unoûtestprojetépourl'établissementd'unepro-

priété, une autre propriété peut être violée. Les va-

riables dont une ohérene loale est à vérier sont

stokées dans les les. L'établissement de NC*, AC*

et DAC* est faitommedans [8℄. Nous nousonen-

treronsdonsur EAC*.

Cette propriété est prinipalement établie par

CherheSupportExistentiel(

i

^{), qui trouve un support}

existentielpour

x i

^{endonnantunsupportompletpar}

rapport àhaquepluspetit voisin

x j

(l'établissement d'un support omplet sur les plus grands voisins se

faitaveDAC*).Lorsquel'onétablit lesupport exis-

tentiel de

x i

^{, lafontiondeoût}

C j

^{diminueoureste}

onstante.Nousn'aurons donpasàvérierlaohé-

reneexistentiellede

x j

^{nilaohérened'ardiretion-}

nelle desplus petits voisin de

x j

^{. Deplus, omme la}

ohéreneexistentielleestplusfortequeAC*,ilestin-

utiled'établirlaohérened'arentre

x i

^et

x j

^.Cepen-

dant, la ohérene d'ardiretionnelle de la variable

x i

^{doitêtrevériéearunevaleurde}

x i

^peutavoirvu

sonoûtunaireaugmenter (ligne6). Demême,lao-

héreneexistentielledesplusgrandsvoisinsde

x i

^doit

aussiêtrerevue(ligne7).

ÉlagueVariable()établitlaohéreneden÷udaprès

qu'un oût unaire ou

C ∅

^{a été augmenté (ligne 11).}

Cette fontion peut être exéutée plus souvent pour

éviterertainsexamenssuperusdanslesboulestant

que sans que ela ne hange la omplexité dans le

pireas. Parsouidelartédenotreexposé,nousne

dérirons pasii leas oùle problème estinohérent

etoù

C _∅

^atteint

⊤

^.

Theorème 1 La omplexité de EDAC* est de

O(ed ² max{nd, ⊤})

^{en tempset}

O(ed)

^{en espae.}

Preuve1 En e qui onerne l'espae, on utilise la

struturedonnéepar[2 ℄pouravoir uneomplexité en

O(ed)

^.

Deplus, [8 ℄prouve lespointssuivants:

ProjetteUnaire, Projette, Étend et ÉlagueVariable

ontune omplexité en

O(d)

^;

CherheSupport et CherheSupportComplet ont

une omplexité en

O(d ² )

^.

Etudions maintenant la omplexité de la boule tant

quedansEDAC*.Labouleàla ligne8établitDAC*.

Comme dérit dans l'artile préédemment ité, elle

est en

O(ed ² )

^{ar haque variable est stokée dans}

R

^{au maximum une fois, e qui entraîne que haque}

ontrainte

C ij

^{estvériéeune seulefois(ligne9). De}

même, la boule ligne 10 qui établit AC* dans la di-

retiondesplusgrandesvariablesestaussien

O(ed ² )

^.